湖北省楚天协作体2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试卷（含解析）(含答案)

湖北楚天协作体2025-2026学年高二下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．下列求导运算正确的是（

）A． B． C． D．2．下列选项中不是数列的通项公式的是（

）A． B．C． D．3．已知函数，若，则（

）A． B．2 C． D．14．某大学在东、南、西、北及东南五个方向上各有一个校门，如果一在校大学生从其中任意一个校门进入学校，并且要求从其它的校门出去，那么共有（

）种进出学校的方式．A． B． C． D．5．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．6．已知数列为等比数列，，则（

）A． B．3 C．9 D．-37．将6个各不相同的小球全部放入4个颜色各不相同的盒子中，每个盒子至少放一个小球，其中红色盒子至多放两个小球，则一共有（

）种不同的放法．A．480 B．540 C．1440 D．43208．已知函数和定义域为为偶函数，且对任意实数，都有恒成立，，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．二、多选题9．若，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．10．已知函数，则下列选项正确的是（

）A．若，则在上无极值点B．若，则在上单调递增C．当，若关于的方程有三个实根，则D．当，若在区间上最大值为，则的取值范围为11．已知数列的前项和为且，则下列说法正确的是（

）A．数列为等比数列B．若，在与之间插入个数使这个数组成一个公差为的等差数列，则C．若，则数列的前2026项的和为D．若，在数列的和项之间插入个数，使得这个数成等差数列，其中，将所有插入的数由小到大组成新数列，则三、填空题12．已知函数，则在（1，1）处的切线方程为___________.13．3名女生和3名男生站成一排拍照留影，男生甲不站两端，女生乙和丙必须相邻，一共有___________种不同的站法．（用数字回答）14．已知函数的极值点为，函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围为___________．四、解答题15．已知等差数列的前项和为且．(1)求；(2)若，数列的前项和为，求证：．16．已知函数，且在处切线斜率为．(1)求的值及的值域；(2)，求的极值．17．已知的展开式中的前三项的二项式系数和为172，其中．(1)求；(2)求展开式中含的项；(3)展开式中系数最大项是第几项？18．已知数列的首项且，．(1)证明：数列为等比数列；(2)若，求数列的前项的和；(3)若，且不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．19．已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)对任意的恒成立，求实数的取值范围；(3)，设是方程的两根，且，证明：．参考答案1．A【详解】对于A，，A正确；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D错误.2．D【详解】对于选项A.当为奇数时，，当为偶数时，即，是题中数列的通项公式；对于选项B.显然是题中数列的通项公式.对于选项C.当为奇数时，，当为偶数时，所以C选项是题中数列的通项公式对于选项D当为奇数时，，当为偶数时，所以D选项不是题中数列的通项公式.3．A【详解】由，得，函数，求导得，则，所以.4．C【详解】学校共有个校门，学生任选一个进入共有种选择；出校门则从其他个校门任选一个，共有种选择，所以，根据分步乘法计数原理，总的进出学校的方式共有种.5．A【详解】函数在上单调递增，等价于对任意恒成立.由恒成立，移项得.对，由基本不等式，当且仅当，即等号成立，因此的最小值为.要使恒成立，则，即.6．B【详解】设数列的公比为，那么，因为则，，所以.7．C【详解】若红色盒子放一个小球，则剩下三个盒子按照或来放，若按照来放，有种；若按照来放，有种,若红色盒子放两个小球，则剩下三个盒子按照来放，共有种；故一共有种不同的放法.8．A【详解】原不等式右边整理得：，结合，原不等式转化为：，由定义域得，即，两边除以得：，构造函数，则不等式等价于，，由题设恒成立，当时，，故，在单调递增；当时，，故，在单调递减，又是偶函数，故，即是偶函数，由偶函数性质：，结合在单调递增，等价于：：或，即或，因此不等式的解集为.9．BD【详解】已知.令，得，选项A错误.由二项式通项，令得，则，选项B正确.令，得，代入得，选项C错误.令，得，时，.两式相减，解得，选项D正确.10．ABD【详解】由题可得：，判别式，逐个分析选项：选项A：若，则，由得，结合得，因此开口向上，恒成立，没有变号零点，在上单调，故无极值点，A正确；选项B：若，开口向上，对称轴为，在上单调递增，因此，故在上单调递增，B正确；选项C：当时，，，令，则，，，；，；，故极大值，极小值，有三个实根等价于，C错误；选项D：当，解方程，因式分解得，根为和，在递增，递减，递增，要使区间最大值为，需满足：①（否则不包含极大值点，最大值小于）；②（若，区间内存在使得，最大值大于），故，D正确11．BCD【详解】由可得，两式相减可得，即，当时，，所以数列不一定是等比数列，即A错误；由可知，此时数列是以为首项，公比的等比数列，因此可得，在与之间插入个数使这个数组成一个公差为的等差数列，则，所以B正确；由可得，所以，又因为，因此的最小正周期为3，易知,将数列的前2026项按周期分组，每组3项，第组对应组内的值依次为每组的和为；因此数列的前2026项的和为，即C正确；插入数的位置规律为时成等差数列，时成等差数列;易知，所以时成等差数列，该数列的公差为,因此，即D正确.12．【详解】函数的定义域为，，，，所以在（1，1）处的切线方程为，即.故答案为：.13．144【详解】因为女生乙、丙必须相邻，先将二人捆绑为一个整体，二人内部有2种排列方式，此时原6人简化为5个元素（整体+其余4人），要求男生甲不站两端，5个元素的排列中共有2个端点位置，甲不能选，因此甲有个位置可选，即3种站法，剩余4个元素无特殊要求，全排列有种站法，根据分步乘法计数原理，总站法为：.14．【详解】因为的定义域为，极值点为，则满足，解得，因此.将代入不等式得，整理变形，令，，不等式转化为对所有可能的恒成立.对求导得，当时，，当时，，可知在处取最大值，因此的取值范围是.令，求导得，因此在上单调递减，在上单调递增，且，若，在单调递减，，满足；若，则存在（是的另一个大于的根），使得，不满足；要使所有满足，只需，即，结合（有意义），得.15．(1)(2)证明见解析【详解】（1）设等差数列的公差为，所以，解得，所以；（2）由（1）有，所以，又，当时，取最小值，即，所以.16．(1)；(2)的极大值为，极小值为【详解】（1）首先对求导，由乘积求导法则：，在处切线斜率为，代入得：因此，导数为，因，则当时，，单调递减；当时，，单调递增.故的最小值为.又时，；时，.因此的值域为.（2）已知，由商的求导法则得.由于，则的符号由决定，临界点为，单调性如下：区间单调递增单调递减单调递减单调递增因此在处取极大值为；在处取极小值为.17．(1)(2)(3)7【详解】（1）依题意可知，整理可得，即,又，解得；（2）因为，令，解得；因此展开式中含的项为（3）易知第项的系数为，令，可得；解得，又，可得，因此展开式中系数最大项是第7项.18．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）对取倒数，将代入化简可得，结合等比数列定义证明即可.（2）根据（1）得到，结合等差数列及等比数列的前项和公式分组求和即可.（3）求出，分为奇数或偶数两种情况，对分离参数，分别求出最值即可.【详解】（1）证明：由，得，又，则，所以，即.又，所以数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由（1）知，.当为奇数时，；当为偶数时，；所以.（3）由（2）知，.则不等式可化为.①当为奇数时，不等式可化为，则，令，因为为奇数，则，函数在上的最小值为，所以的最大值为，所以.②当为偶数时，不等式可化为，则，令，因为为偶数，则，函数在上的最小值为，所以的最小值为，所以.综上，.所以实数的取值范围.19．(1)(2)(3)证明见解析【详解】（1）当时，，则设，则当时，，单调递减，当时，，单调递增所以，在时取最小值，，即有因此有，即在定义域上单调递增综上所述，当时，的单调增区间为，无单调减区间（2）对函数求导得，设，则，当时，，即单调递增所以对于，有故对，有若，则，有，即在上单调递增因，所以此时对任意的，恒成立；若