云南昭通市第一中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页云南昭通市第一中学等校2025-2026学年高三下学期4月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若集合A=x12<2x<8A.x−1<x≤4 B.x−1≤x≤4 C.x0≤x<32.设复数z=1−i(i为虚数单位)，z的共轭复数是z，则2i−2zz=A.−1+i B.−1−i C.1+i D.1−i3.“0<a<1”是“函数fx=xa+b在A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.若平面向量a,b,c

两两的夹角相等，且|a|=|A.3 B.4 C.3或0 D.4或15.已知函数fx=13A.1对 B.2对 C.3对 D.4对6.已知直线l：2m2+m+1x+m2−m−3y=3m2−2(其中m∈R)与圆A.相离 B.相切 C.相交 D.与m的取值有关系7.已知方程x2−x−1=0有两个根为α和β(α>β).若数列{an}满足aA.34 B.55 C.42 D.648.已知m>0，n>0且m+em=e，n+4n=e，则nA.nlgm>mlgn B.nlgm<m二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数fx=23A.fx的最小正周期为π

B.fx的图象关于直线x=π12对称

C.fx在区间0,π2上单调递增

D.f10.已知函数f(x)=x3+3x+a，则满足过点P(a,b)可作出3条直线与f(x)图象相切的充分条件是A.a=−1，−5<b<−4 B.b=0

C.点P在直线y=3x(x>0)上 D.点P在曲线y=4x11.已知椭圆C:x24+y23=1，左、右焦点分别为F1，A.若PF1⋅PF2=1，则符合条件的点P有2个

B.若∠F1PF2=π3，则△PF1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.用一个0，两个2，三个6排成一个六位数，则不同的排法种数为

.(用数字作答)13.如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，AC=AA1，则异面直线A114.若正整数m、n的公约数只有1，则称m、n互质.对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中与n互质的数的个数.函数φ(n)以其首名研究者欧拉的名字命名，称为欧拉函数，例如：φ(1)=1，φ(3)=2，φ(4)=2，φ(5)=4，φ(6)=2.当m，n互质时，φ(mn)=φ(m)φ(n).若数列{φ(4n)φ(6n)}的前四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sinA+cosA=2．

(1)求角A的大小；

(2)若a=3，3bsinC=csin2B16.(本小题15分)

如图，在三棱锥A−BCD中，平面ABD⊥平面BCD，AB=AD，O为BD的中点．

(1)证明：OA⊥CD;(2)若OA=OC=CD=OD，点E在棱AD上，若二面角E−BC−D的大小为π4，判断E点的位置．17.(本小题15分)为了普及足球知识，某市开展了“滇超知识竞赛”活动.现从参加该竞赛的学生中随机抽取了80名，统计了他们的成绩(满分100分)，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)求这组数据的平均值(同一组中的数据用该组区间的中间值为代表)；(2)当成绩不低于80分的学生被评为“滇超达人”，以频率估计概率，从本市参加该竞赛的学生中随机抽取3人，随机变量X表示抽取学生为“滇超达人”的人数，求X的分布列及数学期望；(3)某市参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5.从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，求这名学生是“滇超达人”的概率．18.(本小题17分)已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F，准线方程为y=−2，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点(异于原点O)，抛物线在P，Q(1)求抛物线C的标准方程;(2)证明：点T在定直线上;(3)在(2)的结论下，求此时△PTQ的面积最小值，并求此时直线l的方程．19.(本小题17分)若二元代数式fa,b满足fa,b=f记i=12a=a+b；若三元代数式ffa,b,c为三元轮换式，i=13a(1)若正实数x，y满足x>y，且i=12x=(2)若代数式fx,y=ln(3)若对任意的正实数x，y，z均有i=13x3−i=1参考答案1.C

2.B

3.A

4.C

5.C

6.C

7.B

8.A

9.ABD

10.AD

11.BCD

12.50

13.214.3−215.π3；

3+316.(1)证明：因为AB=AD，O为BD的中点，所以AO⊥BD．

又平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD=BD，AO⊂平面ABD，

所以AO⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以AO⊥CD．

(2)解：取OD的中点F，因为△OCD为正三角形，所以CF⊥OD．

过O作OM//CF与BC交于点M，则OM⊥OD，所以OM，OD，OA两两垂直，

如图2，以点O为坐标原点，分别以OM，OD，OA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

令OA=OC=CD=OD=2，则O(0,0,0)，B(0,−2,0)，C(3,1,0)，D(0,2,0)，A(0,0,2).

因为点E在棱AD上，设DE=λDA，所以E(0,2−2λ,2λ)，

因为OA⊥平面BCD，故平面BCD的一个法向量为OA=(0,0,2)．

设平面BCE的法向量为n=(x,y,z)，BC=(3,3,0)，BE=(0,4−2λ,2)

所以n⋅BC=0n⋅BE=0，得3x+3y=0(4−2λ)y+2λz=0．

令x=3，则y=−1，z=2λ−1，故n=(3,−1,2λ−1)．

因为二面角E−BC−D的大小为π17.解：(1)由频率分布直方图，这组数据的平均值为45×0.005+55×0.015+65×0.020+75×0.030+85×0.020+95×0.010=72.5(2)以频率估计概率，根据频率分布直方图，得到“滇超达人”在竞赛人数中的占比为0.020+0.010×10=0.3即从本市参加该竞赛的学生中随机抽取1人，该学生为“滇超达人”的概率为310易知X∼B3,0.3所以PX=0PX=1PX=2PX=3所以X的分布列为X0123P0.3430.4410.1890.027X的数学期望是EX(3)由三校学生在活动中“滇超达人”所占比例为2:3:5，得在所有的“滇超达人”中随机抽选一人，则这名学生是甲、乙、丙三校学生的概率分别是22+3+5已知参与竞赛的学生中，甲校学生占25%，乙校学生占35%，丙校学生占40%，所以根据全概率公式可得，从参与该竞赛的学生中随机抽取一人，这名学生是“滇超达人”的概率为25%×0.2+35%×0.3+40%×0.5=0.355．

18.(1)解：抛物线C:x2=2py的准线方程为y=−p2．

由题意，−p2=−2，解得p=4，

所以抛物线的标准方程为C:x2=8y．

(2)证明：由(1)知，焦点F(0,2)，设直线l斜率为k，

则l:y=kx+2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

由y=kx+2x2=8y，得x2−8kx−16=0，

则韦达定理：x1+x2=8k，x1x2=−16．

由x2=8y，得出y=x28，所以y′=x4，切线的斜率为kPT=x14，

所以在点P处的切线方程为x1x=4(y+y1).

同理，在点Q处的切线方程为x2x=4(y+y2)，

设T(xT,yT)，则T满足：x1xT=4(yT+y1)，x2xT=4(yT+y2)，

所以19.解：(1)由于i=12x=i=12x2及x(2)由于fx,y=lnxy构造函数g(x)=xlnx，故0<x<e−1时，g′(x)<0，x>e−1时，g′(x)>0，不妨设x<y，由于g(x)=g(y)，x≠y，故0<x<e由于0<x<e−1，故要证xy<e−2，只需证只需证g(y)=g(x)=xln化简得x2只需证lnx+构造函数h(x)=lnx+2h′(x)=1故h(x)在(0,e−1)即lnx+2e(3)原不等式为x由于z>0时不等式成立，故z=0时不等式也成立．令x=1，y=2，z=0，左端=5，右端=2m，由必要性m≤52，故最大整数m可取下证m=2时，不等式成立．记S=x由于S是三元轮换