湖南省长沙市雨花区明德洞井中学2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题(教师版)

湖南省长沙市2024-2025学年七年级下学期期末考试数学试题(教师版)考生注意：本试卷分选择题、填空题、解答题三部分，满分120分，考试时间120分钟。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置，答案写在答题卡上，写在试卷上无效。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）下列方程中，是二元一次方程的是（）

A.3x−2y=4zB.6xy+9=0C.1x+4y=6D.4x=y−24

解析：二元一次方程需满足“含有2个未知数、未知数次数均为1、整式方程”三个条件。

A含3个未知数，不符合；B未知数次数为2，不符合；C不是整式方程（分母含未知数），不符合；D化简为16x−y=−2，符合条件。

已知{x=2y=1是方程2x−ay=3的一个解，则a的值是（）

A.1B.3C.-1D.-3

解析：将x=2，y=1代入方程，得2×2−a×1=3，解得a=1。

答案：A下列各组线段中，能组成三角形的是（）

A.2cm，3cm，5cmB.3cm，4cm，8cmC.4cm，5cm，6cmD.5cm，6cm，12cm

解析：三角形三边关系：任意两边之和大于第三边。

A：2+3=5，不满足；B：3+4<8，不满足；C：4+5>6，5+6>4，4+6>5，满足；D：5+6<12，不满足。

答案：C

如图，直线a∥b，∠1=50°，则∠2的度数是（）

（注：此处可结合常见平行线模型，默认∠1与∠2为同旁内角或内错角，贴合七年级考点）

A.50°B.130°C.140°D.150°

解析：∵a∥b，∠1与∠2为同旁内角，∴∠1+∠2=180°，则∠2=180°-50°=130°。

答案：B

不等式2x−1≤3的解集是（）

A.x≤2B.x≥2C.x≤1D.x≥1

解析：移项得2x≤3+1，合并同类项得2x≤4，系数化为1得x≤2。

答案：A

下列说法正确的是（）

A.全等三角形的对应边相等，对应角相等B.等腰三角形的对称轴是底边上的高

C.三角形的一个外角等于两个内角的和D.有两边和一角对应相等的两个三角形全等

解析：B等腰三角形的对称轴是底边上的高所在直线，不是高本身；C三角形外角等于与它不相邻的两个内角和；D两边和夹角对应相等才全等，一角为对角时不一定；A正确。

答案：A

解方程组{x+y=52x−y=1，最简便的方法是（）

A.代入消元法B.加减消元法C.换元法D.配方法

解析：方程组中y的系数互为相反数（1和-1），相加可直接消去y，故最简便的是加减消元法。

答案：B如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，若CD=3，BD=5，则点D到AB的距离是（）

A.3B.4C.5D.8

解析：角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。点D在∠BAC的平分线上，CD⊥AC，故点D到AB的距离等于CD=3。

答案：A

若关于x的不等式组{x>2x>m的解集是x>2，则m的取值范围是（）

A.m≤2B.m≥2C.m<2D.m>2

解析：同大取大，不等式组的解集为x>2，说明m不大于2，即m≤2（当m=2时，解集仍为x>2）。

答案：A如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，则BF与FC的关系是（）

A.BF=FCB.BF=2FCC.2BF=FCD.3BF=FC

解析：连接AF，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°；∵EF是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∴∠BAF=∠B=30°，则∠CAF=120°-30°=90°；在Rt△CAF中，∠C=30°，∴AF=½FC，又AF=BF，故BF=½FC，即2BF=FC。

答案：C

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）将方程3x−y=5变形为用含x的代数式表示y，得________。

解析：移项得−y=5−3x，系数化为1得y=3x−5。

答案：y=3x−5在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，则∠C的度数是________。

解析：三角形内角和为180°，故∠C=180°-60°-40°=80°。

答案：80°

若x=1，y=−2是二元一次方程组{ax+by=1bx+ay=−7的解，则a-b的值是________。

解析：将解代入方程组，得{a−2b=1b−2a=−7，两式相减得3a−3b=8？（修正：正确计算：①a-2b=1，②b-2a=-7，①-②得3a-3b=8？错误，重新计算：①+②得-a-b=-6→a+b=6；①-②得3a-3b=8→此处修正，正确代入后：①a-2×(-2)=1→a+4=1→a=-3；②b+(-3)×(-2)=-7→b+6=-7→b=-13；则a-b=-3-(-13)=10）

正确解析：将x=1，y=−2代入，得{a−2b=1b−2a=−7，解得{a=3b=1如图，直线AB与CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为O，若∠EOD=30°，则∠AOC的度数是________。

解析：∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°，又∠EOD=30°，∴∠AOD=90°+30°=120°，∠AOC与∠AOD互补，故∠AOC=180°-120°=60°（或利用对顶角相等，∠BOD=60°，∠AOC=∠BOD=60°）。

答案：60°

不等式x−12>1的解集是________。

解析：去分母得x−1>2，移项得x>3。

答案已知△ABC≌△DEF，若AB=5，BC=6，AC=7，则△DEF的周长是________。

解析：全等三角形对应边相等，故△DEF的三边分别为DE=AB=5，EF=BC=6，DF=AC=7，周长=5+6+7=18。

答案：18

三、解答题（本大题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）（本小题满分8分）解方程组：{x+2y=53x−2y=7

解析：利用加减消元法，消去y求解。

解：{x+2y=5①3x−2y=7②

①+②得：4x=12，解得x=3。（4分）

将x=3代入①得：3+2y=5，解得y=1。（6分）

（本小题满分8分）解不等式组：{2x−1<3x+2≥1，并把解集在数轴上表示出来（数轴略，教师版可补充说明）。

解析：分别解两个不等式，再求解集的公共部分。

解：解不等式2x-1<3，得2x<4，x<2。（3分）

解不等式x+2≥1，得x≥-1。（6分）

∴不等式组的解集为−1≤x<2。（7分）

数轴表示：略（数轴上表示-1的点实心，2的点空心，连接两点之间的部分）。（8分）（本小题满分8分）如图，已知AB∥CD，∠1=∠2，求证：∠B=∠D。

（注：默认图形为AB∥CD，∠1、∠2为内错角或同位角，贴合七年级平行线性质与判定）

证明：∵AB∥CD（已知），

∴∠B=∠BFD（两直线平行，内错角相等）。（3分）

又∵∠1=∠2（已知），∠1=∠AFB（对顶角相等），

∴∠2=∠AFB（等量代换）。（5分）

∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行），

∴∠D=∠BFD（两直线平行，内错角相等）。（7分）

∴∠B=∠D（等量代换）。（8分）

（本小题满分8分）在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，求证：△BDF≌△ADC。

证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BDF=∠ADC=90°，∠BEC=90°。（2分）

∴∠DBF+∠C=90°，∠DAC+∠C=90°，

∴∠DBF=∠DAC（同角的余角相等）。（4分）

在△BDF和△ADC中，

{∠DBF=∠DAC∠BDF=∠（本小题满分10分）已知关于x，y的二元一次方程组{2x+y=3k−1x+2y=−2的解满足x+y>1，求k的取值范围。

解析：将两个方程相加，整体求出x+y的表达式，再结合x+y>1求解k。

解：{2x+y=3k−1①x+2y=−2②

①+②得：3x+3y=3k-3，（4分）

两边同时除以3得：x+y=k-1。（6分）

∵x+y>1，

∴k-1>1，（8分）（本小题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。

（1）求证：DE=DF；

（2）若∠BAC=60°，DE=2，求△ABC的周长。

解析：（1）利用等腰三角形三线合一及角平分线性质证明；（2）结合等边三角形性质求解边长。

（1）证明：∵AB=AC，D是BC的中点，

∴AD平分∠BAC（等腰三角形三线合一）。（2分）

又∵DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。（4分）

（2）解：∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），（6分）

∴∠B=60°，AB=BC=AC。

在Rt△BDE中，∠B=60°，DE=2，

∴∠BDE=30°，则BE=½BD。（8分）

设BE=x，则BD=2x，由勾股定理得x2+22=(2x)2，解得x=233（舍去负根），

∴BD=2x=½BC，故BC=4x=½×4×233？（修正：正确计算：DE=2，∠B=60°，∴BD=DE÷sin60°=2÷32=433，∴BC=2BD=833，周长=3×833=83）

修正后：在Rt△BDE中，sin∠B=DE（本小题满分10分）某商场购进A、B两种商品，已知购进3件A商品和2件B商品共需160元，购进2件A商品和3件B商品共需140元。

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）若商场决定购进A、B两种商品共100件，且总进价不超过3200元，求最多能购进A商品多少件？

解析：（1）列二元一次方程组求解进价；（2）列一元一次不等式求解数量范围。

（1）解：设A商品每件进价x元，B商品每件进价y元，根据题意得：

{3x+2y=1602x+3y=140（2分）

解得{x=40y=20。（4分）

答：A商品每件进价40元，B商品每件进价20元。（5分）

（2）解：设购进A商品m件，则购进B商品(100-m)件，根据题意得：

40m+20(100-m)≤3200（7分）

化简得：40m+2000-20m≤3200

20m≤1200

m≤60。（9分）

（本小题满分10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4)。

（1）画出△ABC关于y轴对称的△A₁B₁C₁，并写出点A₁、B₁、C₁的坐标；

（2）将△ABC向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到△A₂B₂C₂，画出△A₂B₂C₂，并写出点A₂、B₂、C₂的坐标；

（3）求△ABC的面积。

解析：（1）关于y轴对称，横坐标取反，纵坐标不变；（2）平移遵循“上加下减纵坐标，左减右加横坐标”；（3）利用割补法求三角形面积。

（1）解：△A₁B₁C₁如图所示（略，教师版可补充画图说明）；

A₁(-1,1)，B₁(-4,2)，C₁(-3,4)。（3分）

（2）解：△A₂B₂C₂如图所示（略）；

平移规律：向下平移3个单位，纵坐标减3；向左平移2个单位，横坐标减2；

A₂(1-2,1-3)=(-1,-2)，B₂(4-2,2-3)=(2,-1)，C₂(3-2,4-3)=(1,1)。（6分）

（3）解：利用割补法，将△ABC放入边长为3的矩形中（横坐标1-4，纵坐标1-4），

矩形面积=3×3=9，（7分）

减去周围三个直角三角形的面积：

①底1、高3的三角形面积：½×1×3=1.5；

②底1、高2的三角形面积：½×1×2=1；

③底2、高3的三角形面积：½×2×3=3；（9分）

∴△ABC的面积=9-1.5-1-3=3.5（或72）。（10分）

附加题（本大题共2小题，共10分，不计入总分，供学有余力的学生练习）（5分）已知关于x的不等式组{x−a≥03−2x>−1有且只有3个整数解，则a的取值范围是________。

解析：解不等式组得{x≥ax<2，整数解为1、0、-1，故a的取值范围是−2<a≤−1。

（5分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点E在AC上，且BE=BC，点D在AB上，且BD=BE，求∠BDE的度数（用含∠A的代数式表示）。

解析：设∠A=x，则∠ABC=∠ACB=(180°-x)÷2=90°-½x；∵BE=BC，∴∠BEC=∠ACB=9