2026年（新高考）数学（二模）专项练习：解三角形 含答案

/专题05解三角形题型01正（余）弦定理的基本应用1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，且最大角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则（

）A．2 B．3 C． D．4．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（

）A． B． C． D．105．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．6．（2025·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则．7．（2025·山西晋城·二模）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，，求；(3)若，，求．题型02有关三角形的面积及周长问题1．（2025·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（

）A．3 B． C． D．2．（2025·陕西渭南·二模）在中，若，则的面积为.3．（2025·江西·二模）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、已知，.(1)若，求的面积；(2)求的周长的取值范围.4．（2025·山东潍坊·二模）在中，角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若外接圆的半径为，且，求的面积．5．（2025·安徽淮北·二模）的内角的对边分别为(1)求；(2)若的面积为，求的周长.6．（2025·山东聊城·二模）中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且．(1)证明：为等边三角形；(2)如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积．7．（2025·辽宁·二模）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求A；(2)若，求的面积.8．（2025·广东清远·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，外接圆的半径为2，求的面积．9．（2025·云南昆明·二模）在中，，，．(1)求；(2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长．题型03有关三角形中的中线、角平分线、高的问题1．（2025·甘肃白银·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则（

）A． B． C． D．2．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2025·河南焦作·二模）在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则．4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为；若，则的最大值为.5．（2025·山东·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长6．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，．(1)求；(2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求．7．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于．(1)求的值；(2)若，求的周长．8．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求边上高的最大值．9．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，，求内切圆的半径；(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.10．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.(1)求.(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.11．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．(1)求角A；(2)若，求的长．12．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长.①；②；③的周长为.题型04四边形中的解三角形问题1．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为.2．（2025·山东滨州·二模）在圆内接四边形中，，则，若，则的面积最大值为．3．（2025·河南焦作·三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．(1)证明：；(2)证明：；(3)记，若，求的值．4．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面四边形ABCD中，．(1)若，求CD的长；(2)设，将表示成的函数，并求的取值范围．5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；(2)若，求的值．题型05三角形与向量等知识交汇1．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（

）A．6 B． C．12 D．2．（2025·云南曲靖·二模）在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（

）A． B． C．2 D．13．（2025·安徽淮北·二模）在中，记，则（

）A．存在，使B．存在，使C．的最小值为D．的最大值为4．（2025·辽宁丹东·二模）记的内角的对边分别为，．(1)求；(2)延长至，使，求的值．5．（2025·天津南开·二模）在中，角的对边分别为．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．6．（2025·江苏南京·二模）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求；(2)若，，求.7．（2025·江西上饶·二模）的内角所对的边分别为．(1)求角；(2)若，，且，求的面积．答案解析题型01正（余）弦定理的基本应用1．（2025·江西·二模）在中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【正确答案】D【分析】根据正弦定理逐一判断各选项即可.【详解】A：，，，为钝角且，有一解，故A错误；B：，，，为锐角，，则无解，故B错误；C：，，，为钝角且，则无解，故C错误；D：，，，为锐角，，因，故有两解，故D正确.故选：D2．（2025·内蒙古包头·模拟预测）在钝角中，内角的对边分别为，且最大角，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】D【分析】由题意可得，结合余弦定理运算求解.【详解】由题意可知：，则，由余弦定理可得，则，解得，所以的取值范围是.故选：D.3．（2025·江西南昌·二模）在中，角的对边分别是，若，则（

）A．2 B．3 C． D．【正确答案】A【分析】根据题意，由正弦定理化简得到，进而得到，再由正弦定理，得到，即可求得的值.【详解】因为，由正弦定理，可得，所以，又因为，所以，所以，又由正弦定理，可得，即因为，所以.故选：A.4．（2025·安徽黄山·二模）如图1，为了测量两山顶，间的距离，飞机沿水平方向在，两点进行测量，，，，在同一个铅垂平面内，其平面图形如图2所示．已知，，，，，则（

）A． B． C． D．10【正确答案】C【分析】由二倍角余弦公式得，应用正弦定理求出，再应用余弦定理求距离.【详解】由题设，，则，而，所以，则，由，，则，而，又，所以，则，由.故选：C5．（2025·黑龙江哈尔滨·二模）已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据题意，由余弦的和差角公式代入计算，可得，然后结合正弦定理代入计算，即可得到外接圆的半径，从而得到结果.【详解】由，得，所以．又因为，结合正弦定理（其中为的外接圆的半径），所以，解得，则的外接圆的面积为．故选：B6．（2025·安徽合肥·二模）已知为锐角三角形，且，，的面积为，则．【正确答案】7【分析】由面积和两边长,可以求出夹角A的正弦值，再利用同角三角函数关系求出余弦值，最后利用余弦定理求出另一边长即可.【详解】由，得，又为锐角三角形，所以角A为锐角，所以，在中，由余弦定理，得：，.7．（2025·山西晋城·二模）记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，，求；(3)若，，求．【正确答案】(1)证明见解析(2)(3)3【分析】（1）由三角形内角和为及二倍角的余弦公式即可化简题干条件，从而证明；（2）由（1）及题干条件可得，，再结合正弦定理即可求得；（3）由正弦定理可得，再由余弦定理得到关于的一元二次方程，解出即可.【详解】（1）由三角形内角和及二倍角的余弦公式，可得，即，则．又，，所以，或，因为，所以，故；（2）由（1）知，，又，所以，，由正弦定理，得，所以；（3）由正弦定理，得，所以，所以，由余弦定理，得，解得．题型02有关三角形的面积及周长问题1．（2025·江西萍乡·二模）在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（

）A．3 B． C． D．【正确答案】A【分析】首先利用三角函数的基本关系化简得，再结合余弦定理以及基本不等式知识得，则三角形面积的最大值可求.【详解】对进行化简，通分可得，即，又，解得；已知，由余弦定理，可得，根据基本不等式（当且仅当时取等号），则，可得，三角形面积，当且仅当时等号成立,故选：A.2．（2025·陕西渭南·二模）在中，若，则的面积为.【正确答案】【分析】由余弦定理可得，再由三角形的面积公式即可得出答案.【详解】设所对的边为，则由余弦定理可得：，解得，所以的面积为.故答案为.3．（2025·江西·二模）在锐角中，角、、所对应的边分别为、、已知，.(1)若，求的面积；(2)求的周长的取值范围.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理可得，然后结合恒等变换公式化简即可得到，即可得到为等边三角形，从而得到结果；（2）由正弦定理可得，结合三角恒等变换公式化简，再由正切函数的值域即可得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得，即，因为，所以，又，即，展开可得，即，即，又，所以，且，所以为等边三角形，则.（2）由正弦定理可得，又因为为锐角三角形，则，解得，则，其中，所以，所以的周长.4．（2025·山东潍坊·二模）在中，角的对边分别为，已知．(1)求角的大小；(2)若外接圆的半径为，且，求的面积．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得；（2）由正弦定理求出，再由余弦定理及求出、，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为由正弦定理得．所以，因为，所以．所以．因为，所以，因为，所以．（2）因为外接圆半径为，由正弦定理得，由（1）知，即，所以，由余弦定理得，所以，因为，代入上式得．因为，所以，则，所以．5．（2025·安徽淮北·二模）的内角的对边分别为(1)求；(2)若的面积为，求的周长.【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据正弦定理和两角和的正弦公式化简计算即可求解；（2）根据三角形的面积公式求得，结合余弦定理计算求得，进而得出结果.【详解】（1）由得，因为,所以，即，所以，所以.（2）因为三角形的面积为，所以，所以，由余弦定理知，即，所以，故，所以三角形的周长为.6．（2025·山东聊城·二模）中，角A，B，C的对边为a，b，c，已知，且．(1)证明：为等边三角形；(2)如图，若边长为3，点E，F分别在边BC，BA上，将沿着线段EF对折，顶点恰好落在边上的点，当时，求重叠部分的面积．【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由两角和与差的余弦公式得出，根据正弦定理边化角得出，再根据同角三角函数的平方关系即可求解，代入得出即可证明；（2）由余弦定理得出，再根据三角形面积公式求解即可．【详解】（1）证明：由，得，展开得．①由可得．②①－②得，因为，所以，解得或（舍去）．又，所以．把代入，得，则．所以，故是等边三角形．（2）由及，得，设，则．在中，由余弦定理可得，即，解得．同理，在中，由余弦定理可得．又，所以．7．（2025·辽宁·二模）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，.(1)求A；(2)若，求的面积.【正确答案】(1)；(2)【分析】（1）整理可得，结合余弦定理运算求解即可；（2）利用正弦定理可得，即可得，进而可得面积.【详解】（1）因为，则即为，整理可得，由余弦定理可得，且，所以.（2）由正弦定理可得，则，可得，即，由（1）可得，则，即，可得，所以的面积.8．（2025·广东清远·二模）记的内角，，的对边分别为，，，已知．(1)求；(2)若，外接圆的半径为2，求的面积．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由两角和的正弦展开式结合特殊角的余弦值计算可得；（2）由正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式计算可得.【详解】（1）因为，且，所以，所以．又因为，所以，故，因为，所以.（2）由正弦定理得，则，由余弦定理得，所以，所以，因为，所以，故的面积．9．（2025·云南昆明·二模）在中，，，．(1)求；(2)点在外接圆上，设的面积为，若，求的周长．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据余弦定理求解，即可利用正弦定理求解，（2）根据三角形的面积公式即可求解，即可求解.【详解】（1）由余弦定理知：，解得，由正弦定理可知，则．（2）因为，则，故，则为锐角，又点在外接圆上，所以，故，则，，则的周长为．题型03有关三角形中的中线、角平分线、高的问题1．（2025·甘肃白银·二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且AB边上的高等于，则（

）A． B． C． D．【正确答案】D【分析】首先根据余弦定理求，再结合图形，通过所设边长，结合正弦定理，即可求解.【详解】由题意得，．设，垂足为D，易知点D在AB的延长线上，如图所示，不妨设，则，，则，，，由，解得．故选：D2．（2025·江西鹰潭·二模）在锐角中，内角所对的边分别为，若，，则AC边上的高的取值范围是（

）A． B． C． D．【正确答案】B【分析】根据正弦定理结合两角差的余弦公式化简，应用锐角三角形得出角的范围，再应用正切的值域求出高的范围.【详解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以，又因为，所以，所以，，又因为三角形为锐角三角形，所以，所以，在中，由正弦定理可得：，即，故有，因为，所以，，所以，所以，又因为边上的高，所以．故选：B.3．（2025·河南焦作·二模）在中，内角的对边分别为，若的平分线交于点，且，则．【正确答案】【分析】利用三角形面积相等结合半角公式求出，再根据余弦定理可求解.【详解】由面积相等，可得，即，化简得，又.由余弦定理可得.4．（2025·河南·二模）在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为.若，，则的最小值为；若，则的最大值为.【正确答案】64【分析】若，根据三角形面积公式可得，利用，得解；若，根据三角形面积公式可得，结合余弦定理可得，代入运算得解.【详解】若，由，所以，当且仅当，即时，取等号，所以的最小值为6.若，，解得,由余弦定理得，整理得，，当时，取得最大值4.故6，4.5．（2025·山东·二模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.(1)求B；(2)设D为边的中点，若，的面积为14，求的长【正确答案】(1)；(2).【分析】（1）先由正弦定理边化角已知条件，再由两角和正弦公式和诱导公式化简已知条件即可求解；（2）先由题设求出，接着由正弦定理求出，进而由面积公式求出，再在三角形中由余弦定理即可计算求解.【详解】（1）由正弦定理可得，即.在中，由，得，所以，又，，所以，所以；（2）因为，所以，所以，所以，即，因为，即，所以，在三角形中，由余弦定理可得，所以.6．（2025·湖南长沙·二模）在中，已知，，．(1)求；(2)设BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P，求．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由余弦定理先求得，再结合正弦定理求解即可；（2）设，，根据平面向量的线性运算可得，，进而结合平面向量的数量积及运算律求解即可.【详解】（1）由余弦定理得，则．由正弦定理得，则，解得．（2）设，，则b与c的夹角为，且，因为AM，BN为中线，所以有，，于是，则，，则．又，所以．

7．（2025·广东深圳·二模）在中，，BC边上的高等于．(1)求的值；(2)若，求的周长．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）根据三角形的面积公式和正弦定理计算即可求解；（2）根据正弦、余弦定理和完全平方公式计算可得，即可求解.【详解】（1）设中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，由题意可得，即，由正弦定理得，又，所以．（2）由正弦定理得，由余弦定理得，又，所以，所以的周长为．8．（2025·山东菏泽·二模）记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求边上高的最大值．【正确答案】(1)(2).【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由诱导公式及两角和的正弦公式求出，即可得解；（2）设外接圆的半径为，由即可求出，从而求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最大值，最后由等面积法计算可得.【详解】（1）因为，由正弦定理得：①，因为，所以.故①式可变形为，即，化简得：，因为，所以，故.因为，故.（2）设外接圆的半径为，由正弦定理得：，则，，，又，故得，由（1）知，故，则，由余弦定理得：，即，则，当且仅当时等号成立，设边上高为，由三角形的面积公式得：，即.故边上高的最大值为.9．（2025·河南新乡·二模）的内角，，的对边分别为，，，且.(1)求；(2)若，，求内切圆的半径；(3)若为的垂心，且点在内，直线与交于点，且，求的最大值.【正确答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根据已知及正弦边角关系得，再由余弦定理求角的大小；（2）由及面积公式得、，再由内切圆半径即可得；（3）设，，进而得到、，最后有即可求最大值.【详解】（1）因为，所以.由正弦定理得，所以，因为，所以.（2）由（1）知，代入数据得.因为的面积，所以内切圆的半径.（3）如图，设，，则，且.因为，所以.由正弦定理得，所以，所以，其中，故的最大值为.10．（2025·广东肇庆·二模）在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________.(1)求.(2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积.【正确答案】(1)(2).【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解；小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可.【详解】（1）选择条件①.由正弦定理得，所以.由余弦定理，得.因为，所以.选择条件②：因为，所以，即.由正弦定理得，即.因为，所以，所以.因为，所以，所以.因为，所以.（2）连接，因为点是内心，所以.因为，所以，所以，所以.由余弦定理得，即，解得，所以.11．（2025·吉林长春·二模）在中，分别为角所对的边，且，角A的平分线交于D，且．(1)求角A；(2)若，求的长．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理与和角公式化边为角，求得，即得角A；（2）利用三角形角平分线定理求出，再根据面积相等列方程，求解即得的长.【详解】（1）由和正弦定理，可得，因，则，即，因为，则得，因，则．（2）如图，因是的平分线，则，解得，又，则，即，解得.12．（2025·安徽池州·二模）已知的内角的对边分别为，且.(1)求；(2)在三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求边上高线的长.①；②；③的周长为.【正确答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）根据题意，由两角差的正弦公式化简得，利用平方关系求得答案；（2）若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，由求得答案；若选②，由，由正弦定理知，所以不存在；若选③，由正弦定理可得，结合求得答案.【详解】（1）由题意知.又，所以，即，化简得，又，，则，又，解得，.（2）由（1）知为定值.若选①，由正弦定理可知存在且唯一确定，记边上高为，则，所以边上高线的长为9；若选②，由（1）知，，由正弦定理知，所以不存在；若选③的周长为，即由，由正弦定理，设，则，解得，所以，故存在且唯一确定，记边上高为，则，即边上高线的长为9.题型04四边形中的解三角形问题1．（2025·广东广州·二模）在平面四边形中，，若的面积是的面积的2倍，则的长度为.【正确答案】【分析】如图建立直角坐标系，设AC，BD交点为E，由的面积是的面积的2倍可得E坐标，然后由B，E，D三点共线结合可得B点坐标，即可得答案.【详解】如图，以D点为原点，取AC中点为F，以DF所在直线为x轴，以过D点，垂直于DF直线为y轴，建立直角坐标系.又则.过C，A两点作DB垂线，垂足为G，H，则.又注意到，则.设，则，则.注意到B，E，D三点共线，则，则.又，则或，又由图可得，则.则.故

2．（2025·山东滨州·二模）在圆内接四边形中，，则，若，则的面积最大值为．【正确答案】【分析】根据给定条件，利用正弦定理建立方程，利用两角和的正弦公式展开得，进而求得；设并结合正弦定理表示出，再利用三角形面积公式，结合二次函数的性质求出最大值.【详解】在中，，由正弦定理得，所以，所以，所以，所以；所以是四边形外接圆直径，，设，则，在中，，由正弦定理得，即，在中，，所以，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.故；3．（2025·河南焦作·三模）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点，，且，记．(1)证明：；(2)证明：；(3)记，若，求的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)【分析】（1）设，则，在和中，利用余弦定理分别表示，即可得证.（2）在和中，利用正弦定理结合即可证明.（3）若，根据三角形相似得，与已知矛盾；若，则，结合已知得，利用二倍角余弦公式化简得，求解即可.【详解】（1）设，则．由余弦定理得，所以，所以．（2）在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．（3）若，则，得，与已知矛盾．若，则，所以化为，即，整理得，即，解得．4．（2025·河北邯郸·二模）如图，在平面四边形ABCD中，．(1)若，求CD的长；(2)设，将表示成的函数，并求的取值范围．【正确答案】(1)或(2)【分析】（1）利用余弦定理可得，求解即可；（2）在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，进而可得，可求的取值范围．【详解】（1）由余弦定理，即，或．（2），．在中，由正弦定理得，即．在中，，即，，即，．5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）如图：四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，已知，，，且

(1)求BO的长；(2)若，求的值．【正确答案】(1)(2)【分析】（1）设，，在和中分别应用余弦定理即可求解；（2）由（1）知，设,，，在和中分别应用正弦定理可得，结合已知可得，代入等式即可求解.【详解】（1）设，，所以，，在中，，在中，，因为，解得，所以BO的长为；（2）由（1）知，设,，，在中，，在中，，所以，若，则与全等，所以，所以，所以，不成立，所以所以，因为，所以，所以，所以，所以的值为.题型05解三角形与向量等知识交汇1．（2025·山东聊城·二模）中，，则的最大值为（

）A．6 B． C．12 D．【正确答案】D【分析】根据正弦定理可得在以半径为的圆上，由向量线性运算得，根据向量运算几何意义，计算即可求解.【详解】由正弦定理可得，，所以在以半径为的圆上，则由向量数量积几何意义及垂径定理可知：当与同向时，有最大值为，所以的最大值为.

故选：D.2．（2025·云南曲靖·二模）在中，角所对边分别为，若，且．则外接圆的面积为（

）A． B． C．2 D．1【正确答案】B【分析】利用余弦定理可求得，利用同角的三角函数的关系求得，结合正弦定理可求外接圆的半径，进而可求得面积.【详解】设三角形ABC外接圆的半径为R，因为，由余弦定理可得，所以，解得，又，所以，所以，又，所以，所以，又因为，所以外接圆的直径，解得，所以外接圆的面积为.故选：