湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期4月期中检测数学试题（含答案）

2025-2026学年度下学期高二年级期中检测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若函数y=f(x)在点(x0,y0)处的切线斜率为2A.−4 B.−2 C.2 D.42.若一质点的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系为s(t)=cos2t，则该质点在t=π6A.−3 B.3 C.−3.如图，AB是圆的切线，P是圆上的动点，设∠PAB=θ(0<θ<π)，AP扫过的圆内阴影部分的面积S是θ的函数，则这个函数的图象可能是(

)

A. B.

C. D.4.若f(x)=x2−2x−4lnx，则A.(0,+∞) B.(−1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(−1,0)5.若定义在R上的可导函数f(x)满足2f(x)+f(2−x)=x2+2x，则函数f(x)在x=1处的瞬时变化率等于A.43 B.4 C.1 D.6.已知函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(

)

A.曲线y=f(x)在点(−2,f(−2))处的切线斜率小于零

B.函数f(x)在区间(−1,1)上单调递增

C.函数f(x)在x=1处取得极大值

D.函数f(x)在区间(−3,3)内至多有两个零点7.已知抛物线y2=2px(p>0)，O为坐标原点，M是抛物线上任意一点，F为焦点，且MN=12MFA.12 B.1 C.−1 D.8.若实数x，y满足e−x2+x+2y=2+lny，且对任意的正整数n，不等式exA.2 B.3 C.4 D.5二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=ex−ax，则A.当a≤0时，f(x)为增函数 B.∃a∈(0,+∞)，f(x)max=a

C.∃a∈(0,+∞)，f(x)min10.若圆O:x2+y2=1，A(−1,0)，B(1,0)，点PA.圆O上存在点N使得|PN|=2 B.圆O上存在点M使得∠OPM=45∘

C.直线l上存在点P使得|PA|+|PB|=3 D.直线l11.已知函数f(x)=x3+3axA.当a>0时，f(a)<f(a+1)

B.存在实数a，使得f(x)在(a,+∞)上单调递增

C.存在实数a，使得f(x)有三个零点

D.过点(−a,3a3)三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若双曲线x2−y2b2=1(b>0)13.若函数f(x)=x2x+1，则f(x)在点(1,f(1))处切线的方程为

14.若函数f(x)=x2ex−12ax−aln四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知数列{an}，满足a(1)求证：数列{1an}(2)求证：4≤a1216.(本小题15分)已知函数f(x)=2x(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时，记f(x)在区间[0,1]的最大值为M，最小值为m，求M−m的取值范围．17.(本小题15分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，平面AA(1)求证：三棱柱ABC−A1B(2)若∠ABC=90∘，CA=2，CB=1，AA1=6.M是线段CC1上一点，且BA1⊥AM.试问：在线段AC上是否存在一点N，使得A、N、18.(本小题17分)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，离心率为22，过F作两条互相垂直的弦AB，CD，其中A，C在x(1)求椭圆的方程;(2)证明：直线MN过定点，并求出此定点坐标;(3)设G为直线AC，BD的交点，求△GMN面积的最小值．19.(本小题17分)已知函数f(x)=14ln(1)若f(x)在区间(1,+∞)上单调递减，求实数a的取值范围;(2)求证：k=1n1(3)在空间直角坐标系Oxyz中，任取异于原点O的点P，记直线OP与坐标平面xOy、yOz、zOx的夹角分别为α、β、γ.求G(α,β,γ)=g(1+3sin2α)+g(1+3参考答案1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】C

5.【答案】B

6.【答案】D

7.【答案】B

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】ABD

11.【答案】ABD

12.【答案】y=±13.【答案】214.解：f(x)=x2ex−a2(x+2lnx)

=ex+2lnx−a2(x+2lnx)，

令t=x+2lnx，t∈R，

显然函数t=x+2lnx单调递增，

所以函数f(x)有2个零点，

等价于et−at2=0有两个根，

即et=at2有两个根，

设过原点且与曲线g(x)=ex相切的直线方程为y=kx，切点为(x0,y0)，(1)由递推公式和a1=2≠0，可得an≠0，

故两边取倒数，得：1an+1=an+22an=12+1an，即1an+1−1an=12．

所以数列1an是以1a1=12为首项，公差d=12的等差数列．

由等差数列通项公式可得：1an=12+(n−1)×12=n2，故an=2n．

(2)由(1)知an=2n，则an2=4n2。

设数列{16.(1)f′(x)=6x2−2ax=2x(3x−a)，令f′(x)=0，解得x=0或x=a3，

①a>0时，则当x<0或x>a3时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当0<x<a3时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；

②a=0时，则f′(x)=6x2≥0，且仅在x=0处取等号，故函数f(x)在R上单调递增；

③a<0时，则当x<a3或x>0时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；当a3<x<0时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减，

综上：若a>0，f(x)在(−∞,0)和(a3,+∞)上单调递增，在(0,a3)上单调递减；

若a=0，f(x)在R上单调递增；

若a<0，f(x)在(−∞,a3)和(0,+∞)上单调递增，在(a3,0)上单调递减;

(2)当0<a<3时，由(1)知a3∈(0,1)，故函数f(x)在[0,a3]上单调递减，在[a3,1]上单调递增，

因此，f(x)在区间[0,1]的最小值为：m=f(a3)=−a327+2，

最大值为f(0)=2或f(1)=4−a17.(1)证明：平面ABC内取一点P(不在直线AB及直线BC上)，

作PE⊥AB于点E，作PF⊥BC于点F．

∵平面AA1B1B⊥平面ABC，平面AA1B1B∩平面ABC=AB，PE⊂平面ABC，PE⊥AB，

∴PE⊥平面AA1B1B，

又BB1⊂平面AA1B1B，∴PE⊥BB1，

同理PF⊥BB1，PE∩PF=P，PE、PF⊂平面ABC，

∴BB1⊥平面ABC，

∴三棱柱ABC−A1B1C1是直三棱柱;

(2)解：如图，以B为原点，分别以BC、BA、BB1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

故A(0,3,0)，A1(0,3,6)，BA1=(0,3,6)，

设M(1,0,z)，则AM=(1,0,z)，

∴BA1⋅AM=−3+6z=0，

∴z=62，点M为侧棱18.(1)解：由题意：c=1，ca=22，∴a=2，b=c=1，

则椭圆的方程为x22+y2=1；

(2)证明：∵AB，CD斜率均存在，

∴设直线AB方程为：y=k(x−1)，

再设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

则有M(x1+x22,k(x1+x22−1))，

联立得：y=k(x−1)x2+2y2−2=0,

消去y得：(1+2k2)x2−4k2x+2k2−2=0，

∴x1+x2=4k21+2k2x1x2=2k2−21+2k2，即M(2k21+2k2,−k1+2k2)，

将上式中的k换成−1k，同理可得：N(22+k2,k2+k2)，

若2k21+2k2=22+k2，解得：k=±1，直线MN斜率不存在，

此时直线MN19.(1)∵f(x)在区间(1,+∞)内单调递减，

∴f′(x)=lnx2x−a(12x−12xx)≤0.即lnx−a(x−1x)≤0，对x∈1,+∞恒成立，

设t=x>1，则上述不等式等价于2lnt−at−1t⩽0，对t∈(1,+∞)恒成立．

记h(t)=2lnt−a(t−1t)，t>1，，h′(t)=2t−a(1+1t2)，

 ①当a≥1时，h′(t)=2t−a(1+1t2)≤2t−(1+1t2)=2t−(t2+1)t2=−(t−1)2t2<0，

h(t)单调递减，h(t)<h(1)=0，不等式2lnt−a(t−1t)≤0成立．

 ②当a≤0时，h′(t)=2t−a(1+1t2)≥2t>0，h(t)单调递增，

h(t)=2lnt−a(t−1t)>h(1)=0，与已知不符．

 ③当0<a<1时