安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页安徽鼎尖教育2025-2026学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z=2−i(i为虚数单位)，则1z=(

)A.2+i B.2−i C.25+12.在▵ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90∘，则BA⋅A.16 B.−16 C.9 D.−93.如图所示，某测量人员在高为100m的山顶A处，测得地面同一直线上的B、C两点的俯角分别为60∘和30∘，则B、C两点的距离为(

)

A.1003m B.100(3−1)m4.《九章算术》中将正圆台称为“圆亭”.某中学数学社团仿照古制制作了“圆亭”模型，模型上、下底面周长分别为2π和4π，高为3，则该模型的体积为(

)A.7π B.8π C.9π D.10π5.用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图是边长为2的正三角形，则原△ABC的面积为(

)A.23 B.26 C.6.对于简单凸多面体，满足欧拉公式：顶点数V−棱数E+面数F=2.已知某正多面体的每个面都是正三角形，每个顶点连接4条棱，则该正多面体的棱数E为(

)A.6 B.12 C.16 D.207.在锐角▵ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知3acosC+ccosA=2bsinB，a+c=8，且A.33 B.43 C.8.已知非零向量a，b不共线，给出下列四个结论： ①若(a+ ②若a⋅b>0，则存在正实数λ，使得λa ③“(a+b)⋅a>| ④若|a|=|b|=1，则“|a+b其中正确结论的个数是(

)A.1 B.2 C.3 D.4二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z满足z(1+i)=2−2i(i为虚数单位)，且z是关于x的实系数一元二次方程x2+ mx+n=0的一个根，则下列说法正确的有(

)A.z的虚部为−2 B.复数z的共轭复数为−2i

C.m=0 D.n=410.如图，已知正三棱柱ABC−A1B1C1的所有顶点都在表面积为16π的球O的球面上，底面边长为a，侧棱长为hA.正三棱柱的外接球的球心O一定是上下底面中心连线的中点

B.若底面边长a=3，则侧棱长h=23

C.若侧棱长h=2，则该正三棱柱的体积为311.已知△ABC中，AB⋅AC=|AB−AC|=2，点P为边BC上的动点，满足A.△ABC的面积的最大值为3

B.当P为BC中点时，|AP|=3

C.若△ABP的面积为△ABC面积的13，则λ=23三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量a=2,4，b=m,1，若a+b与a−13.已知三棱锥的三条侧棱两两垂直，且三个侧面的面积分别为1，2，3，则该三棱锥的体积为

．14.在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=120∘，平面上任意一点P的斜坐标定义为：若OP=xe1+ye2，其中e1、e2分别为x轴、y轴正方向上的单位向量，则P的斜坐标为x,y.已知点A的斜坐标为1,2，点B四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知u1，u2是夹角为60∘的两个单位向量，设(1)求证：p+q与(2)求向量p与q的夹角的大小．16.(本小题15分)已知复数z满足|z|=5，且z的共轭复数z满足(1)求复数z;(2)若复数w=z1+i，求w17.(本小题15分)在锐角▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3(1)求角A的大小；(2)若a=2，求▵ABC的周长的取值范围．18.(本小题17分)

如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面△ABC是直角三角形，∠ACB=90∘，AC=BC=2(1)求该圆柱的表面积;(2)求该直三棱柱的外接球O的体积;(3)点M是直三棱柱外接球表面上的动点，N是圆柱表面上的动点，记|MN|=d，R为外接球的半径，求(R−d)219.(本小题17分)在▵ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知bcos(1)求cosB(2)若b=3，解答下列问题：①当▵ABC的面积为22时，求②若点D在边AC上，且BD平分∠ABC，求1AD+1参考答案1.C

2.A

3.C

4.A

5.B

6.B

7.D

8.B

9.ACD

10.ABD

11.ABC

12.12

/0.5

13.214.6

15.解：(1)由已知p+p−所以p+因为u1，u2是夹角为所以u1⋅u代入得p+因此，p+q与(2)设向量p与q的夹角为θ，则cosθ=先计算p⋅再计算|p所以p=|q所以q=于是cosθ=因为0∘≤θ≤180

16.解：(1)设z=a+bi，其中a，b∈R，

由|z|=5得a2+b2=5，

又z=a−bi，

则z(1+2i)=(a−bi)(1+2i)=a+2ai−bi−2bi2=(a+2b)+(2a−b)i．

因为z(1+2i)为纯虚数，

所以a+2b=0，且2a−b≠0．

联立方程a2+b2=5,a+2b=0,解得b=±1.

当b=1时，a=−2;当b=−1时，a=2．

所以z=−2+i或z=2−i．

(2)由w=z1+i，而11+i=1−i2，故w=17.解：(1)由正弦定理asinA=代入已知3b=2asin因为a>0，sinB>0，得3sin又▵ABC为锐角三角形，所以A=π(2)由正弦定理得asinA=4因为A=π3，所以B+C=2π因为▵ABC是锐角三角形，所以0<B<π2,周长L=a+b+c=2+4sin=3由于B∈π6,πb+c=所以周长L的取值范围是2+2

18.解：(1)在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AC=BC=2，∠ACB=90∘，

所以AB=22．

△ABC的内切圆半径r=AC+BC−AB2=2+2−222=2−2．

圆柱的高h=AA1=3，

所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2πr(r+3)=2π(2−2)(5−2)=2π(12−72)=24π−142π;

(2)直三棱柱的外接球球心O位于上下底面外心连线的中点．

底面直角三角形外心是斜边AB的中点D，则CD=AB2=2，

AA1=3，所以OD=32，

外接球半径R=(2)2+(32)2=172，

体积V=43πR3=43π(172)19.解：(1)根据已知，由正弦定理得sinB因为sinB所以sinA−3由sinA>0得1−3cosB=0(2)①由(1)知cosB=13由面积S▵ABC=22得又由余弦定理b2代入b=