河北省保定市2026届高三下学期第二次模拟考试数学试卷（含答案）

河北保定市2026届高三第二次模拟考试数学试题注意事项：1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上．将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个项是正确的．1．已知集合，则（）A. B. C. D.2．已知复数，2的虚部是（）A.2 B.2i C.-2 D.-2i3．，则（）A. B. C.b＜c＜a D.4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边落在直线上，则（）A. B. C. D.5．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定．某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则（）A. B. C. D.6．若两个随机事件相互独立，满足，则（）A. B. C. D.7．已知等比数列的各项均为正数；是函数的两个极值点，则（）A.2026 B.2025 C.1014 D.10138．已知分别是双曲线的左、右两个焦点，A,B是双曲线上的两点，，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.2二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．已知四边形ABCD是平行四边形，，则（）A.点D的坐标是（0,1,0） B.C.四边形ABCD的面积是3 D.坐标原点O到直线AC的距离为10．函数，则（）A.是偶函数 B.在区间单调递减C.在有4个零点 D.的最大值为611．记等差数列的前n项和为，数列的前k项和为，则（）A.若且，则时，的最小值为21B.若当且仅当时，取得最小值，则C.若取最小值时，k有两个不同解，则D.若以1为首项，以为公差，则数列中存在三项成等比数列三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12．已知函数，则______________．13．某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质量测评合格．现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值）．经计算．若该批产品的质量指标值近似服从正态分布，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为______________．参考数据：若随机变量X服从正态分布N，则14．已知圆锥SO的底面为单位圆，其体积为是底面圆O的直径，圆O内有一条动弦MN垂直于AB，过MN作平面与母线SA交于点，当时，面积的最大值为______________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，分别为内角所对的边，若成等差数列，．（1）求的面积；（2）若D是AB的中点，求CD的最小值．16．（15分）某AI大模型想象力引擎处理用户问题分为“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式（即同时使用“深度思考”和“联网搜索”）三种模式，用户可根据需求在提问时自由选择．不同模式处理问题的时间（单位：秒）可以大致分为三组：(0，20]，(20，40]，(40.+∞)一般情况下，使用三种模式处理用户问题所需时间比例统计如下图所示．某企业想对三种模式进行测评，若每种模式处理问题的时间在（0，20］，（20，40］，（），分别记测评得分为2分，1分，0分，假设每种模式的测评相互独立，用频率估计概率．（1）若不考虑其它因素，仅从测评得分的均值考虑，哪种处理模式的测评得分最高？请说明理由；（2）在测评过程中，使用“深度思考”模式处理的所有问题中随机选取3个，记这3个问题中的测评得分相等的问题的个数为，求的分布列.17．（15分）三棱锥中，已知M是PC的中点．，平面平面PBC，．（1）证明：；（2）当平面PAC与平面PBC夹角的余弦值为时，（i）求PA的长；（ii）求三棱锥外接球的表面积．18．（17分）某设计图案由曲线与构成，曲线是以原点O为中心，为焦点的椭圆，曲线是满足的动点P的轨迹，如图所示，是两条曲线的一个交点，已知恰好与曲线相切．（1）求曲线和的方程；（2）直线与曲线的另一交点为，直线与曲线另一交点为，求的面积；（3）作一条与坐标轴不垂直且不过原点的直线l，当直线l与曲线交于两点，与曲线交于两点时，E点关于原点O的对称点为F，若G为CD的中点，点，记直线QG和直线BF的斜率分别为，问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．19．（17分）已知函数.（1）若在定义域上单调递减，求的取值范围；（2）当时．（i）若，且．求证：；（ii）求证：

高三数学参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．1．C2．A3．B4．C5．D6．C7．D8．A二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9．ACD 10．ABD 11．BC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分．12.2 13．39090 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）解：（1）因为三角形中角A,B,C成等差数列，所以，由余弦定理知，，得，又因为，可得，则，整理得，根据三角形的面积公式，．（2）在中，当且仅当，即时取等号，此时CD取得最小值为．16．（15分）解：（1）设“深度思考”模式，“联网搜索”模式和“兼用”模式的测评得分的均值分别为，因为，所以“联网搜索”模式的测评得分最高．（2）三个问题中测评得分相等的问题的个数可能的取值为0,2,3，,，所以三个问题中测评得分相等的问题的个数的分布列为：0230.1080.6480.24417．（15分）解：（1）证明：在平面PAB内过点作，交PB于，因为平面平面PBC，又平面平面，所以平面PBC，则，因为，所以，因为，所以平面PAB，所以．（2）因为，所以，又，所以平面ABC，以为原点，分别以所在直线为轴、轴，过垂直于平面ABC的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，设平面PAC的一个法向量为，,则，即，设，则，所以，，设平面PBC的一个法向量为，,由，即，设，则，得，，设平面PAC与平面PBC夹角为，则，解得，即．（3）由（1）平面PAB知，取AC的中点，则，又因为是PC的中点，所以，则即为三棱锥外接球的球心，半径为2其外接球的表面积为．18．（17分）解：（1）设点，由得的轨迹方程为，即曲线的方程为，它是以为圆心，以为半径的圆．因为与相切，所以，所以，则，得，所以曲线方程为．（2）由（1）知，，所以轴，则，直线的斜率为，直线的方程为，与椭圆联立得，.（3）设直线，将直线与椭圆联立得：则所以，又点恰为圆的圆心，而为弦CD的中点，由垂径定理知，所以，则，所以，即为定值．19．（17分）解：（1）（1）因为在上单调递减，则恒成立，即恒成立，即恒成立，设，当时，单调递增：当时，单调递减，所