人教版八年级上册压轴题模拟数学试卷

人教版八年级上册压轴题模拟数学试卷

1.（初步探索）（1）如图：在四边形48CQ中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、F分

别是3。、CO上的点，且EF=BE+FD,探究图中4AE、NE4。、NE4/之间的数量关

图］图2

（1）（1）小明同学探究此问题的方法是：延长尸。到点G,使DG=BE.连接AG,先证明

△ABE之△ADG,再证明△AEFgZVAG产，可得出结论，他的结论应是；

（2）（灵活运用）（2）如图2,若在四边形48CO中，AB=AD,Zfi+ZD=180°,E、F

分别是4C、CD上的点，且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

2.如图1,在平面直角坐标系中，AO=AB,ZBAO=90°,8O=8cm,动点。从原点。出

发沿x轴正方向以acm/s的速度运动，动点E也同时从原点0出发在y轴上以bcm/s的速

度运动，且。，b满足关系式a2+b2-4a-2b+5=0,连接OD,OE,设运动的时间为t杪.

（1）求a，b的值；

（2）当t为何值时，△84。g/\。4£；

（3）如图2,在第一象限存在点P,使N4OP=30。，NAPO=15。，求N48P.

3.在平面直角坐标系中，A（0,5）,3（-1,0）,点C在第一象限，Z^/IC=90\AB=AC

（1）如图1,求点C的坐标.

y

图1

(2)如图2,作乙ABC的角平分线8。，交AC于点D,过。点作CE_L8。于点E,求

证：BD=2CE

(3)若点尸在第二象限，且APAB为等腰直角三角形，请直接写出所有满足条件的点尸的

坐标.

图2

4.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(a-l,a+》)，8(a,0),且

Ja+6-3+(a-26)2=o,。为x轴上点8右侧的动点，以4c为腰作等腰△ACO,使

AD=ACtNCAO=NOW,直线08交了轴于点P.

(1)求证：AO=AI3；

(2)求证：△AOC四△ABD；

(3)当点C运动时，点尸在)，轴上的位置是否发生变化，为什么？

5.如图1,在平面直角坐标系中，直线AB分别交y轴、x轴于点A(0,a)点B(b,

0),且a,b满足a2-4a+4+y/2b+2=0.

(1)求a,b的值；

(2)以AB为边作R3ABC,点C在直线AB的右侧，且NACB=45。，求点C的坐标；

(3)若(2)的点C在第四象限(如图2),AC与x轴交于点D,BC与y轴交于点E,连

接DE,过点C作CFJ_BC交x轴于点F.

①求证：CF=yBC：

②直接写出点C到DE的距离.

7.己知［△ABC是等边三角形，ZiAOE的顶点。在边BC上

(1)如图1,若AD=DE,ZAED=60°,求N4CE的度数；

(2)如图2,若点D为8c的中点，AE=AC,NEAC=90°,连CE,求证：CE=2BF；

(3)如图3,若点。为BC的一动点，ZAED=90°,ZADE=3Q°,已知ZkABC的面积为

4石，当点D在8c上运动时，△48E的面枳是否发生变化？若不变，请求出其面枳；若变

化请说明理由.

E

7.如图1,将两块全等的二角板拼在一起，具中^ABC的边BC在直线I上，AC_LBC且AC

=BC；4EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，EF_LFP且EF=FP.

(1)在图1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关

系；

(2)将三角板AEFP沿直线I向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q,连接AP、

BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数显关系和位置.关系，并证明你的猜想；

(3)将三角板AEFP沿直线I向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点

Q,连接AP、BQ.你认为-2)中猜想的BQ与AP所满足的数量关系和位置关系还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.

⑴如图1,若ZABE=65。,ZACF=75。,求44C的度数.

（2）如图1,求证：EF=2AD.

⑶如图2,设EF交AB于点G,交AC于点R,FC与EB交于点M,若点G为环中点，

且NR4E=60°,请探究NG4尸和NCA产的数量关系，并直接写出答案（不需要证明）.

【参考答案】

2.（1）（初步探索）结论；ZBAE+ZFAD-ZEAF；

（2）（灵活运用）成立，理由见解析

【分析】（1）延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,可判定△ABE合△ADG,进而得出

ZBAE=ZD

解析：（1）（初步探索）结论：ZBAE+ZFAD=ZEAFi

（2）（灵活运用）成立，理由见解析

【分析】（1）延长FD到点G,使DG=8E,连接AG,可判定AABE也△4DG,进而得出/

8AE=/DAG,AE=AG,再判定"E侬△八GF,nJWtBZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+Z

DAF,据此得出结论；

（2）延长F。到点G,使。G=8E,连接4G,先判定"BEg&WG,进而得出N8>AE=/

DAG,AE=AG,再判定gZMGF,可得出N£4F=NGAF=N£MG+/£MF=N8AE+ND4F.

（1）

解：NBAE+NFAD=NEAF.

理由：如图1,延长FD到点G,使DG=8E,连接AG,

G»

图1

•/ZB-ZADC-90\

NADG=4=90",

\,DG=BE,AB=AD,

：./^ABE^^ADG,

：,ZBAE=ZDAGfAE=AGf

*：EF=BE+FD,DG=BE,

/.EF=DG+FD=GF,AAE=AG,AF=AF,

:.△AEFW^AGF,

Z1EAF=Z：GAF=/DAG十/DAF=/8A£-h/DAF.

故答案为：N8AE+/EAD=NE4F；

(2)

如图2,延长FD到点G,使。G=8邑连接AG,

图2

,:N8+ZADF=180\NAOG+ZADF=18Q0,

：,ZB=ZADG,

又・.・八8=4。，

：./^ABE^/\ADG(SAS):

工N8AE=NDAG,AE=AG,

•.•£F=8£+F0=0G+F0=GF,AF=AF,

•••△4EF0△4GF(SSS),

:.ZEAF=ZGAF=ZDAG^ZDAF=ZBAE+ZDAF

【点睛】本题考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线

构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角的补角

相等.

3.(1)a=2,b=l；(2)1=或1=8：(3)ZABP=105°.

【分析】(1)将a2+b2-4a-2b+5=0用配方法得出(a-2)2+(b-1)2=

0,利用非负数的性质，即可得出结论；

Q

解析：(1)a=2,b=l；(2)或t=8：(3)ZABP=105°.

J

【分析】(1)将。2+b2-4a-2b+5=0用配方法得出(a-2)2+(b-1)2=0,利用非负数

的性质，即可得出结论；

(2)先由运动得出8。=8-2t|,再由全等三角形的性质的出货8。=。£,建立方程求解

即可得出结论.

(3)先判断出(SAS),得出OP=8Q,N48Q=N4OP=30。，N4Q8=N

APO=1S°,再求出NOAP=135。，进而判断出(SAS),得出/OQA=/8Q4

=15°,OQ=BQ,再判断出△OPQ是等边三角形，得出/OQP=60。，进而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=75°,即可得出结论.

【详解】解：(1)Va2+d2-4a-26+5=0,

:.(a-2)2+(b-1)2=0,

Aa-2=0,b-1=0,

.*.a=2,b=l；

(?)由(1)知，n=7,h=1,

由运动知，。。=23OE=tf

VO8=8,

：,DB=\8-2t\

、：△BAD/4OAE,

•・・O8=OE,

|8-2t|=t,

Q

解得，t=-(如图1)或t=8(如图2)；

(3)如图3,

过点A作AQ_LAP,使42=AP,连接。Q，BQ,PQ,

则NAPQ=45。，ZP4Q=90°,

VZO>48=90°,

:・NPAQ=NOAB,

：.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP,

即：ZOAP=ZBAQ,

*：OA-AB,AD—AD,

：./\OAP^/\BAQ.(SAS).

：.OP=BQ,N48Q=N4OP=30°,ZAQB=ZAPO=15°.

在AAOP中，NAOP=30°,Z4P0=15°,

:.ZOAP=18Q0-ZAOP-乙APO=135。，

AZ04Q=3600-ZOAP-N%Q=135°-90°=135°=NOAP,

•：OA=AB,AD=AD,

：.AOAQ^/\BAQ(SAS),

/.ZUC^A=ZBW=lb°,UQ=BQ,

•••0P=8Q,

，OQ=OP,

VZAPQ=45°,ZAP0=15\

:.NOPQ=ZAPO+ZAPQ=60°,

•••△OPQ是等边三角形，

/.ZOQP=60°,

；・NBQP=NOQP-ZOQA-ZBQA=60°-15°-15°=30°,

•：BQ=PQ,

；・NPBQ=g(1800-ZBQP)=75°,

:.N48P=/48Q+NPBQ=300+75°=105°.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了配方法、非负数的性质、三角形内角和定理、

等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定及性质，构造出全等三角形是解题的关键.

4.（1）C；（2）见解析；（3）或或

【分析】（1）作垂足为，证明，求出CM和OM的长，即可得到点C坐标；

（2）延长相交于点，先证明，得BD二CF,再证明，得CE二EF,即可证明结论；

（3）

解析：（1）C（5,4）；（2）见解析；（3）（-5,6）或（＜1）或（一3,3）

【分析】（1）作CM_LO!垂足为例，证明AABgACAM,求出CM和OM的长，即可得

到点C坐标；

（2）延长BA相交于点尸，先证明AA瓦注Mb（ASA）,得BD=CF,再证明

ABCE心BFE（ASA）,得CE=EF,即可证明结论；

（3）分情况讨论，画出对应的等腰直角三角形的图象，做辅助线构造全等三角形，求出点

P坐标.

【详解】解：（1）如图1中，作CM_LO4垂足为

y

NAO8=N8AC=90,

ZBAO+ZCAM=90，ABAO+/ABO=90,

.\ZABO=ZCAM,

在AA4O和AC4例中，

ZABO=ZCAM

-NAOB=NAMC,

AB=AC

.•.AAAgACAM,

：.MC=AO=5,AM=BO=LMO=AO-AM=4,

「•点。坐标(5,4)；

(2)如图2,延长山，84相交于点*,

x

NE8尸+Nb=90,ZACF+ZF=90,

:"EBF=ZACF,

在和AACF中,

Z.EBF=ZACF

<AB=AC,

NBAC=ZCAF

:.MBD^^ACFCASA),

:.BD=CF,

在ABC石和ABEE中，

ZEBF=ZEBC

<BE=BE,

NCEB=ZFEB

^BCE^^BFECASA)，

:.CE=EF,

;.BD=2CE；

(3)①如图，AP=AB,NBA2=90。，过点P作P。工)，轴于点D,

在，ARO和中，

ZABO=ZPAD

NAOB=NPOA,

AB=PA

：.AABO=PAD(AAS),

：.BO=AD=l,AO=PD=5,

OD=AD+AO=\+5=6,

・•・P(-5,6)；

②如图，BA=BP,ZABP=90°,过点P作尸D_Lx轴于点D,

在，4?O和△HPZ)中，

/ABO=/BPD

</AOB=NBDP,

AB=BP

A^ABO^.BPD(AASy

Z.BO=PD=\,AO=BD=5,

：,DO=BD+BO=5+1=6,

・•・P(F1);

y

③如图，PA=PB,NAPB=90。，过点P作庄_Lx轴于点E,过点A作AO_LPE于点D,

•・•ZAPD+NBPE=90°,ZAPD+ZPAD=90°,

JZBPE=4PAD，

在.8QE和中，

NBPE=NPAD

<NBEP=NPDA,

BP=PA

:.BPEwPAD(AAS),

设BE=PD=x,PE=AD=yt

VBE+BO=AD,PD+PE=AO,

x+1=y4,fx=2

A丁解得°，

x+y=51y=3

/.OE=3,PE=3,

：.P(-3,3)；

综上：点P的坐标是(-5,6)或(-6,1)或(T3).

【点睛】本题考杳坐标和几何综合题，解题的关键是掌握作辅助线构造全等三角形的方

法，利用全等三角形的性质求解点坐标，掌握数形结合的思想.

5.(1)见解析；(2)见解析；(3)不变，理由见解析

【分析】(1)先根据非负数的性质求出、的值，作于点，由定理得出，根据全

等三角形的性质即可得出结论；

<2)先根据，得出，再由定理即可得出；

解析：（1）见解析；（2）见解析：（3）不变，理由见解析

【分析】（1）先根据非负数的性质求出。、〃的值，作AEJ_O4于点E,由S4S定理得出

AAEO=MEfi,根据全等三角形的性质即可得出结论；

（2）先根据NC4O=NQA3,得出NQ4C=/84£）,再由S4S定理即可得出

MEO=^AEB-

（3）设NAO8=ZA8O=a,由全等三角形的性质可得出NAB£>=NAO3=a,故

/082=180。一//30-4题二180。-2。为定值，再由。8=2,NPO8=90。可知OP的长

度不变，故可得出结论.

【详解】解：（1）证明：Ja-b—3+（a-2b尸=0,

a-b-3=0,,a=6

-0，解得

b=3

，43,9),8(6,0),

作AEJLO8于点E,

>4(3,9),5(6,0),

:.OE=3,8£=6-3=3,

在AAEO与中，

AE=AE

^AEO=ZAEB=90°,

OE=BE

:.MEO三凶EB,

:.AO=AB；

(2)证明：ZC4D=ZttW,

ZC4D+NBAC=ZOAB+/BAC,即ZOAC=/BAD,

在AAOC与八钻。中，

OA=AB

■NOAC=/BA。，

AC=AD

:.MOC^^ABD(SAS).

(3)点。在)'轴上的位置不发生改变.

理由：设NAQ8=ZA8O=a,

由(2)知，MOC^MBD,

:.ZABD=ZAOB=a,

OB=2,NOBP=1800-ZABO-ZABD=180。-2a为定值，ZPOB=90°,

长度不变，

「•点尸在)'轴上的位置不发生改变.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟知全等三角形的判定定理是解答此题

的关键.

6.(1)a=2,b=-l；(2)满足条件的点C(2,1)或(1,-1)；(3)①

证明见解析；②1.

【分析】(1)可得(a-2)2+=0,由非负数的性质可得出答案；

(2)分两种情况：ZBAC=9

解析：(1)a=2,b=-l；(2)满足条件的点C(2,1)或(1,-1)；(3)①证明见解

析；②L

【分析】(1)可得(a-2)2+疡U=0，由非负数的性质可得出答案；

(2)分两种情况：/BAC=90。或NABC=90。，根据等腰直角三角形的性质及全等三角形的性

质可求出点C的坐标；

(3)①如图3,过点C作CL_Ly轴于点L,则CL=1=BO,根据AAS可证明ABOEC^CLE,

得出BE=CE,根据ASA可证明aABEg△BCF,得出BE=CF,则结论得证；

②如图4,过点C作CK_LED于点K,过点C作CH_LDF于点H,根据SAS可证明△CDE^A

CDF,可得NBAE=/CBF,由角平分线的性质可得CK=CH=1.

【详解】(1)Va2-4a+44x/2^+2=0,

A(a-2)2+>/2^+2=0,

*/(a-2)2之0,J2—+220,

/.a-2=0,2b+2=0,

•»a=21b=-l；

(2)由(1)知a=2,b=-l,

AA(0,2),B(-1,0),

/.OA=2,OB=1,

•:△ABC是直角三角形，且NACB=45。,

，只有NBAC=90°或ZABC=90°,

I、当NBAC=90°时,如图1,

AAB=CB,

过点C作CG_LOA于G,

Z.ZCAG+ZACG=90°,

VZBAO+ZCAG=90°,

AZBAO=ZACG,

在AAOB和ABCP中，

/CGA=405=90。

/ACG=/BAO,

AC=AB

AAAOB^ACGA(AAS),

ACG=0A=2,AG=OB=1,

AOG=OA-AG=1,

AC(2,1),

同I的方法得，C(1,-1)：

即：满足条件的点c(2,1)或(1,-1)

(3)①如图3,由(2)知点C(1,-1),

过点C作CL_Ly釉于点L,则CL=>=BO,

在ABOE和ACLE中，

ZOEB=/LEC

<4E0B=/ELC,

BO=CL

/.△BOE^ACLE(AAS),

.\BE=CE,

VZABC=90°,

.\ZBAO+ZBEA=90°,

VZBOE=90°,

.\ZCBF+ZBEA=90°,

AZBAE=ZCBF,

在MBEfflABCF中，

4BAE=NCBF

AB=BC,

/ABE=ZBCF

.,.△ABE^ABCF(ASA),

.*.BE=CF,

.\CF=|BC：

②点C到DE的距离为1.

如图4,过点C作CK_LED于点K,过点(:作CH_LDF于点H,

由①知BE=CF,

VBE=yBC,

ACE=CF,

VZACB=45°,ZBCF=90°,

/.ZECD=ZDCF,

VDC=DC,

.,.△CDE^ACDF（SAS）,

AZBAE=ZCBF,

/.CK=CH=1.

【点睛】此题考查三角形综合题，非负数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三

角形的判定和性质，坐标与图形的性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，角平分线

的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

7.（1）60。；（2）见解析；（3）不变，

【分析】（1）由题意，先证4ADE是等边三角形，再证△BAD拶ACAE,得

ZACE=ZB=60°；

（2）由题意，先求出/BEO30。，然后求出NCF

解析：（1）60°；（2）见解析；（3）不变，2G

【分析】（1）由题意，先证AADE是等边三角形，再证得N4CE=N

8=60°；

（2）由题意，先求出N8EG30。，然后求出NCF£=90。，利用直角三角形中30度角所对直

角边等于斜边的一半，即可得证；

（3）延长加至F,使EFME,连OF、CF,先证明“DF是等边三角形，然后证明△EGFg

△EHA,结合HG是定值，即可得到答案.

【详解】解：（1）根据题意，

\'AD=DE,ZAED=6Q°,

•••△AOE是等边三角形，

：.AD=AE,ZDAE=60°,

VAB=AC,N8AC=6CT,

・•・ZBAC-ZDAC=ZDAE-NDAC,

即/E4D=NC4E,

:ABADqbCAE,

:.NACE=N8=60°；

(2)连CF,如图：

图2

\*AB=AC=AE,

:.ZAEB=ZABE,

VZ64C=60°,ZEAC=90°,

：.ZBAE=150°,

:.ZAEB=ZABE=1SQ；

•••△ACE是等腰直角三角形，

:.4EC=45°,

/.ZBfC=30°,ZfBC=45°,

二AD垂直平分BC,点F在AD上,

：,CF=BF,

/.ZFCB=Z£eC=45o,

:.NCFE=90°,

在直角ZiCEF中，ZCFE=90°,ZCEF=30°,

：,CE=2CF=2BF：

(3)延长AE至F,使EF=AE,连OF、CF,如图:

H

VZAED=90\EF=AE,

DE是中线，也是高，

•••△ADF是等腰三角形，

,:ZADE=30°,

：,ZDAE=60°,

•••△4DF是等边三角形；

由(1)同理可求N4CF=/48C=60°,

:.ZACF=ZBAC=6Q°,

：.CF//AB,

过E作EGLCFJ-G,延长6E交BA的延长线于点H,

易证△EGFg^EHA,

：.EH=EG=^HG,

・・・HG是两平行线之间的距离，是定值，

工558E=4S^ABC=-x4x/3=2x/3；

22

【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三用形的判定和性质，垂直平分线的

性质，全等三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握

所学的知识，正确的作出辅助线，从而进行解题.

57.已知，40,a),B(b,0),点为x轴正半轴上一个动点,AC=CD,ZACD=9Q°.

(1)已知a,b满足等式Ia+bI+b?+4b=-4.

①求A点和B点的坐标；

②如图1,连8。交y轴于点H,求点H的坐标；

(2)如图2,已知a+b=0,OC>OB,作点8关于y轴的对称点E,连OE,点F为DE的中

点，连OF和CF,请补全图形，探究OF与CF有什么数量和位置关系，并证明你的结论.

(1)①八(0,2),B(-2,0)；②H(0,-2)；(2)CF1OF,CF=OF,证明见解析.

【分析】(1)①利用绝对值、完全平方的非负性的应用，求出。、b的值，即可得到答

案；

②过C作y轴垂线交8A的延长线于E,然后证明△CE4丝△CBD,得到08=。从即可得到

答案；

(2)由题意，先证明△DFGg^EFO,然后证明ADCGgZVIC。，得到ZkOCG是等腰直角三角

形，再根据三线合一定理，即可得到结论成立.

【详解】解：(1)・・・|。+4+6+4〃=-4,

・・・,+4+〃+劭+4=0,

.•.|"+可+(。+2)2=0,

/.a+b=0,b+2=(),

：.b=-2t

a=2,

：.A(0,2),B(-2,0)；

②过C作x轴垂线交BA的延长线于E,

•••0/4=08=2,Z>408=90%

•••△AOB是等腰直角三角形,

:./48。=45°,

VEC1SC,

•••△BCE是等腰直角三角形，

：.8C=EC,ZBCE=90°=ZACD,

:.NACE=/DCB,

V^C=DC,

/.△CfA^ACBD,

AZCBD=Z£=45°,

：.OH=OB=2,

：.H(0,-2)；

(2)补全图形，如图：

•・•点8、£关于y轴对称,

；・OB=OE,

\*a+b=0,即。=一6

：,OA=OB=OE

延长。F至G使FG=OF,连DG,CG,

VOF=FG,NOFE=NDFG,EF=DF

:•△DFGdEFO

：.DG=OE=OA,ZDGF=ZEOF

：.DG//OE

•・.NCDG=NOCO：

Y4cO+NC4O=NACO+NDCO=90°,

••・NOCO=NC4O；

・・・NCDG=NO8=/C4。；

'：CD=ACfOA=DG

:.△DCGWXACO

：.OC=GC,ZDCG=ZACO

ZOCG=90°,

，NCOF=45°,

•••△OCG是等腰直角三角形，

由三线合一定理得CF±OF

VZOCF=ZCOF=45°,

:・CF=OF；

【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三免形的判定和性质，轴对称的性

质，非负性的应用，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的作出辅助线进行解题.

58.已知点4在x轴正半轴上，以0A为边作等边,。八£,A[x,0),其中x是方程

3122…

------------7=7-----7的解.

23x-l6.V-2

(1)求点4的坐标；

(2)如图1,点C在y轴正半轴上，以AC为边在第一象限内作等边48,连。8并延长

交V轴于点£，求NBEO的度数；

(3)如图2,点F为x轴正半轴上一动点，点F在点4的右边，连接FB,以FB为边在第

一象限内作等边，-F8G,连G4并延长交y轴于点H,当点F运动时，A尸的值是否发

生变化？若不变，求其值；若变化，求出其变化的范围.

图1

(1)4(3,0)；(2)120°；(3)GH-A产的值是定值，9.

【分析】(1)先求出方程的解为x=3,即可求解；

(2)由“S4S"可证4。。也△DA8,可得NO84=NCO4=90。，由四边形内角和定理可求

解；

(3)由“S4S”可证△ABG^^OBF可得OF=AG,ZBAG=ZBOF=6Q°,可求NO4H=60。，可

得八片=6,即可求解.

3122

【详解】解：(1)・・一是方程：-「一;二;~的解.

23x-l6x-2

解得：x=3,

检验当x=3时，6K-2W0,3X-1W0,

・・・x=3是原方程的解，

・••点A(3,0)；

(2)VA4CD,是等边三角形，

：.AO=AB,AD=AC,/8A0=NC40=60°,

：.ZCAO=ZBAD,且40=A8,AD=AC,

：./^CAO^/\DAB(SAS)

：.ZDBA=ZC0A=9Q\

:.ZABE=90°,

'：40E+ZABE+N0A8+ZBf0=360°,

.,.Z8fO=120°；

(3)G+4F的值是定值，

理由如下：••'△ABC,ABEG是等边三角形，

：.BO=AB=AO=3,FB=BG,N80A=/48。=NF8G=60°,

：.ZOBF=ZABG,且。8=八8,BF=BG,

：./\ABG迫4OBF(SAS),

：,OF=AG,ZBAG=ZBGF=6Q°,

:.AG=OF=OA+4F=3+AF,

*/ZOAH=1800-ZOAB-ZBAG,

,NOAH=60°,月./AOH=90°,OA=3,

：,AH=6f

:.GH-AF=AH-{-AG-AF=64-3+AF-AF=9.

【点睛】本题是三角形综合题，考查了分式方程的解法，等边三角形性质，全等三角形的

性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力.

59.等边A48C中，点〃、K分别在边8C、AC上，且AK=C"，连接AH、8K交于点

尸.

(1)如图1,求/AF3的度数：

图1

(2)连接CF,若/W<?=90。，求打的值；

AF

(3)如图2,若点G为4?边的中点，连接“G,RAF=2FG,则N4/；G的大小是

F,

G

图2

(1)120°；(2)2；(3)120°

【分析】(1)由A48C是等边三角形，可得出A8=AC=8C,

ZBAC=ZABC=ZACB=60°,再利用AK=C”，可证A45Kg△C4/7(必S),得出

ZCAH=ZABK,由/8切=乙4派+/84尸=/。4”+/班/可求出/3/7/，最后由外角

定义求出NAEB.

(2)在M上取点。，使%)=A/，由44项=120。可证NART=I50。，再利用

AI3=AC,"BD=NCAF,%>=AE可证明A4瓦运ACA尸(SAS),进而求出

ZADB=ZCM=150°,再用补角的性质得知/4加=120。，在VA/T>中利用外角的性质可

求出NE4O=ZAO3-NAFD=30。，进而证出丫4尸。为等腰三角形，最后可证出

BF=BD+DF=2AF即可求解.

(3)延长M至E,使AA庄为等边三角形，延长FG交CE于7,可得出

MBF^^ACE(SAS),进而得出NA£C=NA&?=120。，利用角的和差得出

ZF£T=60°=ZA?E,则证出A/M/EC,进而证出AAFG/4C7U(A4S),再利用

AF=2FG,4尸=律证出AEF7为等边三角形，进而记出N8FG=120。.

【详解】(1)・・・AA8C是等边三角形，

/.AB=AC=BC,ZBAC=ZABC=ZACB=60°,

在AAHK和\CAH中，

AB=CA,/BAK=ZACH,AK=CH,

・•・^ABK^CAH(SAS),

・•・ZCAH=ZABK,

・•・ZLBFH=ZABK+/BAF=ZCAH+ZBAF=60°,

JZ4ra=180o-Z«FH=180o-60o=120°.

(2)在防上取点。，使RD=AF.

K

D

BHC

由(1)知乙4阳二120。，

XZBFC=90°,

ZAFC=150°.

在A4BD和△C4”中，

VAB=AC,ZABD=ZCAF,BD=AF,

.•・MBD^^CAF(SAS),

/.ZAT>8=NCE4=150。，

4=30°,

ZAFD=120°,

，ZFAD=ZADB-ZAFD=30°,

,ZFDA=ZFAD,

・•・AF=DF,

,:BD=AF,

:.BD=DF=AF,

BF=BD+DF=2AF,

：.BF.AF-2.

(3)Z^FG=120°.

提示：目测即得答案.详细理由如下：

由(1)知4阳=120。.延长8/至E,使A4FE为等边三角形.

延长依交CE于7.

•・•NBAF+NFAC=NFAC+NCAE=600,

工NBAF=NCAE,

在△84〃和VC4E中，

AF=AE

<ABAF=ZCAE,

AB=AC

・•・AABF^AACE(SAS),

，ZAEC=ZAFB=I2(r.

，ZFET=60°=ZAFE,

，AF//EC.

；•/FAG=NTCG,ZAFE=Z.TEF=^°

在..AFG和.C7G中，

ZFAG=Z.TCG

<AG=CG,

乙FGA=/TGC

：.AAFG^AC7U(A45),

:.FG=TG.

VAF=2FG,AF=EF,

，EF=FT,

•・•ZAFE=Z7EF=60°

・••AEF7为等边三角形，

/.ZEfT=60°

・•・NBFG=180°-/EFT=120°.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定

和性质，熟练掌握全等三侑形的判定和性质及等边三角形的判定和性质是解题的关键.

60、在平面直角坐标系中，A(a,0),8(0,b)分别是x轴负半轴和y轴正半轴上一点，点C

与点A关于y轴对称，点P是x轴正半釉上C点右侧一动点.

(1)当2a2+4曲4〃+2。+1=0时,求48的坐标；

(2)当G+b=0时，

①如图1,若。与P关于y轴对称，P£_LD8并交D8延长线于E,交AB的延长线于F,求

证：P8=PF；

②如图2,把射线8P绕点8顺时针旋转450,交x轴于点Q,当CP=AQ时，求N4P8的

(1)4(-1,0),5(0,1)；(2)①见解析；②N4P8=22.5'

【分析】(1)利用非负数的性质求解即可；

(2)①想办法证明NP8F=NF,可得结论；②如图2中，过点Q作QF_LQ8交P8于F,

过点F作凸_Lx轴于从可得等腰直角2QF,证明(A4S),再证明FC=FP

即可解决问题.

【详解】解：(1)V2a2+4ab+4b2+2a+l=0,

(a+26)2+(a+1)2=c,

V(a+2b)2>0,(a+1)2>0,

/.a+2b=0,a+l=0,

.・・a=-Lb=Lf

：.A(-1,0),8(0,；).

a+b=0,

.*.a=-b,

.\OA=OB,

又1Z>408=90°.

，N8AO=NA8O=45°,

•・•。与P关于y轴对称，

:・BD=BP,

：・NBDP=NBPD,

设N8DP=N8P0=a,

则ZPBF=ZBAP+ZBPA=45°+a,

•・・PE_L08,

：.^BEF=30°,

・・.NF=90。-NEBF,

又NEBF=NABD=NBAO-N8OP=45°-a,

:.ZF=450+a,

・・・NPBF=NF,

:.PB=PF.

②解：如图2中，过点。作QF_LQ8交P8于F,过点F作F”_Lx轴于可得等腰直用

△BQF,

图2

■:N80Q=/BQF=ZFHQ=90°,

，N8QO+NFQH=90。，/FQH+NQFH=90°,

：・NBQO=NQFH,

•：QB=QF,

:.△FQHWAQBO(AAS),

:.HQ=OB=OA,

：,HO=AQ=PC,

：.PH=OC=OB=QH,

：.FQ=FP,

又N8FQ=45°,

:.ZAPB=22.5°.

【点睛】本题考查完全平方公式、实数的非负性、全等三角形的判定与性质、等腰直角三

角形的判定与性质，解题为关键是综合运用相关知识解题.

61.如图，已知C。是线段的垂直平分线，垂足为D,C在。点上方，ZBAC=30°,。是

直线C。上一动点，E是射线AC上除4点外的一点，PB=PE,连8E.

(1)如图1，若点P与点C重合，求N48E的度数；

(2)如图2,若P在C点上方，求证：PD+gAC=CE；

【分析】(1)根据线段垂直平分线的性质和等边三角形的判定与性质得到：ABPE为等边

三角形，则NCB£=60°,故N48£=90°；

(2)如图2,过P作PH14E于9连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,构造含30度

角的直角APCG、直角ACPH以及全等三角形(R3PGB郅SPHE),根据含30度的直角三

角形的性质和全等三角形的对应边相等证得结论；

(3)分三种情况讨论，根据(2)的解题思路得至l」PO=；AC+CE或P0=CE-；4C,将数值代

22

入求解即可.

【详解】(1)解：如图1,•・•点P与点C重合，CD是线段A8的垂直平分线，

图1

：.PA=PB,

.••N%8=NP84=30°,

ZBPE=ZPAB+ZPBA=6Q°,

•：PB=PE,

•••△8PE为等边三角形，

:.NC8E=60°,

:.NA8E=90°；

(2)如图2,过P作PH_L4E于从连8C,作PG_L8c交8c的延长线于G,

・.・CD垂直平分48,

：,CA=CB,

VZe4C=30°,

:.NACD=N88=60°,

:.ZGCP=ZHCP=ZBCE=ZACD=ZBCD=60°,

.,.ZGPC=ZHPC=30%

:・PG=PH,CG=CH=-CP,CD=-AC,

22

在R3PGB和RtAPHE中,

PG=PH

PB=PE'

:・R3PGgRt"HE(HL).

：,BG=EH,CB+CG=CE-CHt

：.CB+-CP=CE--CP,B|JCB+CP=CE,

22

又［CB=AC,

：.CP=PD-CD=PD--AC,

2

：.PD+-AC=CE：

（3）①当P在C点上方时，由（2）得：PD=CE-^AC,

当AC=6,C£=2时,PD=2-3=-l,不符合题意;

②当P在线段C。上时，

如图3,过P作连8C,作PG_L8c交8C「G,

此时RSPGBgRtMHE(HL),

：.BG-EH,R|JCB-CG-CE+CH,

：.CB--CP=CE+-CP,SPCP=CB-CE,

22

又YCBJC,

:.PD=CD-CP=-AC-CB+CE,

2

：.PD=CE--AC.

2

当47=6,CE=2时,PD=2-3=-l,不符合题意;

③当P在。点下方时，如图4,

当47=6,C£=2时，PD=3-2=1.

故答案为：1.

【点睛】本题主要考查了三角形综合题，综合运用全等三角形的判定与性质，含30度角直

角三角形的性质，等边三角形的判定与性质等知识点，难度较大，解题时，注意要分类讨

论.

62.在平面直角坐标系中，点4的坐标是（0，〃），点B的坐标（尻0）且a,b满足

/-12〃+36+|〃-4=0.

（1）求A、8两点的坐标：

（2）如图（1）,点C为x轴负半轴一动点，OCvOB.BDLAC于D,交y轴于点£,

求证：0。平分N6A.

（3）如图（2）,点F为A8的中点，点G为x正半轴点“右侧的一动点，过点F作收的

垂线中，交y轴的负半轴于点H,那么当点G的位置不断变化时，S八"S"*的值是

否发生变化?若变化，请说明理由；若不变化，请求出相应结果.

（1）4。，6）,"（6,0）；（2）证明见解析；（3）不变化，S"”—S初G=9.

【分析】（1）由非负性可求。，b的值，即可求4、8两点的坐标：

（2）过点。作OM_L8O于M,ON_LAC于N,根据全等三角形的判定和性质解答即可；

（3）由于点F是等腰直角三角形八。8的斜边的中点，所以连接。F,得出0F=8F.ZfiFO=

/GFH,进而得出N0FH=/8FG,利用等腰直角三角形和全等三角形的判定和性质以及三

角形面积公式解答即可.

【详解】解：（1）-：a2-\2a+36+\a-b\=Q

(a-6)~+|a-4=0,

a-6=0

,八，即a=8=6.

a-b=0

・・.A(0,6),8(6,0).

(2)如图，过点。作0M_L3。于M,ONJ.4c于N,

根据题意可知Z4CO+ZC4O=90°.

8。J.AC,

ZBCD+ZCBE=90°,

，4CAO=ZCBE.

4(0,6),B(6,0),

OA=OB=6.

/CAO=NEBO

在△AOC和ABOE中，OA=OB

/AOC=^BOE=90°

：.AOC^.BOE(ASA).

.・.OE=OC，AC=BE，SeS…

：.-AC-ON=~BE-OM,

22

：・OM=ON,

工点。一定在NCD8的角平分线上，

即0。平分NCD8.

(3)如图，连接0F,

•・•AQB是等腰直角三角形旦点F为人B的中点,

C.OFVAB,OF=FB,OF平分NA08.

4OFB=4OFH+ZHFB=9Q°.

又「FG1.FH,

，/HFG=/BFG+/HFB=90°,

，NOFH=NBFG.

•・•/FOB=L^AOB=45。,

2

...^FOH=Z.FOB+=d5°+90°=135°.

又\*/FBG=1800-ZABO=180°-45°=135°,

・•・4FOH=4FBG.

/OFH=NBFG

在△FOH和△F3G中，OF=BF,

NFOH=ZFBG

：,FOH^FBGCASA).

•**SFOH-SFBG»

S.AFH-Sfbg=SAFH-SF0H=SF0A=—SA0B=—x—=—x6x6=9.

故不发生变化，且S.""-S'w=9.

【点睛】本题为三角形综合题，考查非负数的性质，角平分线的判定，等腰直角三角形的

性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题，正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题.

63.如图1,在平面直角坐标系中，AO=AB,N8AO=90。，8O=8cm,动点。从原点。出

发沿x轴正方向以acm/s的速度运动，动点E也同时从原点0出发在y轴上以bcm/s的速

度运动，且。，b满足关系式a2+b2-4a-2b+5=0,连接0D,0£,设运动的时间为t杪.

(1)求a,b的值：

(2)当t为何值时，ABAD出40AE；

(3)如图2,在第一象限存在点P,使N4OP=30°,NAP0=15。，求乙48P.

8

(1)a=2,b=l：(2)t=§或t=8：(3)/ABP=105°.

【分析】(1)将。2+b2-4a-2b+5=0用配方法得出(a-2)2+(d-1)2=0,利用非负数

的性质，即可得出结论；

(2)先由运动得出80=8-2t|,再由全等三角形的性质的出货80=0E,建立方程求解

即可得出结论.

(3)先判断出AOAP丝△B4Q(S/45),得出。P=8Q,ZABQ=ZA0P=3Q°,ZAQB=Z

AP0=15°f再求出NOWP=135。，进而判断出AOAQ名△84Q(SAS),得出N0QA=N8Q4

=15。，0Q=8Q,再判断出AOP。是等边三角形，得出/OQP=60。，进而求出N8QP=

30°,再求出NP8Q=乃。，即可得出结论.

【详解】解：(1):标+炉-4a-2b+5=0,

・•・(a-2)2+(b-1)2=0,

.\a-2=0,b-1=0,

，a=2,b=l；

(2)由(1)知，a=2,5=1,

由运动知，0D=2t,OE=t,

VOB=8,

：.DB=\8-2tl

ABAD出＞OAE,

•/DB=OE,

/.|8-2t|=t,

Q

解得，t=~(如图1)或t=8(如图2)；

J

(3)如图3,

过点A作AQ_LAP，使AQ=4P,连接OQ,BQ,PQ,

则/APQ=45°,N%Q=90°,

•・•/OA8=90°,

:・/PAQ=/OAB,

:.ZOAB+ZBAP=ZPAQ+ZBAP,

即：ZOAP=ZBAQ,

\'OA=ABtAD=AD,

：,/\OAP^/\BAQ.(545).

：,OP=BQ,ZABQ=ZA0P=30o,ZAQB=ZAPO