2026高考数学复习微专题63.最小角定理与最大角定理

63.最小角定理与最大角定理

一．基本原理

1.三余弦定理：

设A为面上一点，过A的斜线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，则

coscos1cos2

证明：如图，过点B作BCAC，由于OBAC,BCAC，则AC面OBC，从而

ACOC.

ACABAC

于是，cos,cos,cos，于是得证：coscoscos.

OA1OA2AB12

2.推论（最小角定理）：由于.

cos21coscos11

这说明：线面角是斜线与平面内任意直线的所成角的最小值，即线面角是线线角的最小值，

又称最小角定理.（凌晨讲数学）

3.最大角定理

锐二面角在一个半平面内的动直线与另一个半平面所成的线面角小于等于此二面角的平面

角.

证明：如图，在平面内任取一条直线AC，作AO，垂足为O，作ABl，垂足为

B，易得直线AC与所成的角为ACO，二面角l所成的平面角为ABO，则

AOAO

sinACO,sinABO，且ACAB，所以ACOABO.

ACAB

二．典例分析

π

例1.（佛山市2025届高三一模）已知直线m与平面所成的角为，若直线n，直线

4

m，设m与n的夹角为1，与的夹角为2，则（）

ππππ

A．，B．，

14241424

ππππ

C．，D．，

14241424

解析：显然选A

例2．已知三棱锥PABC的棱长均为1,BC平面,E为PB中点，l.记l和直线AE所

成角为，则该三棱锥绕BC旋转的过程中，sin的最小值是___________.

解析：设AE与平面所成角为1，因为l，l和直线AE所成角为，所以sincos1；

取CD的中点F，连接EF,AF，因为E,F分别为中点，所以EF//BC，AEF或其补角是

313

AE与BC所成角；在△AEF中，AEAF,EF，所以cosAEF且AEF为

226

锐角.三棱锥绕BC旋转的过程中，由线面角的性质可知，1AEF，所以

333

coscosAEF，即sin的最小值为.故答案为：.

1666

例3（2017年全国卷3理16）a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角ABC的直角

边AC所在直线与a,b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60角时，AB与b成30角；

②当直线AB与a成60角时，AB与b成60角；

③直线AB与a所成角的最小值为45；

④直线AB与a所成角的最小值为60.

其中正确的是_______（填写所有正确结论的编号）.（公众号：凌晨讲数学）

解析：如图所示，设CD为直线a，CE为直线b，过B分别作a,b的平行线BM，BN，

则直线AB与直线a,b所成的角分别为ABM，ABN.注意到，当斜边AB以

直线AC为旋转轴旋转时，平面ABC始终与a,b所确定的平面是垂直的，设CBM，

由题意可知CBN90.

2

根据三余弦公式，有coscosABMcosCBAcosCBMcos，同理，有

2

2

coscosABNcosCBAcosCBNsin，由此可以判断命题②③正确.

2

例4.（2018浙江8）已知四棱锥SABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB

上的点（不含端点）.设与所成的角为，与平面所成的角为，二面

SEBC1SEABCD2

角的平面角为，则.

SABC3（）

A.B.C.D.

123321132231

解：如图4，作SO垂直于平面ABCD，垂足为O，取AB的中点F，连接SF.过O作ON

垂直于直线，可知，过固定下的二面角与线面角关系，得

SF2SEO,3SFOSO

.易知，也为与平面的线面角，即与平面的线面角，根据最小

323BCSABOFSAB

角定理，与直线所成的线线角，所以，故选D.

OFSE13231

三．习题演练

π

1．已知直线l和平面所成的角为，则直线l和平面内任意直线所成的角的取值范围为

6

（）

πππ

A．0,B．,

663

πππ

C．0,D．,

262

解析：根据线面角的定义，线面角是平面外的直线与平面内所有直线所成角中最小的角，

π

故l与内直线所成角的最小值为，当l在内的射影与平面内的直线垂直时，l与之所

6

πππ

成的角为，故l与内直线所成角的范围为，.故选：D.

262

2已知三棱锥,平面平面,记二面角的平面角与

底面所成�的−角𝐴为�与��平�面⊥所𝐴成�的角为,�则−��−��,��

A.𝐴�B.C.�,𝐴D.����

解析�：⩾�由⩾最�大角�⩾定�理⩾�可知�⩾�⩾.�因为�⩾�⩾可�看作与成的角(线线角),是与

平面所成的角(线面�⩽角�),所以由�最小角定�理�得��,故选.�𝐴

����⩾��

3.如图,在棱长为3的正方体中,点是平面内一动点,且

满足,则𝐴直�线�−�1�和1�直1�线1所�成角的余弦�值1�的�1取值范围为

|��|+𝐴1=2+13�1���1

A.B.C.D.

111213

0,20,32,22,2

解析设面,则,(利用等积法或

21

11131131

截面平几法��皆∩可轻松�证�明�)=���=𝐴=23,��=𝐴=3

因为,所以点在以为焦点的椭球面上,此椭球的焦距为

|��|+,长𝐴轴1为=