2026届新高考数学考前冲刺最后一课 圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题

2026届新高考数学考前冲刺最后一课圆锥曲线的方程及计算、证明、最值与范围问题主要考查证明问题(证明位置关系、线段长度关系等)、弦长或图形面积的计算及其最值或范围问题，属于较难问题，热点是直线与圆锥曲线相交所形成的三角形或四边形面积的最值问题．(1)求椭圆的标准方程；(2)已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足|AR|·|AP|＝3.①设P(m，n)，求点R的坐标(用m，n表示)；②设O为坐标原点，M是椭圆上的动点，直线OR的斜率为直线OP的斜率的3倍，求|PM|的最大值．方法一：设M(3cosθ，sinθ)，所以|MN|2＝(3cosθ)2＋(sinθ＋4)2＝9cos2θ＋sin2θ＋8sinθ＋16＝8cos2θ＋1＋8sinθ＋16＝8(1－sin2θ)＋8sinθ＋17＝－8sin2θ＋8sinθ＋25(1)求C的方程；(2)过点P(4,0)的直线与C交于A，B两点，N为线段FP的中点，直线NB交直线MF于点Q，证明：AQ⊥y轴．(2)证明：由(1)可知P(2,1)，F(－1,0)，A(2,0)，易知直线PB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，则1＝2k＋m，即m＝1－2k，考点一求圆锥曲线的标准方程和基本计算问题●方法技巧1．求轨迹方程的常用方法(1)直接法①用直接法求曲线方程的关键就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这几个步骤，但最后的证明可以省略；②注意求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数．(3)定义法①所求的轨迹符合某种圆锥曲线(椭圆、双曲线、拋物线)的定义；②看轨迹是否是完整的椭圆、双曲线、拋物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．(4)相关点(代入)法①明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动点)M(x，y)；②寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)；③将x0，y0代入已知曲线方程；④整理关于x，y的关系式得点M的轨迹方程．2.解答圆锥曲线基本计算问题的注意事项(1)准确求出圆锥曲线的方程和直线的方程．(2)直线与圆锥曲线方程联立消元，利用根与系数的关系得到等量关系．(2)如图所示，因为A关于x轴的对称点为B，A(m，n)，考点二证明问题●方法技巧圆锥曲线证明问题的类型及求解策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如，某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)．(2)解决证明问题时，主要根据直线与圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关性质的应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．(3)常用的证明方法●典例研析2．设点T是抛物线外一点，过点T向抛物线y2＝4x引两条切线TM，TN，切点分别为M，N，焦点为F.(1)若点T的坐标为(－1,1)，证明：以TM为直径的圆过焦点；(2)若点T的坐标为(－2,2)，证明：∠MFT＝∠NFT.【证明】

(1)不妨设抛物线外一点T(x0，y0)，(2)证明：要证S△APD＝S△BQD，即证|AP|＝|BQ|，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，P(xP，yP)，Q(xQ，yQ)，当直线l1斜率不存在时，由椭圆对称性可知|AP|＝|BQ|成立，考点三最值(范围)问题解决圆锥曲线中的最值(范围)问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的最值(范围)．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的最值(范围)．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的最值(范围)．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的最值(范围)．(1)求曲线C的方程；(2)过M的直线与曲线C相切，求切线方程；(3)△MNF是钝角三角形，求N点横坐标的取值范围．解答题：每小题15分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(2025·鹰潭模拟)已知A为抛物线T：y2＝2px(p＞0)的焦点，B为T的准线与x轴的交点，C在y轴正半轴上，直线AD交T于M，N两点，D在线段AM上，且四边形ABCD为菱形．(1)求|BD|(用p表示)；(2)证明：D为线段AM的中点．【解析】

(1)根据题意可得|AB|＝p，又四边形ABCD为菱形，所以|BC|＝|AB|＝2|BO|＝p，所以∠CBO＝60°，所以△ABC与△ACD为等边三角形，(1)求椭圆W的方程；(2)设C(0,2)，D(0，－4)，过点C的直线l与椭圆交于P，Q两点，连接QD、PD交x轴于M、N两点(M、N不重合)，已知|ON|＝2|OM|，求直线l的方程．(2)结合题意可知，直线l的斜率存在，又C(0,2)，设直线l方程为y＝kx＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如图所示：【解析】

(1)因为|MF1|＝7，|MF2|＝5，所以2a＝|MF1|－|MF2|＝2，解得a＝1，记双曲线C1的右焦点F2为(c,0)(c＞0)，此时抛物线C2：y2＝4cx，准线方程为x＝－c.设M(xM，yM)(xM＞0，yM＞0)，因为点M在抛物线上，(1)求椭圆的方程；(2)设过点M(0,2)且斜率为k的直线与椭圆交于不同的两点A，B，点O在以线段AB为直径的圆外(O为原点)，求k的取值范围．因为点O在以线段AB为直径的圆外，所以∠AOB为锐角，A，O，B不共线，(1)求曲线Γ的方程；(2)过P(x0，y0)作Γ的切线l交C于不同两点S，T.①求直线l的方程(用x0，y0表示)；②求证：|SP|＝|PT|.消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4kbx＋2b2－4＝0，此时Δ＝16k2b2－4(2b2－4)(1＋2k2)＝8(4k2－b2＋2)，因为l与曲线Γ相切，所以4k2－b2＋2＝0.因为k＝kST，所以kOP＝kOQ，可得P，Q重合，即P为ST的中点．则|SP|＝|PT|.【解析】

(1)不妨设双曲线E的半焦距为c(c＞0)，因为△PF1F2的面积为3，解得|PF1|·|PF2|＝6，易知|PF1|－