人教版七年级上册数学角的旋转期末压轴题

人教版七年级上册数学角的旋转期末压轴题

1.已知ZAOB=110。，ZCOD=40°,。七平分ZA。。，OF平分NBOD.

(1)如图，当08、OC重合时，求Z4OE-NBOF的值;

(2)若"OQ从上图所示位置绕点。以每秒3。的速度顺时针旋转/秒(0<t<10),在旋转过程中ZAOE-NBC下的

值是否会因f的变化而变化，若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由.

2.已知404=150。，射线8从OB出发，绕。逆时针以1。/秒的速度旋转，射线OQ从04出发，绕。顺时针

以3。/秒的速度旋转，两射线同时出发，运动时间为，秒(0UW60)

(1)当1=12秒时，求N/'OQ；

(2)当。PJ.OQ,求，的值;

(3)射线OP,OQ,0B,其中•条射线是其他两条射线所形成的角的平分线，求/的值.

B

O

3.将一副三角板中含有60。角的三角板的顶点和另一块含有45。角的三角板的顶点重合于一点。，绕着点。旋转含

有60。角的三角板，拼成如图的情况（06在N。7。内部），请回答问题：

（1）如图1放置，将含有60。角的一边与45。角的一边重合，求出此时N4OD的度数；

（2）绕着点。，转动三角板AO8,恰好是08平分/C8,此时ZA8的度数应该是多少？

（3）是否存在这种情况，4OC的度数恰好等于N4OD度数的3倍.如果存在，请求出48的度数，如果不存

在请说明理由.

4.点。为直线A8上一点,过点。作射线。C,使N4OG120。，一直角三角板的直角顶点放在点。处.

（1）如图1,将三角板。OE的一边。。与射线。8重合时，则/C。庆—。：

（2）如图2,将图1中的三角板。OE绕点O逆时创旋转一定角度，当OC恰好是的角平分线时，求/CO。

的度数；

（3）将图1中的三角尺。OE绕点。逆时针旋转旋转。度，0E始终在NAOC的内部，在旋转的过程中，能否使

NAOE=3NCOD?若能,求出。的度数；若不能，说明理由.

试卷第2页，共8页

5.如图，已知乙4。8=120。，射线0P从0A位置出发，以每秒2。的速度顺时针向射线08旋转；与此同时，射线

OQ以每秒6。的速度，从08位置出发逆时计向射线OA旋转，当射线OQii到OA后，两条射线同时停止运动.设

旋转时间为1秒.

(1)分别求出当f=5和，=18时,NPOQ的度数;

(2)当。尸与。。重合时，求/的值：

(3)当NPOQ=40。时,求)的值.

6.已知NAO4,过顶点O作射线。P,若乃=£NAOP,则称射线(乃为NAO4的“好线”，因此NAO4的，,好

线''有两条,如图1，射线OPi,82都是NAOB的“好线”.

(1)已知射线0尸是。POB的“好线”,且N8OP=30。,求NAOB的度数.

(2)如图2,。是直线MN上的一点，0B,。4分别是NM0尸和NPON的平分线，已知NMO8=30。，请通过计

算说明射线0P是NAO8的一条“好线”.

(3)如图3,已知NMON=120。，NNOB=4U".射线OP和。4分别从和03同时出发，绕点。按顺时针方

向旋转，OP的速度为每秒12。，。4的速度为每秒4。，当射线0P旋转到ON上时，两条射线同时停止.在旋转过

程中，射线0P能否成为/A08的“好线”.若不能，请说明理由；若能，请求出符合条件的所有的旋转时间.

7.乐乐对几何中角平分线部分的学习兴趣浓厚，请你和乐乐一起探究下面问题吧.已知N408=100。，射线。乐

。产分别是/AOC和NCOA的平分线.

（1）如图1,若射线0c在NAO8的内部，且NAOC=30。，求NEC尸的度数:

（2）如图2,若射线0C在NAO8的内部绕点O旋转，则NE0/的度数;

（3）若射线0C在NA08的外部绕点。旋转（旋转中NAOC,ZBOC,均指小于180。的角），其余条件不变，请

借助图3探究NEOF的大小，请直接写出NEO厂的度数.（不写探究过程）

8.己知：如图1,点4、0、8依次在直线MN上，现将射线OA绕点。按顺时针方向以每秒20。的速度旋转，同时

射线OB绕点O按逆时针方向以每秒40。的速度旋转，如图2,设旋转时间为1（0秒秒）

（1）用含，的代数式表示NMO4的度数.

（2）在运动过程中，当N4O及第二次达到120。时，求,的值.

（3）如果让射线OA改变方向，绕点O逆时针方向旋转，在用时不超过30秒的情况下，用时多少秒，能使得

=请直接写出/的值.

试卷第4页，共8页

9.如图I,点O,M在直线AB上，ZAOC=30°,ZMON=60°,将NMON绕着点O以12%的速度逆时针旋转,

设旋转时间为is(0<t<30).

(1)如图2,当OC平分NAON时，求t的值.

(2)如图3,当0VtV7.5,OD平分NBOM,OF平分NCON时，求NDOF的度数.

(3)在NMON绕着点O逆时针旋转过程中，当NAON=NCOM时，请画出图形，并求出t的值.

oMB

图1

10.已知射线OC在NAO8的内部，射线OE平分NAOC,射线O/平分NCO3.

(1)如图1,若4408=100。，ZAOC=30°,则=度；

(2)如图2,若=ZAOC=p,若射线OC在408的内部绕点。旋转，求NEOF的大小；

(3)在(2)的条件下，若射线OC在4OB的外部绕点。旋转(旋转中乙4OC、NCOA均是指小于180。的角)，其

余条件不变，请借助图3探究/EO尸的大小，求NEO厂的大小.

.4EQAE

II.如国1，射线0C在乙408的内部，图中共有3个角：ZAOB、NAOC、NBOC,若其中有一个角的度数是另

一个角度数的两倍，则称射线OC是乙406的“定分线”.

（1）一个角的平分线这个带的“定分线”；（填“是”或“不是”）

（2）如图2,若/MPN=a,且射线PQ是NMPN的“定分线”，则NMPQ=（用含a的代数式表示出所有可

能的结果）；

（3）如图2,若/MPN=48°,且射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒8。的速度逆时针旋转，当PQ与PN成90。

时停止旋转,旋转的时间为t秒；同时射线PM绕点P以每秒4。的速度逆时针旋转,并与PQ同时停止.当PQ是/MPN

的“定分线”时，求t的值.

图1图2

12.如图，ZAOB=150°,射线OC从0A开始，绕点0逆时针旋转，旋转的速度为每秒6。；射线0D从0B开始,

绕点0顺时针旋转，旋转的速度为每秒14。，0C和0D同时旋转，设旋转的时间为t秒（0S625）.

（1）当t为何值时，射线OC与OD重合；

（2）当t为何值时，ZCOD=90°；

（3）试探索：在射线OC与0D旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得射线OC、0B与0D中的某一条射线是

另两条射线所夹角的角平分线？若存在，请直接写出所有满足题意的1的取值，若不存在，请说明理由.

试卷第6页，共8页

13.将一副三角板叠放在一起，使直用顶点重合于点0.

(1)如图1,若/AOO=35。，求/BOC的度数.

(2)若三角板A08保持不动，将三角板C。。的边O。与边0A重合，然后将其绕点。旋转.试猜想在旋转过程

中，NAOC与N8OO有何数量关系？请说明理由.

14.已知。是直线/W上一点，将一个直角三角尺OMN按图①方式放置，直角边ON在直线AA上，另一条直角边OM

与的夹角NAOM=90。，射线0C在44W内部.

(1)如图②，将三角尺QMN绕着点。顺时针旋转，当OM平分N8O。时，试判断NAON与NCQV的大小关系，

并说明理由.

(2)若NAOC=60。，三角尺OMN绕点。顺时针旋转一周，每秒旋转5。，旋转时间为/,则当/为何值时

NCON=NMOB?

(3)在(2)的条件下，在三角尺OMV绕点0顺时针旋转一周的过程中，NCON+NMO4的值能否为定值？若能,

求/的取值范围.

15.已知ZAQ8=120。，ZCOD=80°,OM,ON分别是NAO8,NCOQ的平分线.

(1)如果OA,OC重合，且OD在乙406的内部，如图1,求/MCW的度数.

(2)如果将图1中的/C8绕点时针旋转〃。(0<〃<160。)，如图2.

①NM0N与旋转度数〃。有怎样的数量关系？说明理由.

②当〃为多少时，NMON为直角？

(3)如果NAO3的位置和大小不变，NC8的边。。的位置不变，改变/C8的大小，将图1中的OC绕着。点顺

时针旋转〃产(。<〃?<100)，如图3,NMQV与旋转度数〃?。有怎样的数量关系？直接写出答案.

试卷第8页，共8页

参考答案

1.

解：(1)〈OE平分/AOC,OF平分NBOD,

ZAOE=^NAO8=gxll()o=55°,NBOF=；ZCOD=1x40°=20°,

，NAOE-N8OF=55°-20°=35。；

(2)NAOENBO尸的值是定值,如图2,

由题意N8OC=3〃，

则NAOC=/4OB+3/，NBOIANCOD+3%

TOE平分N4OC,平分NBOO,

/.ZAOE=^ZAOC=^(1100+3/°),Z1BOF=^ZBOD=^(40°+3/°),

/.ZAOE-ZBOF=^(1100+3/°)4(40°+3r°)=35°,

/AOE-NBOF的值是定值.

2.

(1)当/=12时，4O0=l2x30=36。，ZPOB=12xl°=12°

・•・ZPOQ=ZAOI3-ZAOQ-NPOB=150°-36o-12°=l02°.

(2)ZAOP=3t,NPOB=i,

OQ与。夕相遇前，当0KY37.5时，

ZPOQ=150-ZAOQ-NPOB=150-4/

*：OPLOQ,

J1500-4r=90°,

/=15,

答案第1页，共”页

OQ与。夕相遇后，37.5<Y50时，

乙POQ=ZPOB-(\50-Z4OG)=4/-150<50°,

・•・。夕不垂直OQ,

当50V/M60时，

ZPOQ=ZPOB+(ZAOQ-\50)=4t-150f

•：OPIOQ,,

:.4150=90。，

/=60,

综上所述，当1=15或60对，OPLOQ.

(3)当OP平分NQO8时，

ZPOQ=NPOB=gNQOB,

150-4r=r,

r=30,

当。。平分NPW时，

ZPOQ=NQOB=|NPOB,

L=150—31,

2

7。=300,

300

t=——,

7

当。8平分NPOQ时，

NPOB=NQOB,

—50,

(=75(不合题意),

综上所述，当/=30或平时，

OP、OQ、08其中一条射线是其他两条射线所形成的角的平分线.

3.

(1)由三角板知，/AO8=60。，ZCOZ>45°,

ZAOD=450+60=105°；

答案第2页，共”页

(2)•.03平分NC。。,

・••/BOD二NCOO二x45。=22.5°；

22

•••/AOD=NAOB+NBOD

=6()。+22.5。=82.5。；

⑶设〃。。内,

贝i」/AOC=60°-x,ZB(7Z)=45o-x,

vNA0C=3NB0。，

•••60°-x=3(45°-x),

解得x=37.5。，

此时，ZAOD=ZCOD+ZAOC=45°+(60°-37.5°)

=450+22.5°=67.5°.

4.

(1)VZAOC=120°,三角板OOE的一边。力与射线OB重合,

/.ZCOD=180o-120°=60°；

故答案为：60.

(2);OC平分N8OE,

NCOE=NBOC,

；ZBOC=1800-NAOC=180°-l20°=60°,

/.ZCOE=60°,

•・•ZDOE=90°,

•••ZCOD=90°-ZC(9E=30o；

(3)能，理由如下:

根据题意，得NBOD二a,

由(2)知NBOC=60。,

①如下图，

•.*ZAOC=120°,AZCOD=ZBOC-ZBOD=60o-a,

答案第3页，共”页

,?ZAOE=3ZCOD,

/.NAOE=3（60。-。）,

Z/9OE=90°,ZAOE+ZDOE+ZBOD=180°,

・•・NAOE+NBOD=90。，即3（60°-«）+a=90。，

解得a=45。.

②如下图，

/COD=/BOD-/BOC=a-60°,

丁ZAOE=3ZCOD.

JNAOE=3（a-60。），

VZDOE=90°tZAOE+ZDOE+ZBOD=180°,

:.NAO£+NBOQ=90。，即3（。-60。）+。=90°,

解得a=67.5。,

综上可得,。为45。或67.5。.

5.

解：（1）当，=5时，ZAOP=2t=\Q0,/8。。=6/=30。，

/POQ=ZAOB-ZAOP-ZBOQ=\200-10°-30°=80°；

当1=18时，ZAOP=2t=36°fZBOQ=6t=\OS°f

・•・NAOQ=120。・108。=12。，

：,ZPOQ=ZAOP-ZAOQ=36Q-12°=24°；

<2）当O尸与OQ重合时，

依题意得:2什6f=120,

解得：/=15；

（3）当0<二15时，

依题意得：2/+6/+40=120,

解得：/=1（）,

当15V£2。时,

答案第4页，共”页

依题意得：2/+6/-40=120,

解得：/=20,

・••当NPOQ=4()。时，/的值为10或2().

6.

解：⑴•・•射线。尸是N4OB的好线，且N8OP=30。

/.ZAOP=2ZBOP=60C>

・••当OP在NAO3内部时，ZAOB=ZBOP+ZAOP=90°,

当OP^ZAOB外部时，ZAO13=ZAOP-ZBOP=30°

・•・NAOB=90。或30。；

⑵；OB,OA别是NMOP和NPON的平分线

AZAOB=ZBOP+ZAOP=^(ZMOP+ZNOP)=9O0,NB()P=NBOM=30。,

.・•ZAOP=90o-30°=60°

ZAOP

：,OP是乙4OB的一条“好线”；

⑶设运动时间为，，则NMOP=12f,NBOA=4f,

当。。在。8上方时，ZBOP=SO0-12t,ZAOP=80°+4M2r=80°-8t,

:.80-8r=2(80-12r)

解得:r=5；

当OP在OB下方时，ZBOP=12r-80°,ZA(?P=80°+4M2/=80°-8r,

・•・80-8/=2(127-80),

解得：4

综上所述：运动时间为，秒或5秒.

7.

解：(1)TOE是4OC的平分线，ZAOC=30°,

/.ZCOE=-ZAOC=15°,

2

-,•Z4OB=100°,

ACOB=Z4OB—ZAOC=70。，

答案第5页，共”页

•.♦OF是NCOB的平分线，

ZCOF=-ZCOB=35°,

2

:"EOF=4cOE+NCOF=15。+35。=50°；

(2)•/ZAOB=iOO°,

「.Z4OC+ZCOB=100°,

•.•O石是乙4OC的平分线，。尸是NCO6的平分线，

ZCOE=-NAOCZCOF=-Z.COB,

22

NEOF=ZCOE+ZCOF=g(/AOC+NCOB)=50°；

(3)TOE是NAOC的平分线，O厂是NCO8的平分线，

/.ZCOE=iZAOC,Z.COF=-NCOB,

22

由题意，分以卜三种情况：

①如图，延长8。至点。，当射线OC在N4OD的内部时,

•.•乙4。8=100。，

:.ZCOB-ZAOC=\00°,

/EOF=Z.COF-ZCOE=g(NCOB-ZAOC)=50°；

②如图，延长BO至点。，延长AO至点M,当射线OC在的内部时,

vZAOB=100°,

:"COB+ZAOC=360°-ZAOB=260°,

答案第6页，共”页

/EOF=Z.COF+ZCOf=-(ZCOB+ZAOC)=130°；

③如图，延长40至点M,当射线。。在N8O例的内部时,

与

Nfc

•.•4404=100。，

/.^AOC-Z.COB=m0,

NEOF=ZCOE-ZCOF=g(NAOC—NCOB)=50°；

综上，/瓦加•的度数为50。或130。.

8.

解：(1)当0WE9时，NMQ4=20f,

当9VW18时，ZMOA=360°-20r,

当18VB27时:/MQ4=20b360°,

当27V630时，NMOA=720。-201,

(2)当NA04第二次达到120。时，如图1,得：

NMOA+NNO8-/AO8=180°

1.201+40120=180,解得f=5；

图1

(3)如图2,当N4O8第一次达到30。时，。3比0A多转了(180-30)°,得:

40r-20/=180-30

解得：f=7.5

答案第7页，共”页

O

3/N

B\

图2

如图3,当NAO3第二次达到30。时，08比0A多转了(180+30)°,得:

40/-20/=180+30

解得：1=10.5

图3

当N4O8第三次达到30。时，。8比04多转了(180+36()-30)°,得：

40/-20/=180+360-30

解得：f=25.5

当NAO8第四次达到30。时，。8比04多转了(180+360+30)°,得:

40r-20r=180+360+30

解得：f=28.5

综上所述,1=7.5或10.5或25.5或28.5时,408=30。.

9.

图2

•••OC平分NAON,

AZAOC=ZCON=30o,

:.ZBOM=180°-60°-60°=60°,

A12t=60,

答案第8页，共”页

解得t=5.

故t的值为5s；

(2)如图3中,

图3

VZAOC=30°,ZMON=60°,ZBOM=(12t)0,

AZCON=(90-I2t)°,

：OD平分/BOM,OF平分NCON,

.\ZFON=j(90-12t)0=(45-6t)°,ZMOD=x(12t)°=(6t)°

AZDOF=ZFON+ZMON+ZMOD=(45-6t)o+60o+(6t)°=105°；

(3)如图3-1中，当NAON=NCOM时，

VZAOC=30°,ZMON=60°,

.\ZA0N=ZC0M=15o,

/.ZBOM=135°,

・・・t=135+12=11.25.

如图3-2中，当NAON=NCOM时，则NCON=NAOM,

VZAOC=30°,ZMON=60°,

AZCON=ZAOM=135°,

:.ZBON=180o-300-135o=15°,

，NBOM=45。，

/.12t=360-45,

答案第9页，共”页

解得t=26.25.

图3-2

故t的值为11.25或26.25s.

10.

解：(I)•••ZAOB=1(X)°,ZAOC=30°,

/.ZBOC=ZAOB-ZAOC=100°-30°=70°,

v射线OE平分/AOC,射线"平分NCO3.

ZEOC=-NAOC=15°,ZroC=-NBOC=35°,

22

"EOF=ZEOC+ZFOC=150+35°=50°,

故答案为：50.

(2)•・•射线。七平分乙AOC,射线O「平分NC(明

NEOC=-ZAOC,Z.COF=-Z.COB

22

/EOF=ZEOC+ZCOF=g(N4OC+NN8OC)

•••NA04=%

ZEOF=-a.

2

(3)分以下两种情况：

①当射线O£,。尸只有1条在NAO3外部时，如图3①,

答案第10页，共17页

同理可得：ZCOE=-ZAOC,Z.COF=-ZBOC,

22

NEOF=ZCOF-ZCOE=g(ZBOC-ZAOC)=gZAOB=ga,

②当射线OE,a•都在Z4O5外部时，如图3②，

同理可得：NCOE=上NAOC/COF==NBOC,

22

/./EOF=ZEOC+ZCOF=-(NAOC+/BOC)=-(360°-Z/4OS)=180°--a,

222

综上所述：当射线OE,OF只有1条在NAO/3外面时，NEOF=；a；当射线。£。尸都在

NAO8的外部时，ZFOF=180°-1^.

II.

解：(I)当OC是角/AOB的平分线时，

VZAOB=2ZAOC,

・•・一个角的平分线是这个角的“定分线''；

故答案为：是；

(2)・・・/MPN二a分三种情况

①：射线PQ是NMPN的“定分线”，

/.4MPN=2乙MPQ=a,

NMPQ」a,

2

②：射线PQ是4MPN的,淀分线”，

，/QPN=2/MPQ,

VZQPN+ZQPM=«,

，3NMPQ=a,

NMPQ=La,

3

答案第11页，共17页

③•••射线PQ是4MPN的,淀分线”,

：.2/QPN=/MPQ,

•.•/QPN+NQPM=。，

，3NQPN=a,

.\ZQPN=1。，

/.ZQPM=1a,

11o

，NMPQ=ga或一a或二a；

33

故答案为：丁或人或枭；

~33

（3）依题意有三种情况：

®ZNPQ=|ZNPM,

由NNPQ=8t,NNPM=4t-48,

A8t=-（4t+48）,

3

解得t=2.4（秒）;

②NNPQ二ZNPM

由NNPQ=8t,ZNPM=4t>48.

A8t=j（4t+48）.

解得t=4（秒）；

答案第12页，共17页

M

2

③NNPQ=§NNPM

由NNPQ=8t,ZNPM=4t-48,

2

/.8t=-(4t+45),

3

解得：t=6(秒)，

故t为2.4秒或4秒或6秒时，PQ是/MPN的“定分线”.

12.

解：(1)设ZA0C=6f,N8OD=l4f,

当射线0C与OD重合时，ZAOC+4BOD=ZAOB,

即6°r+14°r=l50°,解得f=7.5s,

・•・当，=7.5$时，射线OC与OD重合；

(2)①射线OC与OD重合前，

ZCOD=Z4O8-(ZAOC+ZBOD),

即90。=150。—(6。/+14。，)，解得/=3s；

②射线OC与OD重合后，

ZAOC+ZBOD-ZCOD=ZAOB,

即6。，+14。，-90。=150。,解得/=12s,

答案第13页，共17页

，当/=3s或/=12s时，ZCOD=90°；

(3)①如图，0。平分/8OC,则/BOD=NCOD,

・•・/BOD=ZAOB-/BOD-ZAOC，

即14。，=150。-14。-6*,解得/=—s；

②如图，OC平用4BOD,则N8OC=；N8OQ,

：,AAOB-ZAOC=-ZB0D,

2

即150。-6°/=，><14支，解得/=变$：

213

③如图，O