2026年（新高考）数学模拟试卷 含答案

/2026年新高考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共40分)1．（5分）已知集合A=1,2,3,4，B=A．1,2 B．3,4 C．2,3,4 D．1,2,3,42．（5分）若复数z=a2A．1 B．−1 C．±1 D．03．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且A．30 B．60 C．90 D．1804．（5分）已知e是单位向量，a满足a+e=a−3A．−12 B．13 C．5．（5分）已知圆C：(x−1A．直线l过定点(−1B．直线l与圆C一定相交C．若直线l平分圆C的周长，则mD．直线l被圆C截得的最短弦的长度为36．（5分）将20个完全相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中球的个数不小于它的编号，则不同的放法种数为（）A．1615 B．1716 C．286 D．3647．（5分）将函数f(x)=sinωxA．16 B．14 C．138．（5分）下列函数既是奇函数，又在0,+∞A．fx=x B．fx=x二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共18分)9．（6分）下列说法正确的是（）A．用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m被抽到的概率是0.1B．已知一组数据1，2，3，3，4，5的众数等于中位数C．数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是21D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差为变小10．（6分）已知a>0，bA．ab≤14C．a2+b11．（6分）在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AB=3，平面ABC内动点D的轨迹是集合M=A．动点D的轨迹是圆B．平面PCD1C．三棱锥P−D．三棱锥P−三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共16分)12．（5分）已知tanθ=2，则sin213．（6分）在三棱锥ABCD中，对棱AB=CD=22，AD=BC=14．（5分）已知椭圆C：x24+y2四、解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤.(共5题；共76分)15．（15分）记△ABC的内角A，B，C（1）（7分）求角A；（2）（8分）若a=2，求△16．（16分）如图所示，圆锥的高PO=4，底面圆O的半径为R，延长直径AB到点C，使得BC=R，分别过点A、C作底面圆O的切线，两切线相交于点E，点D是切线CE（1）（8分）证明：平面ACE⊥平面POD（2）（8分）若平面PAB与平面PDE所成锐二面角的余弦值为155，求该圆锥的体积V17．（15分）猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为23，乙同学猜对每个灯谜的概率为1（1）（5分）甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；（2）（5分）活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在A箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是23；没有都猜对则在B箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是1（3）（5分）甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为X，求X的分布列与数学期望.18．（15分）已知定点F(1，（1）（7分）求动点P的轨迹方程；（2）（8分）过Q(1，2)的直线l1，l2分别与点P的轨迹相交于点M，N（均异于点Q），记直线l1，19．（15分）已知函数fx=13x3−2ax（1）（7分）求a的值；（2）（8分）求函数fx

答案解析部分1．【正确答案】C【知识点】交集及其运算2．【正确答案】B【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算3．【正确答案】C【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差中项4．【正确答案】D【知识点】平面向量的投影向量5．【正确答案】B【知识点】恒过定点的直线；直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系6．【正确答案】C【知识点】排列、组合的实际应用7．【正确答案】D【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换8．【正确答案】D【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性9．【正确答案】A,B,D【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式；用样本估计总体的百分位数【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式11．【正确答案】A,B,C【知识点】圆锥曲线的轨迹问题；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；平面与平面垂直的判定12．【正确答案】4【知识点】二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用13．【正确答案】92π【知识点】简单组合体的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体14．【正确答案】2【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质15．【正确答案】（1）解：由正弦定理，得sinAsinC=又C∈(0，π即tanA=又A∈(0，π（2）解：由余弦定理，得cosA=所以b2由基本不等式知b2于是bc=当且仅当b=所以△ABC的面积S当且仅当b=c=2时，面积S【知识点】基本不等式；同角三角函数间的基本关系；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算16．【正确答案】（1）证明：圆锥的高为PO，则PO⊥平面ACE，CE⊂平面ACE，则因为点D是切线CE与圆O的切点，所以OD⊥又因为PO∩OD=O，所以又因为CE⊂平面PCE，所以平面PCE⊥平面（2）解：在Rt△ODC中，因为OD=R，OC=因为AE是圆O的切线，所以AE⊥在Rt△ACE中，tan∠ACE=以A为原点，AE所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，过点A作平面ACE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系如图所示：

如图所示：

则P(0,R,4)，A(0,故PC=(0,2R,−4)，设平面PDE的一个法向量为n=(x,y,z)，则n⋅PC=0n⋅PE因为平面PAB与平面PDE所成锐二面角的余弦值为155所以|cosm,所以V=故该圆锥的体积为16π【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角17．【正确答案】（1）解：设A=“甲猜对一个灯谜”，B=“乙消对一个灯谜”，

因为甲､乙恰有一人猜对的事件为AB+AB=所以，甲､乙恰有一人猜对的概率为12（2）解：设C=“甲猜对两道题”，D=“甲中奖”，

==所以，甲同学抽中新春大礼包的概率47108（3）解：由（1）知P(易知甲､乙猜对灯谜的个数之和X的可能取值为0，1，2PPPP所以X的分布列为X01234P111311因此，X的数学期望E(【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；条件概率18．【正确答案】（1）解：由题设，(x−1)2+∴y2=4x（2）解：由题设，令l1为y−2=k(xl1联立抛物线，可得：k2x2−2∴x1=(k−2k)∴kMN【知识点】直线的斜率；轨迹方程；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题19