福建泉州现代中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页福建泉州现代中学等校2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知函数fx的导函数为f′x，若f′4=−2，则limA.−2 B.−1 C.2 D.42.x2−x6的展开式中，A.154 B.52 C.543.曲线fx=ex−3sinA.2x+y+1=0 B.2x+y=0 C.x+2y+1=0 D.x+2y=04.学校食堂的一个窗口共卖4种菜品，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，则选法的可能方式共有(

)A.43种 B.34种 C.C43种5.某知识过关题库中有A,B,C三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对A,B,C型题目的概率分别为45，35，25，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为A.34 B.35 C.236.若函数fx=kx−lnx在区间1,+∞上单调递增，则实数A.−∞,−2 B.−∞,−1 C.2,+∞ D.1,+∞7.2023年10月23日，杭州亚运会历时16天圆满结束.亚运会结束后，甲､乙､丙､丁､戊五名同学排成一排合影留念，其中甲､乙均不能站左端，且甲､丙必须相邻，则不同的站法共有(

)A.18种 B.24种 C.30种 D.36种8.已知函数fx在R上可导，且f(1)=1，其导函数f′x满足f′x−2fx>0A.1,e B.1,e+1 C.e,e+1 D.e+1,+∞二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知随机变量X服从正态分布N(100,100)，则下列结论正确的是(

)(若随机变量Y服从正态分布N(μ,σ2)，则Pμ−σ≤Y≤μ+σA.E(X)=100 B.D(X)=100

C.P(X≥90)=0.84135 D.P(X≤120)=0.998710.已知2x+13xn的展开式共有13A.所有奇数项的二项式系数和为212 B.所有项的系数和为312

C.二项式系数最大的项为第6项或第7项 D.有理项共11.某商场为了吸引顾客前来消费，开展抽奖活动，规定消费每满100元即可获得一次抽奖机会．已知顾客第一次抽奖的中奖概率为14，从第二次抽奖开始，若前一次没有中奖，则这次抽奖的中奖概率为12，若前一次中奖，则这次抽奖的中奖概率为13.记顾客第n次抽奖的中奖概率为Pn，则A.P2=1124 B.某顾客消费200元，则其中奖概率为1124

C.Pn的最大值为1124 D.当n≥2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知随机变量X服从二项分布B(90,p)，若E[X]=30，则D[X]=

．13.已知函数f(x)=(x2+ax+1)ex，若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线与直线2x−y+2=0平行，则实数14.按照一定次序排列的一列集合称为集合列，可记为(A1,A2,A3,…,An…)；已知全集U={1,2,3,4}的子集A1，A2，A3满足(A1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数fx=ax3−x2(1)求a,b的值；(2)求fx在−4,4上的值域．16.(本小题15分)某校举行“爱国，爱校，爱班级”的知识竞赛，该校某班经过层层筛选，还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名学生中间产生.该班委设计了一个测试方案：甲、乙两名学生各自从6个问题中随机抽取3个问题作答，已知这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，而学生乙能正确回答每个问题的概率均为23(1)求乙恰好答对两个问题的概率；(2)请问选择哪名同学去参赛更合理，请说明理由...17.(本小题15分)某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：月份123456销售单价(元)119.51210.5910销售量(件)1110861514.2(1)根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问1中所得到的回归直线方程是否理想？(3)预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从1中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？(注：利润=销售收入−成本)．参考公式：回归直线方程y=bx+i=1518.(本小题17分)已知函数f(x)=a(1−ex)+x(1)判断f(x)的单调性；(2)若f(x)⩽0，求a的值；(3)已知g(x)=xex+12，x∈(0,+∞).若19.(本小题17分)

育才中学为普及法治理论知识，举办了一次法治理论知识闯关比赛.比赛规定：三人组队参赛，按顺序依次闯关，无论成败，每位队员只闯关一次.如果某位队员闯关失败，则由该队下一队员维续闯关，如果该队员闯关成功，则视作该队获胜，余下的队员无需维续闯关，若三位队员闯关均不成功，则视为该队比赛失败.比赛结束后，根据积分获取排名，每支获胜的队伍积分Y与派出的闯关人数X的关系如下：Y=40−10X(X=1,2,3)，比赛失败的队伍则积分为0.现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为p1、p2、p3，且每人能否闯关成功互不影响．

(1)已知p1=34，p2=23，p3=12，

(i)若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，求该队比赛结束后所获积分Y的期望；参考答案1.B

2.A

3.B

4.A

5.C

6.D

7.C

8.B

9.ABC

10.AC

11.AC

12.20

13.1

14.96625

15.解：(1)由fx=ax3−又当x=3时，fx有极值−5，

所以f′3所以f′x=x2−2x−3=x+1x−3，

当x∈−1,3时，所以当x=3时，fx有极小值−5所以a=1(2)由(1)知f′x令f′x=0，得f′x,fxx−4−4,−1−1−1,333,44f′+0−0+f−单调递增极大值17单调递减极小值−5单调递增−由表可知fx在−4,4上，

最大值为f−1=即fx在−4,4上的值域为−

16.解：(1)由题知，设“乙回答问题的正确个数”为Y，则Y～B(3,2则乙恰好答对两个问题的概率为：P=C(2)令“甲回答问题的正确个数”为X，“乙回答问题的正确个数”为Y，则X所有可能的取值为1,2,3，则P(X=1)=C41C2所以E(X)=1×1由题意，随机变量Y～B3,23又D(X)=(1−2)2×所以E(X)=E(Y)，D(X)<D(Y)，可见，乙与甲的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，所以选择学生甲去参赛更合理．

17.解：(1)因为x=11+9.5+12+10.5+95所以b=i=15x于是y关于x的回归直线方程为y=−1.75x+28.2(2)当x=10时，y=−1.75×10+28.2=10.7因为14.2−10.7=3.5>0.5所以可以认为所得到的回归直线方程是不理想的；(3)令销售利润为W，则W=(x−2．5)(−1．75x+28.2)

=−1．75x因为W=1．75x(−x+18.6)−70.5

⩽1.75×(当且仅当x=−x+18.6，即x=9.3时，W取最大值．所以该产品的销售单价定为9.3元/件时，获得的利润最大．

18.解：(1)由题意得，函数f(x)=a(1−ex)+x，定义域为R，

f′(x)=−aex+1，

当a⩽0时，−aex⩾0，则f′(x)=1−aex⩾1>0，

故f(x)在R上单调递增；

当a>0，令f′(x)=0，解得：x=−lna，

所以当f′(x)>0时，x<−lna，

当f′(x)<0时，x>−lna，

所以f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，在(−lna,+∞)上递减；

(2)由(1)可知，当a>0时，f(x)在(−∞,−lna)上单调递增，

在(−lna,+∞)上单调递减，

故f(x)max=f(−lna)，

若f(x)≤0，则f(x)max≤0，即f(−lna)≤0，

代入可得：f(−lna)=a(1−e−lna)−lna=a−1−lna，

令p(x)=x−1−lnx(x>0)，则p′(x)=1−1x=x−1x，

当x∈(0,1)时，p′(x)<0，当x∈(1,+∞)时，p′(x)>0，

所以p(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，

则p(x)min=p(1)=0，即f(−lna)min≥0恒成立，且p(1)=0，

所以f(−lna)=0，即a=1；

当a<0时，f′(x)=−aex+1>0恒成立，即f(x)在R上单调递增，又f(0)=0，

所以当x>0，f(x)>f(0)=0，f(x)≤0不恒成立，

故a<0不成立．

综上所述a=1；

(3)证明：令h(x)=g(x)−f(x)=(x−1)ex−x+32，x∈(0,+∞)，

h′(x)=xex−1，令t(x)=xex−1，

t′(x)=(x+1)ex>0，

所以h′(x)在(0,+∞)上单调递增，

因为h′(1219.解：(1)(i)由题若按甲、乙、丙的顺序依次参赛，

则该队比赛结束后所获积分Y的可能取值为30，20，10，0，

则P(Y=30)=34，

P(Y=20)=(1−34)×23=16，

P(Y=1