2026届新高考数学考前冲刺最后一课 统计、成对数据的统计分析和概率

2026届新高考数学考前冲刺最后一课统计、成对数据的统计分析和概率考查随机抽样、样本的数字特征、统计图表、经验回归方程、独立性检验等内容，中低等难度．热点是样本的数字特征、经验回归方程、独立性检验的应用．1．(2025·新课标全国Ⅱ卷)样本数据2,8,14,16,20的平均数为(

)A．8 B．9C．12 D．18【答案】

C2．(2024·新课标全国Ⅰ卷)某农业研究部门在面积相等的100块稻田上种植一种新型水稻，得到各块稻田的亩产量(单位：kg)并部分整理下表亩产量[900,950)[950,1000)[1000,1050)[1100,1150)[1150,1200]频数612182410据表中数据，结论中正确的是(

)A．100块稻田亩产量的中位数小于1050kgB．100块稻田中亩产量低于1100kg的稻田所占比例超过80%C．100块稻田亩产量的极差介于200kg至300kg之间D．100块稻田亩产量的平均值介于900kg至1000kg之间【答案】

C3．(多选)(2023·新课标全国Ⅰ卷)有一组样本数据x1，x2，…，x6，其中x1是最小值，x6是最大值，则(

)A．x2，x3，x4，x5的平均数等于x1，x2，…，x6的平均数B．x2，x3，x4，x5的中位数等于x1，x2，…，x6的中位数C．x2，x3，x4，x5的标准差不小于x1，x2，…，x6的标准差D．x2，x3，x4，x5的极差不大于x1，x2，…，x6的极差【答案】

BD4．(2022·全国甲卷理科)某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则(

)A．讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B．讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C．讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D．讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】

B5．(2025·新课标全国Ⅰ卷)为研究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过超声波检查的人群中随机调查了1000人，得到如下列联表：超声波检查结果组别正常不正常合计患该疾病20180200未患该疾病78020800合计8002001000(1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的概率为p，求p的估计值；(2)根据小概率值α＝0.001的独立性检验，分析超声波检查结果是否与患该疾病有关．P(χ2≥k)0.050.0100.001k3.8416.63510.8286．(2024·全国甲卷理科)某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：

优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？

优级品非优级品甲车间

乙车间

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【解析】

(1)根据题意可得列联表：

优级品非优级品甲车间2624乙车间7030考点一按比例分配的分层随机抽样●核心知识比例分配的分层随机抽样中的两个等量关系●方法技巧比例分配的分层随机抽样的求解方法比例分配的分层随机抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，求解此类问题需先求出抽样比——样本容量与总体容量的比，则各层所抽取的样本容量等于该层个体总数与抽样比的乘积．●典例研析1.(1)(2025·河西区三模)某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在高三年级抽取的女学生人数为(

)A．24

B．16

C．12

D．8

高一年级高二年级高三年级女生373xy男生377370250(2)(2025·江西模拟)某学校高一年级在校人数为600人，其中男生350人，女生250人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样的方法抽出的男生身高为一个样本，其样本平均数为172cm，抽出的女生身高为一个样本，其样本平均数为160cm，则该校高一学生的平均身高为(

)A．162cm B．167cmC．164cm D．169cm【答案】

(1)D

(2)B●跟踪训练1．(2025·合肥校级模拟)建设“书香校园”成为越来越多学校的办学追求．在对某高中1000名高一年级学生的图书馆借阅量的调查中，已知这1000名高一年级学生中男生有600人，采用分层随机抽样的方法抽取100人，抽取的样本中男生借阅量的平均数和方差分别为5和6，女生借阅量的平均数和方差分别为10和6，则估计该校学生借阅量的总体方差是(

)A．7

B．8

C．12

D．13【答案】

C考点二用样本估计总体(3)频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．●方法技巧用样本估计总体(1)在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图，体会它们各自的特点．(2)理解样本数据方差的意义和作用，学会计算样本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释．(3)会用样本估计总体的思想，用样本的频率分布估计总体分布，用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征．●典例研析2.(1)(2025·芜湖二模)一组数11,13,15,26,29,30,32,33,36，若去掉11和36，则该组数以下哪个数字特征不变(

)A．平均数 B．中位数C．方差 D．极差(3)(多选)(2025·海南模拟)某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据

图中数据，下列说法正确的是(

)A．a＝0.005B．评分在[50,60)的人数约为20C．估计评分的下四分位数为65D．估计评分的平均数为76.5【答案】

(1)B

(2)C

(3)ABD(3)由频率之和为1得10×(2a＋4a＋6a＋5a＋3a)＝1，解得a＝0.005，故A选项正确；评分在[50,60)的频率为0.1，故人数约为200×0.1＝20人，故B选项正确；下四分位数频率为0.25，[50,60)频率0.1，[60,70)频率0.2，累计前两组达0.3＞0.25，设分位数为x,0.1＋(x－60)×0.02＝0.25，解得x＝67.5≠65，故C选项错误；平均数为55×0.1＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.15＝76.5，故D选项正确．故选ABD.●跟踪训练2．(2025·晋城二模)已知10个样本数据的平均值为10，方差为6，则这10个数据的65%分位数的最大值为(

)A．11

B．12

C．13

D．14【答案】

C3.(2025·成都模拟)为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是(

)A．a的值为0.005B．估计这组数据的众数为75C．估计成绩低于60分的有250人D．估计这组数据的第85百分位数为85【答案】

D【解析】根据频率分布直方图可知：10×(2a＋3a＋3a＋6a＋5a＋a)＝1，即a＝0.005，故A正确；由图易得在区间[70,80)的人最多，故可估计这组数据的众数为75，故B正确；10×0.005×(2＋3)×1000＝250，故成绩低于60分的有250人，即C正确；由图中前四组面积之和为：(2＋3＋3＋6)×0.005×10＝0.7，图中前五组面积之和为：(2＋3＋3＋6＋5)×0.005×10＝0.95，故这组数据的第85百分位数在第五组数据中，设这组数据的第85百分位数为m，则有0.7＋5×0.005(m－80)＝0.85，故m＝86，即估计这组数据的第85百分位数为86，故D错误．故选D.考点三经验回归方程●核心知识1．相关系数：r＝●方法技巧非线性经验回归方程的求法●典例研析

线性回归分析在实际中的应用3．(2025·乌兰察布校级三模)随着电商事业的快速发展，网络购物交易额也快速提升，某网上交易平台工作人员对2020年至2024年每年的交易额(取近似值)进行统计分析，结果如下表：年份20202021202220232024年份代码(t)12345交易额y(单位：百亿)1.523.5815(1)据上表数据，计算y与t的相关系数r(精确到0.01)，并说明y与t的线性相关性的强弱；(若0.75＜|r|＜1，则认为y与t线性相关性很强；若0.3＜|r|≤0.75，则认为y与t线性相关性一般；若|r|≤0.3，则认为y与t线性相关性较弱．)(2)利用最小二乘法建立y关于t的线性回归方程，并预测2025年该平台的交易额．

非线性回归分析在实际中的应用4．(2025·泉州模拟)泉州少年郎团队从2024年10月份以来，通过深度整合AI算法、大数据分析和自动化技术，不断优化产品与服务，显著提升了运营效率和市场竞争力，推动团队收入持续攀升．该团队在近7个月的经济收入(单位：百万元)的数据如下表：月份编号x1234567收入y(百万元)611213466101196(1)根据以上数据绘制散点图，并根据散点图判断，y＝ax＋b与y＝c·dx(a，b，c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型？(给出判断即可，不必说明理由)并根据你的判断结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；(2)请你根据所求的回归方程，预测该团队下一个月的经济收入；(3)试从统计学角度分析，如果用所求的回归方程预测该团队接下来1年的经济收入情况是否合理？参考数据：【解析】

(1)散点图如图所示，根据散点图判断，y＝c·dx适宜作为该团队经济收入y关于月份x的回归方程模型，5．(2025·青秀区校级模拟)红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(℃)有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.(1)根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(℃)的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(3)根据以往每年平均气温以及对果园年产值的统计，得到以下数据：平均气温在22℃以下的年数占60%，对柚子产量影响不大，不需要采取防虫措施；平均气温在22℃至28℃的年数占30%，柚子产量会下降20%；平均气温在28℃以上的年数占10%，柚子产量会下降50%.为了更好的防治红蜘蛛虫害，农科所研发出各种防害措施供果农选择．在每年价格不变，无虫害的情况下，某果园年产值为200万元，根据以上数据，以得到最高收益(收益＝产值－防害费用)为目标，请为果农从以下几个方案中推荐最佳防害方案，并说明理由．方案1：选择防害措施A，可以防止各种气温的红蜘蛛虫害不减产，费用是18万；方案2：选择防害措施B，可以防治22℃至28℃的红蜘蛛虫害，但无法防治28℃以上的红蜘蛛虫害，费用是10万；方案3：不采取防虫害措施．所以z关于x的线性回归方程为z＝0.3x－4.5，则y关于x的回归方程为y＝e0.3x－4.5.(3)不妨设X1，X2和X3分别表示选择三种方案的收益，若采用第1种方案，无论气温如何，产值不受影响，此时收益为200－18＝182万，则X1＝182，若采用第2种方案，如果不发生28℃以上的红蜘蛛虫害，收益为200－10＝190万，如果发生，收益为100－10＝90万，所以E(X1)＝182，E(X2)＝190×P(X2＝190)＋90×P(X2＝90)＝190×0.9＋90×0.1＝171＋9＝180，E(X3)＝200×P(X3＝200)＋160×P(X3＝160)＋100×P(X3＝100)＝200×0.6＋160×0.3＋100×0.1＝178.因为E(X1)＞E(X2)＞E(X3)，所以E(X1)最大，则选择方案1最合适．考点四独立性检验在实际中的应用●核心知识假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d●方法技巧有关独立性检验问题的解题步骤(1)作出2×2列联表；(2)根据公式计算χ2的值；(3)查临界值，运用临界值作出判断，并根据题目要求进行正确回答．●典例研析5.(2025·浙江模拟)幸得三月樱花舞，从此阡陌多暖春．又到春暖花开时，校园的樱花如约而至．浸润在春风里的樱花，绚烂柔美，青春美好，尽显春日浪漫．师生共赏樱花盛景，不负这盛世春光．每年樱花季，若在樱花树下流连超10小时，则称为“樱花迷”，否则称为“非樱花迷”．从全校随机抽取30个男生和50个女生进行调查，得到数据如表所示：

樱花迷非樱花迷男5m5女402m(1)求m的值；(2)根据小概率值α＝0.01的独立性检验，判断“樱花迷”与性别是否有关联？(3)现从抽取的50个女生中，用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记这3人中“非樱花迷”的人数为X，求X的分布列和数学期望．●跟踪训练6．(2025·河池二模)2025年春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》掀起全民观影热潮，连续7天票房逆势攀升，单日最高突破8.6亿元，吸引部分家庭携老扶幼共赴影院，缔造中国影史春节档票房与观影人次双冠王的奇迹．某电影院为了解民众观影的喜欢程度，随机采访了180名观影人员，得到下表：是否成年人是否喜欢合计不喜欢喜欢未成年人m80100成年人20s80合计nt180(2)依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影《哪吒之魔童闹海》与是否成年有关？(3)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设X表示这两人中非常喜欢电影《哪吒之魔童闹海》的人数，求X的分布列和数学期望．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2025·城阳区校级一模)已知样本数据1,3,5,7,9,11,13,15，则该组数据的中位数是(

)A．6 B．7C．8 D．9【答案】

C2．(2025·江西模拟)在某次全市高三模拟考试后，数学老师随机抽取了6名同学的第一个解答题的得分情况如下：7,10,5,8,4,2，则这组数据的平均数和30%分位数分别为(

)A．6,3 B．5,3C．5,4 D．6,4【答案】

D3．(2025·徐州校级二模)某商品的广告支出费用x(单位：万元)与销售量y(单位：万件)之间的对应数据如表所示：广告支出费用x3.44.755.66.3销售量y1516.919.21820.9【答案】

D4．(2025·固始县二模)为调查某地区中学生每天睡眠时间，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生800人，其每天睡眠时间均值为9小时，方差为1，抽取高中生1200人，其每天睡眠时间均值为8小时，方差为0.5，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为(

)A．0.96 B．0.94C．0.79 D．0.75【答案】

B5．(2025·河西区二模)某大型企业开发了一款新产品，投放市场后供不应求，为了达到产量最大化，决定增加生产线．经过一段时间的生产，统计得该款新产品的生产线条数x与月产量y(件)之间的统计数据如表：x46810y30406070

【答案】

C6．(2025·辽宁二模)某实验中学为调查本校高三学生的学习成绩是否与坚持体育锻炼有关，随机选取了高三300名学生的某次联考成绩进行统计，得到如下表格：分数锻炼合计坚持锻炼不坚持锻炼分数≥60010080180分数＜6005070120合计150150300依据小概率值α＝m的独立性检验，可以认为高三学生的学习成绩与坚持进行体育锻炼有关，则m的值可能是(

)A．0.001 B．0.005C．0.01 D．0.05【答案】

Dα0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828x3456y56.27.4mA．变量x、y之间呈正相关B．预测当宣传投入2千元时，书籍销量约为400本C．m＝8.8D．拟合误差Q＝0.48【答案】

C8．(2025·九江二模)植物的根是吸收水分和矿物养分的主要器官．已知在一定范围内，小麦对氮元素的吸收量与它的根长度具有线性相关关系．某盆栽小麦实验中，在确保土壤肥力及灌溉条件相对稳定的情况下，统计了根长度x(单位：cm)与氮元素吸收量y(单位：mg/天)的相关数据，如下表所示：x9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1y0.300.340.420.50.550.60.710.740.780.86A．a＝－0.05B．变量y与x的相关系数r＜0C．在一定范围内，小麦的根长度每增加1cm，它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mgD．若对小麦的根长度与钾元素吸收量的相关数据进行统计，则对应回归方程不变【答案】

C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．x4681012ya2bc6A．当x＝20时，y的预测值为11.2B．b＝3C．表格中5对数据的样本相关系数r＜0D．当x＝6时，残差值为0.1【答案】

AB【答案】

CD11．(2025·肥城市模拟)以下说法中正确的是(

)A．将6名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，不同的分配方案共有50种B．在回归模型的残差分析中，决定系数R2越接近1，意味着模型的拟合效果越差【答案】

ACD【答案】

12

是大绿书APP的用户(Y＝1)不是大绿书APP的用户(Y＝0)男性(X＝1)8n12n女性(X＝0)12n8n【答案】

314．(2025·杨浦区二模)植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度y(单位：厘米)与生长期x(单位：天)之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表：生长期x391117植物高度y2.43.43.85.2【答案】

7.7四、解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．(2025·大通县二模)游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示：性别

游泳合计

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