人教版九年级上册数学期末动态几何压轴题专题训练

人教版九年级上册数学期末动态几何压轴题专题训练

1.“玩转数学”实践活动，是一种非常有效的学习方式.我们一起来动手、动脑玩转数

学吧.折一折：将正方形纸片ABC。折叠，使边A8,AQ都落在对角线4C上，展开

得折痕AE，AF,连接£”，如图1.

图1图2

（1）ZEAF=_________°

转一转：将图1中的2E4/绕点A旋转，使它的两边分别交边8C,C。于点P,Q,

连接PQ,如图2.

（2）证明：PQ=BP+DQ.

⑶若正方形的边长为6,PQ=5且DQvCQ,求加的长.

2.如图，在菱形A8CZ）中，点M为AO边上一点，连接BM,NMBN=45。,过点历

作交BC延长线于点M点石为灰?上的任意一点，连接MK,分别过点8,

N作BH,NG垂直于直线ME,垂足分别为点"，G（点G在菱形ABC。的内部）.

⑴如图1,猜想线段34,NG和的的数量关系，并说明理由;

(2)如图2,若NABC=60°,AB//ME,AB=4,直接写出线段BM,G”的长度;

⑶在（2）的条件下，将‘3MN绕点8旋转得到ABWM,点M的对应点为AT,点N

的对应点为N',使点AT、V、。在同一条直线上，直接写出小，的长度.

3.已知“AC和VAQE是等边三角形，山）和皮•所在直线相交于点0.ZBAD=0.

（1）如图1,当0=20。时，

①△48。与A4CE（填“全等”或“不全等”）,

②求NBOE的度数.

（2）如图2,当60。＜。＜180。，求NBOE的度数.

4.如图1,将等腰RtAEF绕正方形A8C。的顶点A逆时针方向旋转，其中NAM=90。,

EA=EF,连接。尸，点〃为C尸的中点，连接HD,HE,DE,得到

⑴如图2,当点石恰好落在正方形A8CQ的对角线AC上时，判断.OHE的形状，并说

明理由.

⑵如图3,当点E恰好落在正方形A8CD的边A8上时，（1）中的结论还成立吗？请说

明理由;

RFBF

⑶发现若连接把’在旋转尸的过程中‘孑为定值’请你直接写出孑的值

5.(1)如图1,在A48C中，ZACB=90°,AC=BC=2,取AC的中点O,连接BQ.

①sin45。的值是_；

②在BC的延长线上截取CE=C。，连接OE,将ADCE绕点C顺时针旋转，如图2,当

点A,D,E在同一直线上时，求八石的长.

(2)如图3,在AAC£>中，ZADC=45°,CD=应,40=3,将AC绕点C逆时针旋

转角a至BC,连接B4,BD.

①若a=90。，求8。的长；

②若0。工a<360。，设B。的最大值为〃?，最小值为〃，求小〃的值.

6.如图1,在RtZXABC中，ZACB=90,AC=8C,点。为AB边上的一点，将△8CD

绕点。逆时针旋转90。得到△ACE,易得.3CD^-ACE,连接班:.

⑴求/8CE+/ACD的度数；

⑵当BC=5,80=&时，求BE、CE的长；

(3)如图2,取AO中点尸，连接C尸，交班:于点H,试探究线段跖、C尸的数量关系

和位置关系，并说明理由.

7.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这

样的图形称为“直角等邻对补''四边形，简称"直等补''四边形.根据以上定义，解决下列

问题：

延长交直线AO于E.

D

(I)猜想线段AM与BNH勺数量关系为,位置美系为;

⑵如图2,若ZDAC为锐角时，其它条件不变，(1)中的结论是否成立，并说明理由

(3)如图3,若NA4c=120。，ZACM=15°,AC=2,则8N的长及ZiBCN的面积.

10.己知A08和人欣加都是等腰直角三角形＜。4),

ZAOB=/MON=90°.

图1图2

(1)如图1,连接AM,BN,求证：AM=BN；

(2)将4M0N绕点。顺时针旋转.

①如图2,当点M恰好在/W边上时，求证：AM1+=2OM~\

②当点A,M,N在同一条直线上时，若OA=4,OM=3,请直接写出线段AM的长.

11.如图，。是正方形A8CD内一点，将，绕点8顺时针方向旋转90。得到△C8Q.

⑴观察猜想：如图1，线段AP与CQ的数量关系是」位置关系是

(2)探究实践：如图2,连接PC,若Q4=l,PB=2,PC=3,求

⑶拓展延伸：如图3,把外绕点8在平面内自由旋转，若AB=BC=5,BP=2近，

当A,P,。三点在一条直线上时，请直接写出AQ=_.

12.如图①，在以8。中，AB=AC=2,NA=90。，点。，E分别在A8,AC上，且

AI)=AE.

ADB

问题发现：

(1)将图①中的VA跳绕点A逆时针旋转到图②的位置时，连接E)，CE,请判断BO

和CE的关系，并说明理由；

拓展探究：

(2)将图①中的VAOE绕点A旋转，当点。恰在边8C上时，如图③，请写出08,DA,

OC之间的数量关系，并说明理由.

解决问题：

(3)若。七=2,将图①中的V/1。石绕点A旋转，使得NC4D=45。，请直接写出CE的

长.

13.如图，。和△0CE都是等腰直角三角形，Z/ACB=ZDCE=90°.

A

⑴【猜想】如图1,点E在8C上，点。在AC上，线段班•与4。的数量关系是

位置关系是_____:

(2)【探究】：把△DCE绕点C旋转到如图2的位置，连接AO,BE,(1)中的结论还

成立吗？说明理由；

⑶【拓展】：把△/(£：绕点C在平面内自由旋转，若4C=6,CE=26当A,E,D

三点在同一直线上时，直接写出您的长.

14.如图I,矩形ABCD中，A8=3,BC=4,将矩形A8CO绕着点B顺时针旋转，得

到矩形8以心.

⑴当点E落在80上时，则线段的长度等于二

(2)如图2,当点上落在AC上时，求一以方的面积；

(3)如图3,连接AE、CE、4G、CG,判断线段AE与CG的位置关系且说明理由;

(4)在旋转过程中，请直接写出S^CE+S^BG的最大值.

15.(I)【问题背景】如图1,在中，AB=AC,ZBAC=2a,D,E为8C边上

的点，且ZDAE=a,AACE绕点A顺时针旋转2a得至］△48/，连接。尸，直接写出DF

与OE的数量关系:

(2)【类比探究】如图2,在/3C中，ZC4B=60°,AB=AC,D、E均为8c边上

的点，且小心30加2,£C=j,求。E的长;

(3)【拓展应用】如图3,E是正方形A8CD内一点，ZAEB=90°,尸是8C边上一点,

且N£DP=45。，若AB=2,请直接写出当OE取最小值时C77=

图1图3

16.已知，在J8C中，NB=45。，点、M为BC边上一点,连接AM,将线段AM绕点

A按顺时针方向旋转。得到AN,连接MN.

⑴如图1,当NftAC=a=90。时，

①求证：MN2=CM、BM2；

②当./MN的周长取最小值为4+2应时，求A8C的周长；

⑵如图2,当Z4CB=30。，a=120°时，若CN=AN,求要的值.

17.如图1,“BC和AC£)£均为等腰直角三角形，AB=BC,CE=ED,(CE>BC)t

取线段A力的中点M.

(I)若ABAD=Z4DC(CE>I3C)请求出/BCE的度数.

(2)将一CDE绕点。旋转到图2的位置，判断线段例8、ME的关系并加以证明

(3)将一COE绕点C旋转任意角度后(如图3)其他条件不变，探究线段MB、ME的关

系，并加以证明.

18.如图，在矩形438扎对角线AC的中点为。，点G、”在对角线AC上，AG=CH,

直线G"绕点。逆时针旋转a角，与边48、C。分别相交于点E、F(点E不与点A、B

重合).

⑴求证：四边形E”FG是平行四边形；

⑵当旋转角a=。时，平行四边形曰〃P是菱形；

理由：(写出菱形的判定定理即可)；

⑶在(2)的条件下，连接CE,若A8=9,AO=3,求.C8E的面积.

Q

19.在“8c中，AB=AC,ZABE=ZBAC=\20t点。是边A8上的一点,

ZAEB+NBDF='80。.

DA

(I)如图I,若4C=4,BE=2,求'AAE的面积；

(2)如图2,若。是48的中点，连接。石、BF,求证：DF+EF=43BF；

(3)如图3,在(2)问的条件下，将△加陀绕点4顺时针旋转，旋转中的三角形记为△〃B£,

取〃£的中点为连接CM.当CM取最大时，将△AOF沿直线CM翻折，得到

r2

小2F、直接写出A空\4的值.

20.【基础复习】如图1,将58C绕着点A逆时针旋转一定角度，得到△A&C,连接

BB，,CC,请写出你发现的结论.(至少写出两个，不再添加辅助线)

【类比探究】如图2,在正方形A3C。中，尸是CD上的一点.连接你,将△AOF绕点

人顺时针旋转90。，设F点旋转后的对应点为E,连接E/，补全旋转后的图形.判断

△4所的形状，并说明理由.

【拓展拔高】如图3,在正方形A3CD的内部，作㈤尸=45。，交BC于点E,交C。于

点、F,连接£7L求证：EF=BE+DF.

参考答案：

1.(1)45；(2)证明见解析；(3)BP=3

【分析】(1)由翻折的性质可知：ZDAF=ZE4C,ZBAE=ZEAC,ZEAF=ZFAC+ZEAC,

根据正方形的性质：ZBAD=90°=ZDAF+ZFAC+ZBAE+ZEAC,则

ZE4F=-ZBAD=45°；

2

(2)如图：将△4。。顺时针旋转90。，通过旋转的性质以及等量代换证明△APQ04A?。'全

等，即可得出结论；

(3)设=正方形的边长为6,可得尸C=6—x,C2=6-(5-x)=x+l,由勾股定理

可得：(6-X『+(X+1)2=52,再解方程并检验即可.

【详解】解：(1)由翻折的性质可知：ZDAF=ZE4C,^BAE=ZEAC

四边形ABC。为正方形

:.ZBAD=9(r,AB=BC=CD=AD

/BAD=ZDAF+ZMC+/BAE+ZE4C

:"BAD=2(ZMC+ZE4C)

ZE4F=ZE4C+ZE4C

ZEAF=-ZBAD=-xW=45°,

22

(2)如图：将△AOQ顺时针旋转90。，

由旋转的性质可得：AQ=AQ\DQ=BQ'NDAQ=/BAQ，

由（I）中结论可得N%0=450

A3CD为正方形，ZBAD=90°

：.ZBAP+ZDAQ=45°

/胡。+/4”=45°

NEAQ=NPAQ'

在△APQ和△APQ'中

AP=AP

NPAQ=NPAQ'

AQ=AQ'

.•.△APQ❷△APQ'

/.PQ=PQ'

PQ'=BQ+BP

:.PQ=DQ+BP

(3)设8P=.t,正方形的边长为6,

JPC=6-x,

・.・PQ=5=BP+DQ=x+DQ,

DQ=5-x,

C0=6-(5-x)=x+l,

由勾股定理可得：(6T)，(K+1『=52,

解得：内=2,x2=3,

DQ<CQ,

，5-xvx+1即x>2,

BP=x=3.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，折叠的性质，旋转变换的性质，全

等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，能够综合运用这些性质是

解题关键.

2.(1)猜想：BH+HG=NG,理由见解析.

(2)BM=276,GH=26

⑶DM'的长为26.

【分析】(1)利用已知条件证明△期/M且△GMV(AAS),再通过全等三角形的性质，得到

BH=MG,HM=NG,进而得到线段3〃，NG和的的数量关系

(2)过点B作MJLA尸于点尸，得至ljAM=FM—AF=2x/5—2,通过已知的角度关系，得

到BM=《BH'+MH，，再利用勾股定理，得至I18M=JB£：2+16+48E，由此得到答案.

（3）根据旋转的性质，分两种情况讨论：当将8MN绕点A顺时针旋转得到时,

DM'=\IBD'-BM卷；当将..8MN绕点8逆时针旋转得到48MM时，DM1=>!RD1-BM'

得到答案.

【详解】（1）猜想：BH+HG=NG,理由如下：

MNA.BM,/MBN=45。,

，.8MN为等腰直角三角形，

，BM=MN,

rBH1MN,NG1MN,

・•./BHM=NMGN=90°,

，NHBM+NBMH=90°,

又/BMN=90°,

，/BMH+4GMN=90°,

4HBM=/GMN,

在和.GMN中,

4BHM=4MGN=94。

•4HBM=/GMN,

BM=MN

：.△则修△GM/V（AASj,

，BH=MG,HM=NG，

MG+HG=HM,

BH+HG=NG.

（2）如图，过点8作8/_LA产于点尸，

ZABC=60°,NMBN=45。，

ZFBM=45°，AABF=30°,

是等腰直角三角形，AF=^ABt

,•FB=FM，

又四边形ABC。是菱形，

AB=AD=4,

FB=FM=2G，

•••BM=dFB、FM2=J(2可+(2可=2几，

4EBH=3U,GH//GN,

・••4GNB=4EBH=3Y,

GE=—EN,EH=—BE,

22

/.GH=-BN,

2

BM=MN=2瓜,

•••BN=A6,

GH=2后,

故答案为：BM=2&,GH=2y/3.

(3)由(2)知：

BF=25/3,DF=4+2=6,

在RlBFD中,

BD=slBF2+DF2=J(2可+62=4x/3，

BM=MN=2G

当将.BMN绕点B顺时针旋转得到.BMN时,如图所示,

BM'1DNf,MN=MN=BM'=2瓜,

在中，

DM，=JBD二可一（2厨=276:

当将.3MN绕点8逆时针旋转得到8MN'时，如图所示,

BM'^MN,

MN=MN=BM'=2R,BD=4后,

••在RtZ\8M。中，

DM'=dBD?-BM°=J卜可一（2⑻=2瓜，

综上，DM'的长为2捉.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质，理解

题意，正确作辅助线，掌握全等三角形的判定及性质，菱形的性质，勾股定理，旋转的性质

是解答本题的关键.

3.⑴①全等;②120。

⑵N8OE=120。

【分析】（1）根据旋转变换的性质以及等边三角形的性质可得A3=AO=AC=AE,

/BAD=/CAE,然后利用“边角边”证明△A8Q与AACE全等；根据三角形的内角和等于

180。求出力"力与N4EC的度数，再根据旋转角为20。求出N84E的度数，然后利用四边

形的内角和公式求解即可；

（2）先利用“边角边”证明一84。和VC4E全等，根据全等三角形对应角相等可得

ZADB=ZAEC,再利用四边形A8OE的内角和等于360。推出NBO£+ND4E=180。，再根

据等边三角形的每一个角都是60。得到ND4E=60。，从而得解.

【详解】（1）解：AOE是由绕点A旋转6得到，是等边三角形，

AB=AD=AC=AE,/84。=NC4E=20。，

在△ABO与AMCE中，

AB=AC

-NBAD=ZCAE

AD=AE

.•..A8£^_ACE（SAS）；

•.夕=20°,

ZABD=ZAEC=-（180°-20°）=80°,

2

又NWE=，+/ZMC=200+60o=80°,

・二在四边形ABOE中，/BOE=360°-80°-80°-80°=120°.

故答案为：①仝等；②120。；

（2）解：由已知得：ABC和VAOE是全等的等边三角形，

AI3=AD=AC=AEf

ADE是由ABC绕点A旋转0得到的，

:.ZBAD=ZCAE=O,

:.Z\BAD^ACAE,

/.ZADB=ZAEC,

•・•ZADB+ZABD+ZBA£）=180°,

ZAEC+ZABD+ABAD=180°,

ZABO+ZAEC+/BAE+ZI3OE=360°,

ZBAE=ZBAD+ZDAE,

ZDAE+ZBOE=\SO0,

又七=6(T,

.•.ZBOE=120°.

【点睛】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，灵活

运用旋转变换的性质找出证明全等三角形的条件是解题的关键.

4.(1).刀HE等腰直角三角形，理由见解析

(2)成立，理由见解析

⑶坐

2

【分析】(1)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及正方形的性质即可求证结论.

(2)连接8，，过点〃作于G,利用正方形的性质及SAS可得△比

进而可得。〃=由7,ZADH=ZCBH,再根据平行线分线段成比例可得照=要，可得

EGHF

C”=，再利用等腰三角形的判定及角的等量代换即可求证结论.

(3)利用正方形的性质及相似三角形的判定及性质即可求解.

【详解】(I)解：是等腰直角三角形，理由如下：

四边形A8C。是正方形，

/.ZCDF=90°,ZDC4=45°,

•点〃是C尸的中点，

DH=CH=HF=；CF,

ZCEF=90°,CH=HF,

；.EH=CH=HF=LCF,

2

:.DH=HE,

是等腰三角形，

\DH=CH=HE,

;.NHCD=NHDC,/HCE=/HEC,

：.NDHE=2/DCH+2NHCE=2ZDCA=90°,

石是等腰直角三角形.

(2)成立，理由：

连接8”,过点H作HG上AB于G,如图：

*--------------^4

四边形A8CQ是正方形，

/./BCH=/DCH=45。,

;CB=CD,/BCH=/DCH=45°,CH=CH,

刍DC”(SAS),

:.DH=BH,4CDH=NCBH,

•/ZFEA=NHGA=NCBA=90°,

:.EF//GH//BC,

BGCH

EGHF

CH=HF,

GB=GE,

;HGtBE,

:.HB=HE,

；"HBE=/HEB,HE=HD,

.工。〃石是等腰三角形，

NCZ)A=NC8A=90。，ZADH=ZABH,

•・•NHEB+NAEH=180°,

.\^ADH+^AEH=180\

"DHE+NDAE=180"

ZDAE=90°,

:"DHE=90。,

.1£)〃£1是等腰直角三角形.

(3)连接4C、BE,如图：

四边形人BCD是正方形,

.,.NC46=45°,

将等腰RiAE下绕正方形A8C。的顶点A逆时针方向旋转，

.­.ZE4F=ZC4B=45°,.ABCs_AEF,

♦//DArA8AEx/2

/.Z.CAF=ZBAE,——=——=—,

ACAF2

.・二BAEs二C4凡

BEABy/2

.,-----=------=',

CFAC2

故答案为：立.

2

【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定及性质、相似三角形的

判定及性质、等腰三角形的判定，解题的关键是掌握基础知识，适当添加辅助线，寻找全等

三角形及相似三角形解决问题.

5.(1)①画;②4已=巫+巫；(2)①加；②3

1022

【分析】(1)①由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求OH，8。的长，即可求解；

②由勾股定理可求Cr的长，由勾股定理可求质的长，即可求解；

(2)①由勾股定理可求的长，由“S4S”可证AACEgABCD,可得==

②由等腰直角三角形的性质和勾股定理可求AC的长，由点8在以点C为圆心，AC长为半

径的圆上，则当点5在。。的延长线上时，8。有最大值，当点4在CO的延长线上时，BD

有最小值，即可求〃?，〃的长，即可求解.

【详解】解：(I)①过点。作。“JLA8于“，

vZACT=90°,AC=BC=2,

/.ZA=45°,AB=26,

.•点。是AC的中点，

二AD=CD=\t

BD=y]CD2+BC2=Vl+4=y/5，

DHA.AB,

:.AH=DH=显,

2

叵

DH.叵，

：.sinZ.ABD=_=2

BD610

故答案为：叵；

10

②如图2,这点C作CF_LAE于儿

点方是DE的中点,

DE=&，Dk=bE=—=C"

AF=ylAC2-CF2=

,A£=与①

22

(2)①如图3,在。。的右侧以C为直角顶点作等腰直角NCDE、连接AE,

/.ZDCE=90°,CE=CD=^，NCDE=45。,

DE=®DC=2,

ZA£>C=45°,

ZADE=ZADC+ZCDE=45°+45。=90°,

AE=y/AD2+DE2=>/4+9=713，

将AC绕着点C逆时针旋转90°至BC,

.-.Z4CB=90°,AC=BC,

ZACE=/BCD,

:.MCE^ABCD(SAS),

BD=AE=\/\3；

②如图4,过点。作C〃_L4O于，，

•••N4QC=45。，CD=V2»CHLADt

CH=£)/7=1,

:.AH=AD—DH=2,

：.AC=>1CH2+AH2=Vl+4=75»

将AC绕点C逆时针旋转角a至BC，

・・•点4在以点C为圆心，AC长为半径的圆上，

当点B在。。的延长线上时，有最大值，

BD的最大值为由=旧+也,

当点8在CO的延长线上时，8。有最小值，

?.BD的最小值为n=V5-V2,

/.inn=(>/5+y/2)(\[5-A/2)=3.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，

勾股定理，旋转的性质，脱角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

6.(l)Z5CE4-ZACD=180°

(2)BE=2y/\3;CE=Vr7

⑶BE=2CF；BE工CF,证明见解析

【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定.

(1)由旋转可知NECD=90°,即可得出

ZBCE+ZACD=ZACB+ZECA+ZACD=ZACB+NECD=180°,

(2)由旋转，可知N£4C=NCZM=45。，AE=BD=0，故N£44=90。，利用勾股定理

即可得出跖的长，过。作。M_L4C于何，再由NCB4=45。，可得出=在

Rt0MB中即可求出：DM=BM=1,利用勾股定理即可得出CK的长；

(3)如图，延长。尸到点G,使C/=G/，记匹和的交点为点0,利用SAS可证得:

以△。卬可得Z)G=AG=5C,ZACF=NDGF,故AC〃DG,结合

ZfiCE+ZACD=180°,可得出：ZBCE=ZGDC.利用SAS可证得：△ECBWACDG,即

可得出：BE=GC=2CF.NCEB=NGCD,即可讦得BE_Lb.

【详解】(1)证明：由旋转可知NECO=90。，

•・•4cA=90。，

/./BCE+ZACD=ZACB+ZECA+ZACD=ZACB+NECD=180°；

(2)VZ4C£?=90°,AC=BC=5,

/.ZC4B=ZCBA=45°,AB=5五.

由旋转，可知NE4C=NC84=45。，AE=BD=&，

JZE4B=90°,

,BE=yjAE2+AB2=V52=2x/13-

过。作。M_L6c于M,

・•・/DMB=90°,

•••ZCBA=45°,

/./BDM=/MBD=45。，

「・DM=BM,

在Rt力MB中：DM'BM'BD?，

工2DM'=2,

，DM=BM=l,

/.GW=4,

•,CD—XIA2+12=x/17»

ACE=CD=Vi7;

(3)BE与CF有如下关系：BEtCF,BE=2CF.理由如下:

如图，延长CT到点G,使CF=GF,

•.•点尸为AD的中点,

，AF=DF.

•・•ZAFC=4DFG,

：.zMFC^ADFG(SAS).

/.DG=AC=BC,ZACF=ZDGF,

JAC//DG,

・•・ZACD+ZGDC=180°.

由(1)知N3CE+ZACO=180。，

J/BCE=NGDC.

又由旋转知£C=C£>,

・,.△ECB合△CDG(SAS),

:・BE=GC=2CF,4CEB=/GCD,

/./BHC=/CEB+Z.ECH=/GCD+ZECH=/ECD=90°,

・•・BEVCF.

7.⑴是

⑵DE=BF+CD,理由见解析

【分析】本题主要考查了新定义，旋转的性质，正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三

角形的判定与性质.

(1)由旋转可得=BE=BF,又在正方形A8CO中，ZABC=ZD=90°,

从而ZEI3F=ZABF+ZABE=ZAI3F+ZCBF=90°,因此满足2LEBF+NQ=180。，

ZEBF=90°,BE=BF,故四边形8即”是“直等补”四边形；

(2)由四边形ABCZ)是“直等补”四边形，AB=BC,AD>AB,可得4AC=90。，

ZABC+ZD=180°,从而？。90?,又BE上AD,CFLBE,证得四边形CDE77是矩形，

有DE=CF,EF=CD,利用“AAS”证明应:二,从而BE=CF,进而证得

DE=CF=BE=BF+EF=BF+CD.

【详解】(1)•・•将△8CE绕3点旋转，便3C与AA重合，此时点〃的对应点£在D4的延

长线上，

:・ZABE=NCBF,BE=BF,

•・•四边形ABC。是正方形，

Z4BC=ZD=90°,

/./ABF+ZCBF=ZABC=90°,

/.ZABF+ZABE=ZABF+NCBF=90°,即NEBF=NO=90。，

/.ZEBF+ZD=180°,

VZEBF=90°,BE=BF,

・•・四边形MZ邛是“直等补平边形.

故答案为：是

(2)•・•四边形A8CD是“直等补”四边形，AB=BC,AL)>AB,

/.ZAfiC=90n,ZA6C+N£)=18(r,

/.?D90?,

,：BEVAD,CF工BE,

/.ZDEF=ZCFE=90°,

・•・四边形COM是矩形，

:,DE=CF,EF=CD,

'：ZA4七+ZA=,4ABE+/CBE=90°,

，ZA=/CBF,

•；ZAEB=/BFC=900,AB=BC,

；.△4MgZ\8C〃（AAS）,

・•・BE=CF,

•/DE=CF=BE=BF+EF=BF+CD,

JDE=BF+CD.

8.（1）证明如下（2）4亚-4（3）872-8

【分析】（1）由角角边可证丝力相，可得出最终结论；

（2）由正方形的性质可得A8=8C=4,AC=4夜，由等腰直角三角形的性质即可求解;

（3）由等腰直角三角形的性质可求O"=4忘-4,由平行四边形的性质可得

FO=OH=46-4,即可求解.

【详解】＜1）结论止确,理由如卜：

将线段AE绕，点、A顺时针旋转45。得到AF,

/.AE=AF.ZEAF=45°,

四边形ABC。是正方形，

AH=A/）,ADAC=4BAC=45。，

:.ZEAF=ZDACf

ZDAE=ZCAF,

•・•FHA.AC,

:.ZAHF=9（r=ZD,

.工力庞一被'（AAS）,

:.AD=AH；

（2）如图

BFC

•・•四边形ABC。是正方形,

AB=BC=4,八C=4R,

：,lie=-4,

ZACB=45。，FH1AC,

.1/优、是等腰直角三角形,

FC=8-4也，

BF=4&-4，

故答案为：4x/2-4.

(3)如图，设FH交BC于息0,

/7C=45/2-4,Z4CB=45°,FH上AC，

OH=A屈-4,

四边形GFCH是平行是四边形，

F0=OH=-4,

:.FH=8近-8,

.二ADEm”/下，

:.DE=FH=8&-8,

故答案为：8夜-8.

【点睛】本题为四边形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形

的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等.三角形是解题的关

键.

9.(1)AM=BN,AM1BN

(2)成立，理由见解析

⑶5N=G-I'S^BCN

【分析】(1)由旋转和等接直角三角形证明ACM也BCN,然后推理得到结论；

(2)利用SAS证明△ACMg/XBCTV,然后推导得到结论；

(3)先证明"。必且2四，然后得到AM=8N,S、ACM=SABCN，然后利用勾股定理求

出三角形的边长然后计算面积即可.

【详解】(1)解：•・•48C是等腰直角三角形，

/.AC=BC,ZACB=90°,

由旋转可得CM=OV,ZMCN=90。，

:.ZACM=NBCN,

・•・.ACM"BCN,

：.AM=BN,ZAMC=ZBNC,

记MC与EN的交点为点P,则/MPE=NCPN,

：.AMEP=ZNCP=90°,

/.BNAM,

故答案为：AM=BN；BNA.AM；

(2)成立，理由：由旋转知：CM=CN,/MCN=900,

vZACB=90°,AC=BC,

・•.NMCN=ZACB=90°,

・•.ZACM=4BCN、

•••AACM乌ABGV(SAS),

：.AM=BN,ZAMC=/BNC,

ZAMC+ZMEN=NMCN+/BNC,

•••ZM£7V=ZMCN=9O。，

•••AM1BN；

：•AM=BN,AMA,BN,成立;

(3)过C作O垂直M4延长线于P,

ZACB=90°,AC=BC,

NMCN=ZACB=900,

ZACM=4BCN,

AAAGW且ABCN,

・二AM=BNfSAACM=SABCN,

在Rt.Mb中，ZC4F=60°,AC=2,

AF=1,CF=6

在RlZXMFC,ZCA^4=180o-120°-15o=45°,CF=MF=6

•*-BN=AM=百—1»

S4BCN-S^ACM=gAM*CF=-|-^»

=

:・BN=6一\,S^BCN1~~^•

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，掌握全等三角形的判

定定理是解题的关键.

10.(1)证明见解析

⑵①证明见解析；②线段A"的长为‘46+3S或,46-3\/2

22

【分析】(1)通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”

证明一4。加且二8QV,即可得到AM=BN：

(2)①连接8N,根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明qAOM均8QN,得对应

角相等，对应边相等，从而可证NM8N=90。，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，

即可证明结论成立；

②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN,设切7=不，根据勾

股定理列出方程，求出工的值，即可得到BN的长，8V的长就是40的长.

【详解】（1）证明：如图1所示：

图1

ZAO8=ZMON=90°,

/.ZAOB+ZAON=AMON+ZAON,RPZAOM=ZBON,

△AO8和小MON都是等腰直角三角形，

:.OA=OB,OM=0N,

△4OMg/\8ON(SAS),

?.AM=BN；

(2)解：①连接8N,如图2所示：

图2

;Z4O4=NMQN=90°,

ZAOB-NBOM=NMOV-/BOM,即ZAOM=NBON,

△408和AA/CW都是等腰直角三角形，

.\OA=OB,OM=ON,

.•.△A0M注△BON(SAS),

:.ZMAO=ZNBO=45°,AM=BN,

NMBN=90。，

MB2+BN2=MN?，

•.WON是等腰直角三角形,

:.MN2=2OM\

：.AM2+I3M2=2OM2;

②如图3所示：

当点N在线段AM上时，连接3N,设BN=x,

由（1）可知》OM，.4ON,可得AM=8V且AMJL8N,

在RSABN中，AN2+BN'=AB-，

.”04和△A/QV都是等腰直角三角形，0A=4,OM=3,

：.MN=3&，A8=4上，

...卜一3闾二八卜血）2,解得户铝逑，负值舍去，

2

如图4所示：

图4

当点用在线段AN上时，连接8N,设BN=x,

由（1）可知二AOMGABON,可得AM=BN且AM_L8N,

在Rl/xABN中，AN?+BN，=AB，，

•.•△AOB和AWON都是等腰直角三角形，0A=4,（）M=3,

:.MN=3五,4/?=4x/2,

.•.(X+3人)+工2=［虚)，解得X='记:匚-,负值舍去，

2

»aza-3&

/.AM=BN=---------,

2

综上所述，线段/W的长为廊+3近或廊-3应.

22

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股

定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键.

11.(\)AP=CQfAP1CQ

(2)Z4ra=135°

(3)满足条件的AQ的值为庖±2

【分析】(1)延长4,交8CQC分别于点凡E,根据旋转的性质以及正方形的性质可得

△A4P义△CB0.NA8C=9O。，则AP=C。，NK4P=N5C。，讲而根据三角形内角和定理，

可得47所二/48/=90。，即可得出入P，CQ；

(2)连接PQ,由旋转性质可得：BP=BQ=2,NPBQ=900,勾股定理求得勾股定

理的逆定理证明△PQC是直角三角形，即NPQC=90°,进而即可求解；

(3)①当点P在正方形/8C。内时，作8H_LAQ于〃.勾股定理求得A”，根据

AQ=AH+OHt②当点P在正方形A8C。外时，根据4Q=A〃—Q”即可求解.

【讲解】(I)解：如图所示，延长人。交“CQC分别于点RE,

•・•将，A利绕点8顺时针方向旋转90。得到△CAQ,四边形A8CO是正方形,

，Z\ABPg/XCBQ,/ABC=90。

AAP=CQt/BAP=/BCQ

又•・•ZAFB=NCFE

，ZCEF=ZA^F=90°,

JAPLCQ.

故答案为：AP=CQ,APLCQ.

(2)解：连接PQ

Q

由旋转性质可得：BP=BQ=2,NPBQ=90°,

，PQ="8尸+802=V2:+22=2夜，/BPQ=NBQP=45?

由△/IBPgACAQ得：

AAP=CQ=\,ZAPB=NCQB

,/PQ2+CQ2=(2V2)2+r=32=PC2

•••△PQC是直角三角形，即/PQC=90°

JZAPS=NCQB=NBQP+NPQC=45°+90°=135°

(3)①当点P在正方形/BCD内时，作8H_L4Q于〃.

BP=BQ,NPBQ=9。。,

•，.PQ={BP?+BQ2=#司+(2⑸=4

•・•BHA.AQ,

：.PH=QH=BH=；PQ=2,

在RLAB“中，AB=5,BH=2,

二.AH7AB二BH，=收-*="

AQ=AH+QH=y/2\+2

②当点。在正方形A3CO外时，作BHJ.AQ于H.

同理可得：AH3

•••AQ=AH-QH=j2\-2

综上所述，满足条件的A。的值为历±2.

【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，

勾股定理，掌握旋转的性质，分类讨论是解题的关键.

12.(1)CE=BD,BD工CE,见解析；(2)BD2+CD2=2AD2,见解析；(3)后或所

【分析】(1)如图1,延长8。交CE十点G,设C4与BG相交于点。，nji止

△ACE^AABD(SAS),所以CE=BD,ZACE=ZABD,由三角形内角和可得

ZCGO=ZC4B=90°；

(2)连接CE,证明△ACE纪△ABO(SAS),所以CE=BD,ZACE=ZABD,可得

ZECD=90。：所以+CD2=DE2,则BDi+CDi=。炉，因为从炉+AD?=。炉，AE=AD,

所以2AZ)2=DE2，由此门:得结论；

(3)在Rt/XADE中，DE=2,ZADE=ZAEO=45。，所以A。=AE=&，若NC4D=45。，

则需要分两种情况:①线段A。在线段AC的右侧，②线段A。在线段4c的左侧，画出图形，

结合图形求解即可.

【详解】(1)CE=BD,BDtCE；理由如下：

如图1,延KBD交CE于点G,设C4与8G相交于点0,

图1

由旋转得：ZCAE^ZBAD.

在A4CE与△A8O中,

AE=AD

<ZCAE=ZBAD,

AC=AB

：.^ACE^ABO(SAS),

:,CE=BD,ZACE=ZABD,

・.・4coe=ZAOB,

「.NCGO=NOW=90。，

j.BDLCE.

(2)BD2+CD2=2AD~,理由如下:

如图2,连接CE,

图2

由旋转得：ZCAE=ZBAD.

在△ACE与AABO中，

AE=AD

<4CAE=4BAD,

AC=AB

：.,ACE^AfiD(SAS),

:.CE=BD,ZACE=ZABD,

ZABD+ZACB=900,

:.ZACE+ZACB=90°,

即ZECD=9(r,

：.CE2+CD2=DE2,

:.BD2+CD2=DE2,

222

AE+AD=DEfAE=AD,

:.2AD2=DE2^

:.BD2+CD2=2AD2；

(3)在RIZXAU七中，DE=2,ZADE=ZAEV=,

：.AD=AE=近，

若NC4D=45。，则需要分两种情况：

①线段八。在线段AC的右侧，如图3,设AC与OE交于点M,

/.Z£4C=45°,

NAME=90°,

.•.AME1是等腰直角三角形，

:.AM=EM=\,

•・•AC=2,

.-.CM=1,

:.CE=>IEM2+CM2=6；

②线段人/）在线段AC的左侧，如图4,过点E作曰V_LC4交C4的延长线于点N,

ZEAN=45°,

：.AN=EN=l,

.-.CV=3,

：.CE=>1EN2-¥CN2=Vio：

综上，若NCAO=45。时，CK的长为夜或痴.

【点睛】本题属于几何变换综合题，侧重考查旋转的性质、直角二角形的性质、勾股定理,

等腰直角三角形的性质，掌握其性质定理是解决此题的关键.

13.⑴BE=AD,BE工AD

(2)(1)中的结论成立，理由见解析

⑶4忘-2或4夜+2

【分析】(1)利用等腰直角三角形的性质得出5c=4C,EC=DC,得出=再用

Z4CT=90°,即可得出结论；

(2)先由旋转得出N8C£=4CD,进而判断出"CEg"C/人得出

BE=AD,4CBE=4CAD,进而得出NC4D+N8HC=90。，即可得出结论；

(3)分两种情况，①当点E在线段AD上时，过点C作CMJ.A。于M,求出4石，再用勾

股定理求出班;，即可得出结论；

②当点E在线段的延长线上时，过点。作CN_LAO于M求出入乩再由勾股定理求出

根据勾股定理得跖，即可得出结论.

【详解】(1)解：•・•和△£)(石都是等腰直角三角形，ZACB=NDCE=9()。，

；•BC=AC,EC=DC,48=90。，

BC-EC=AC-DC,

:.BE=AD,

,/ZACb=90。，

:.BEA.AD,

故答案为：BE=AD,BE1.AD；

(2)解：(1)中结论仍然成立，

理由：

由旋转知，ZBCE=ZACDt

BC=AC,EC=DC,

；、BCE"ACD,

:.BE=AD,NCBE=/CAD,

vZACB=90°,

,-.ZCBE+ZBHC=90o,

:"CAD+/BHC=900,

/BHC=ZAHG,

NC4力+NA〃G=90。，

/.Z4GH=90°,

BE工AD；

(3)解：①当点石在线段人。上时，如图3,过点C作CM_LAO于M,

图3

••♦△OCE是等腰直角三角形，且CE=2五,

DEHCE'+CD1=4,

-CM±AD,

:.CM=EM=-DE=2

2t

在Rt二ACM中，AC=6,

/.AM=y/AC2-CM2=472，

，AE=AM-EM=4>/2-2，

在RtZ\AC8中，AC=6,

AB=yjAC2+AB-=6>/2，

在RtAABE中,

BE=yjAB2-AE2=472+2：

②当点。在线段AE上时，如图4,过点。作CN_LAE于N,

A

是等腰直角三庠形，且CE=2五，

JDE7CE2+CD2=4,

•;CN工AD,

：.CN=EN=-DE=2