2025年高中数学必修知识点总结点直线与平面的位置关系

高中数學必修2知识點總結02點、直线、平面的位置关系點、直线、平面是构成空间几何体基本元素，研究它們之间的性质以及互相之间的位置关系，是研究空间几何体性质的一般措施。教材规定：理解空间中點、直线、平面的位置关系；學會用数學語言表述有关平行、垂直的鉴定与性质，并對某些結论進行论证；掌握直线和平面平行的鉴定定理和性质定理；理解直线和平面垂直的概念；掌握直线和平面垂直的鉴定定理；掌握三垂线定理及其逆定理等一、直线与平面位置关系高考考试内容及考试规定：考试内容：1、平面及其基本性质；2、平行直线；對应边分别平行的角；异面直线所成的角；异面直线的公垂线；异面直线的距离；3、直线和平面平行的鉴定与性质；直线和平面垂直的鉴定与性质；點到平面的距离；斜线在平面上的射影；直线和平面所成的角；三垂线定理及其逆定理；4、平行平面的鉴定与性质；平行平面间的距离；二面角及其平面角；两個平面垂直的鉴定与性质；考试规定：1、掌握平面的基本性质；可以画出空间两条直线、直线和平面的多种位置关系的图形，可以根据图形想像它們的位置关系。2、掌握两条直线平行与垂直的鉴定定理和性质定理，掌握两条直线所成的角和距离的概念，對于异面直线的距离，只规定會计算已給出公垂线時的距离；3、掌握直线和平面平行的鉴定定理和性质定理；掌握直线和平面垂直的鉴定定理和性质定理；掌握斜线在平面上的射影、直线和平面所成的角、直线和平面的距离的概念掌握三垂线定理及其逆定理；4、掌握两個平面平行的鉴定定理和性质定理，掌握二面角、二面角的平面角、两個平行平面间的距离的概念，掌握两個平面垂直的鉴定定理和性质定理。二、空间中的平行关系課標规定：1．平面的基本性质与推论借助長方体模型，在直观认识和理解空间點、线、面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并理解如下可以作為推理根据的公理和定理：◆公理1：假如一条直线上的两點在一种平面内，那么這条直线在此平面内；◆公理2：過不在一条直线上的三點，有且只有一种平面；◆公理3：假如两個不重叠的平面有一种公共點，那么它們有且只有一条過该點的公共直线；◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行；◆定理：空间中假如两個角的两条边分别對应平行，那么這两個角相等或互补。2．空间中的平行关系以立体几何的上述定义、公理和定理為出发點，通過直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与鉴定。通過直观感知、操作确认，归纳出如下鉴定定理：◆平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；◆一种平面内的两条相交直线与另一种平面平行，则這两個平面平行；通過直观感知、操作确认，归纳出如下性质定理，并加以证明：◆一条直线与一种平面平行，则過该直线的任一种平面与此平面的交线与该直线平行；◆两個平面平行，则任意一种平面与這两個平面相交所得的交线互相平行；◆垂直于同一种平面的两条直线平行能运用已获得的結论证明某些空间位置关系的简朴命題。要點精讲：1．平面的性质（1）平面的两個特性：①無限延展②平的（没有厚度）無边界（2）平面的画法：一般画平行四边形来表达平面（3）平面的表达：用一种小写的希腊字母等表达，如平面、平面；用表达平行四边形的两個相對顶點的字母表达，如平面AC。2．三公理三推论：公理1：假如一条直线上有两個點在一种平面内，那么這条直线在此平面内。用符号表达：公理2：通過不在同一直线上的三點，有且只有一种平面。推论一：通過一条直线和這条直线外的一點，有且只有一种平面。推论二：通過两条相交直线，有且只有一种平面。推论三：通過两条平行直线，有且只有一种平面。公理3：假如两個不重叠的平面有一种公共點，那么它們有且只有一条過该點的公共直线。用符号表达為：3．空间中两直线位置关系:（1）空间两条直线有且仅有三种位置关系：异面直线：1）定义：不一样在任何一种平面内的两条直线——异面直线（skewlines）；2）鉴定定理：连平面内的一點与平面外一點的直线与這個平面内不過此點的直线是异面直线。其图形与符号語言如下：注：异面直线的画法常用的有下列三种：异面直线所成的角：1）范围：；2）作异面直线所成的角：平移法。如下图，在空间任取一點O，過O作，则所成的θ角為异面直线a,b所成的角。尤其地，找异面直线所成的角時，常常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊點（如线段中點，端點等）上，形成异面直线所成的角。（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，這個結论在空间也是成立的。公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。（平行线的传递公理），其符号表述：（3）定理（等角定理）：空间中假如两個角的两边分别對应平行，那么這两個角相等或互补。4．空间中直线与平面的位置关系（1）直线在平面内（有無数個公共點）；（2）直线和平面相交（有且只有一种公共點）；（3）直线和平面平行（没有公共點）其中，直线与平面相交或平行的状况统称為直线在平面外。它們的图形分别可表达為如下，符号分别可表达為。线面平行的鉴定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。符号表达為：图形表达為：线面平行的性质符号表达為：。图形表达為：5．空间两平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共點）（1）两平面平行的鉴定定理：一种平面内的两条相交直线与另一种平面平行，那么這两個平面平行。符号表达為：推论：假如一种平面内有两条相交直线分别平行于另一种平面内的两条相交直线，那么這两個平面互相平行。符号表达為：（2）两平面平行的性质定理：（1）假如两個平面平行，那么其中一种平面内的直线平行于另一种平面；（2）假如两個平行平面同步和第三個平面相交，那么它們的交线平行。注：证明两平面平行的措施：（1）运用定义证明。运用反证法，假设两平面不平行，则它們必相交，再导出矛盾。（2）鉴定定理：一种平面内有两条相交直线都平行于另一种平面，则這两個平面平行，這個定理可简记為线面平行则面面平行。用符号表达是：a∩b，aα，bα，a∥β，b∥β，则α∥β。（3）垂直于同一直线的两個平面平行。用符号表达是：a⊥α，a⊥β则α∥β。（4）平行于同一种平面的两個平面平行。两個平面平行的性质有五条：（1）两個平面平行，其中一种平面内的任一直线必平行于另一种平面，這個定理可简记為：“面面平行，则线面平行”。用符号表达是：α∥β，aα，则a∥β。（2）假如两個平行平面同步与第三個平面相交，那么它們的交线平行，這個定理可简记為：“面面平行，则线线平行”。用符号表达是：α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b。（3）一条直线垂直于两平行平面中的一种平面，它也垂直于另一种平面。這個定理可用于证线面垂直。用符号表达是：α∥β，a⊥α，则a⊥β。（4）夹在两個平行平面间的平行线段相等。（5）過平面外一點只有一种平面与已知平面平行。三、空间中的垂直关系課標规定：以立体几何的上述定义、公理和定理為出发點，通過直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与鉴定。通過直观感知、操作确认，归纳出如下鉴定定理：◆一条直线与一种平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。◆一种平面過另一种平面的垂线，则两個平面垂直。通過直观感知、操作确认，归纳出如下性质定理，并加以证明：◆两個平面垂直，则一种平面内垂直于交线的直线与另一种平面垂直。能运用已获得的結论证明某些空间位置关系的简朴命題。要點精讲：1．线线垂直判断线线垂直的措施：所成的角是直角，两直线垂直；垂直于平行线中的一条，必垂直于另一条。三垂线定理：在平面内的一条直线，假如它和這個平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和這条斜线垂直。三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，假如和這個平面的一条斜线垂直，那么它也和這条斜线的射影垂直。符号表达：注意：⑴三垂线指PA，PO，AO都垂直α内的直线a其实质是：斜线和平面内一条直线垂直的鉴定和性质定理⑵要考虑a的位置，并注意两定理交替使用。2．线面垂直定义：假如一条直线l和一种平面α相交，并且和平面α内的任意一条直线都垂直，我們就說直线l和平面α互相垂直。其中直线l叫做平面的垂线，平面α叫做直线l的垂面，直线与平面的交點叫做垂足。直线l与平面α垂直记作：l⊥α。直线与平面垂直的鉴定定理：一条直线与一种平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一种平面的两条直线平行。3．面面垂直两個平面垂直的定义：相交成直二面角的两個平面叫做互相垂直的平面。两平面垂直的鉴定定理：（线面垂直面面垂直）一种平面通過另一种平面的垂线，则這两個平面垂直。两平面垂直的性质定理：（面面垂直线面垂直）两個平面垂直，则一种平面内垂直于交线的直线与另一种平面垂直。附注：垂直和平行波及題目的处理措施须纯熟掌握两类互相转化关系：四、空间中的夹角和距离（拓展）課標规定：1．掌握两条直线所成的角和距离的概念及等角定理；（對于异面直线的距离，只规定會计算已給出公垂线時的距离）。2．掌握點、直线到平面的距离，直线和平面所成的角；3．掌握平行平面间的距离，會求二面角及其平面角；要點精讲：1．距离空间中的距离是立体几何的重要内容，其内容重要包括：點點距，點线距，點面距，线线距，线面距，面面距。其中重點是點點距、點线距、點面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握點、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和近来性，理解距离都指對应线段的長度，懂得几种距离之间的转化关系，所有這些都是拾分重要的。求距离的重點在點到平面的距离，直线到平面的距离和两個平面的距离可以转化成點到平面的距离，一种點到平面的距离也可以转化成此外一种點到這個平面的距离。（1）两条异面直线的距离两条异面直线的公垂线在這两条异面直线间的线段的長度，叫做两条异面直线的距离；求法：假如懂得两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的長度。（2）點到平面的距离平面外一點P在该平面上的射影為P′，则线段PP′的長度就是點到平面的距离；求法：eq\o\ac(○,1)“一找二证三求”，三步都必须要清晰地写出来。eq\o\ac(○,2)等体积法。（3）直线与平面的距离：一条直线和一种平面平行，這条直线上任意一點到平面的距离，叫做這条直线和平面的距离；（4）平行平面间的距离：两個平行平面的公垂线段的長度，叫做两個平行平面的距离。求距离的一般措施和环节：应用多种距离之间的转化关系和“平行移動”的思想措施，把所求的距离转化為點點距、點线距或點面距求之，其一般环节是：①找出或作出表达有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某個三角形．若表达距离的线段不轻易找出或作出，可用体积等积法计算求之。异面直线上两點间距离公式，假如两条异面直线a、b所成的角為θ，它們的公垂线AA′的長度為d，在a上有线段A′E＝m，b上有线段AF＝n，那么（“±”符号由实际状况选定）2．夹角空间中的多种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解多种角的概念定义和取值范围，其范围依次為0°，90°、[0°，90°]和[0°，180°]。（1）两条异面直线所成的角求法：eq\o\ac(○,1)先通過其中一条直线或者两条直线的平移，找出這两条异面直线所成的角，然後通過解三角形去求得；eq\o\ac(○,2)通過两条异面直线的方向量所成的角来求得，不過注意到异面直线所成角得范围是，向量所成的角范围是，假如求出的是钝角，要注意转化成對应的锐角。（2）直线和平面所成的角求法：“一找二证三求”，三步都必须要清晰地写出来。除特殊位置外，重要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。（3）二面角的度量是通過其平面角来实現的处理二面角的問題往往是從作出其平面角的图形入手，因此作二面角的平面角就成為解題的关键。一般的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）运用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一點作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，當作二面角的平面角有困难時，可用射影面积法解之，，其中S為斜面面积，S′為射影面积，θ為斜面与射影面所成的二面角。3．等角定理假如一种角的两边和另一种角的两边分别平行，并且方向相似，那么這两個角相等。推论：假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么這两组直线所成的锐角（或直角）相等。附注：空间的角和距离是空间图形中最基本的数量关系，空间的角重要研究射影以及与射影有关的定理、空间两直线所成的角、直线和平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等。解此类問題的基本思绪是把空间問題转化為平面問題去处理。1．空间的角，是對由點、直线、平面所构成的空间图形中多种元素间的位置关系進行定量分析的一种重要概念，由它們的定义，可得其取值范围，如两异面直线所成的角θ∈(0，)，直线与平面所成的角θ∈，二面角的大小，可用它們的平面角来度量，其平面角θ∈(0，π)。對于空间角的计算，總是通過一定的手段将其转化為一种平面内的角，并把它置于一种平面图形，并且是一种三角形的内角来处理，而這种转化就是运用直线与平面的平行与垂直来实現的，因此求這些角的過程也是直线、平面的平行与垂直的重要应用．通過空间角的计算和应用深入培养运算能力、逻辑推理能力及空间想象能力．（1）求异面直线所成的角，一般是平移转化法。措施一是在异面直线中的一条直线上选择“特殊點”，作另一条直线的平行线；或過空间任一點分别作两异面直线的平行线，這样就作出了两异面直线所成的角θ，构造一种含θ的三角形，解三角形即可。措施二是补形法：将空间图形补成熟悉的、完整的几何体，這样有助于找到两条异面直线所成的角θ。（2）求直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交點（斜足），然後在直线上取一點（除斜足外）作平面的垂线，再连接垂足和斜足（即得直接在平面内的射影），最终解由垂线、斜线、射影所构成的直角三角形，求出直线与平面所成的角。（3）求二面角，一般有直接法和间接法两种。所谓直接法求二面角，就是作出二面角的平面角来解。其中有棱二面角作平面角的措施一般有：①根据定义作二面角的平面角；②垂面法作二面角的平面角；③运用三垂线定理及其逆定理作二面角的平面角；無棱二面角先作出棱後同上進行。间接法重要是投影法：即在一种平面α上的图形面积為S，它在另一种平面β上的投影面积為S′，這两個平面的夹角為θ，则S′=Scosθ。如求异面直线所成的角常用平移法（转化為相交直线）；求直线与平面所成的角常运用射影转化為相交直线所成的角；而求二面角－l－的平面角（记作）一般有如下几种措施：(1)根据定义；(2)過棱l上任一點O作棱l的垂面，设∩＝OA，∩＝OB，则∠AOB＝(图1)；(3)运用三垂线定理或逆定理，過一种半平面内一點A，分别作另一种平面的垂线AB(垂足為B),或棱l的垂线AC(垂足為C)，连結AC，则∠ACB＝或∠ACB＝－(图2)；(4)设A為平面外任一點，AB⊥，垂足為B，AC⊥，垂足為C，则∠BAC＝或∠BAC＝－(图3)；(5)运用面积射影定理，设平面内的平面图形F的面积為S，F在平面内的射影图形的面积為S，则cos＝.2．空间的距离問題，重要是求空间两點之间、點到直线、點到平面、两条异面