2026届新高考数学考前冲刺最后一课转化与化归思想

2026届新高考数学考前冲刺最后一课转化与化归思想1．转化与化归思想的含义转化与化归的思想方法，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．2．转化与化归的原则(1)熟悉化原则；(2)简单化原则；(3)直观化原则；(4)正难则反原则．3．转化与化归的策略方法(1)直接转化法；(2)换元法；(3)数形结合法；(4)构造法；(5)坐标法；(6)类比法；(7)特殊化方法；(8)等价问题法；(9)加强命题法；(10)补集法．4．转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数和解三角形中，主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等．(2)换元法是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题转化为其导函数f′(x)构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．5．转化与化归的常见类型(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题；如在三角函数和解三角形中，主要的转化方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化、通过正弦定理、余弦定理实现边角关系的相互转化等．(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题．(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径．(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的．(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题．应用一等与不等引起的转化●核心知识函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范围．●方法技巧1．比较对数式大小：一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；2．比较非特殊角三角函数大小：可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答．●典例研析1．(2025·河南二模)已知a＝1.01ln(ln1.01)－(ln1.01)ln1.01，b＝sin(ln(1＋cos1.01))，c＝etan(sin1.01)＋1，则a，b，c的大小关系为(

)A．a＜b＜c

B．b＜a＜c

C．c＜b＜a

D．c＜a＜b【答案】

A2．(2025·贵州三模)已知函数f(x)＝x2＋(1－2a)x－alnx，a∈R.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．【解析】

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，若a≤0，则f′(x)＞0，则f(x)在(0，＋∞)单调递增；若a＞0，则当0＜x＜a时，f′(x)＜0，当x＞a时，f′(x)＞0，则f(x)在(0，a)单调递减，则(a，＋∞)单调递增．(2)由(1)可知，要使f(x)有两个零点，则a＞0，则f(x)min＝f(a)＝－a2＋a－alna＜0，即lna＋a－1＞0，故h(x)在[1，＋∞)单调递减，又h(1)＝0，故h(x)≤0，即lnx≤x－1＜x，则2x＋lnx＜3x，故f(x)＝x2＋x－a(2x＋lnx)＞x2＋x－3ax＝x(x＋1－3a)，则f(3a)＞3a＞0，则f(a)·f(3a)＜0，又3a＞a＞1，结合零点存在性知，在(a，＋∞)存在唯一实数x2，使得f(x2)＝0，综上，当f(x)有两个零点时，a∈(1，＋∞)．应用二特殊与一般引起的转化●核心知识特殊与一般转化法是在解决问题过程中将某些一般问题进行特殊化处理或将某些特殊问题进行一般化处理的方法．这类转化法一般的解题步骤是：第一步：确立需转化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标．第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”．第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题．第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题．第五步：回归目标问题．第六步：回顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等．对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案．【答案】

Ca应用三正与反引起的转化●核心知识正难则反，利用补集求得其解，这就是补集思想，一种充分体现对立统一、相互转化的思想方法．一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”“至少”情形的问题中．●典例研析5．(1)中国空间站的主体结构包括天和核心实验舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设空间站要安排甲、乙等5名航天员开展实验，三舱中每个舱至少一人至多二人，则甲乙不在同一实验舱的种数有(

)A．60 B．66C．72 D．80(2)8个点将半圆分成9段弧，以10个点(包括2个端点)为顶点的三角形中钝角三角形有________个(

)A．55 B．112C．156 D．120【分析】

(1)根据分步计数原理结合部分平均分组以及结合间接法运算求解．(2)根据题意，用间接法，先利用组合数公式计算其中三角形的数目，排除其中直角三角形的数目计算可得答案．【答案】

(1)C

(2)B应用四空间与平面引起的转化●核心知识立体几何中有些问题的解答，可以转化为平面几何问题来解决，即考虑转化成在一个平面上的问题，运用平面几何知识求解．特别是涉及旋转体的问题，通过研究轴截面，寻找几何体与几何体几何元素之间的关系．(1)证明：BC⊥平面PBD；(2)求二面角C－PD－B的余弦值．【分析】

(1)根据余弦定理可得BD＝1，利用勾股定理的逆定理可得BC⊥BD，结合面面垂直的性质即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，根据余弦定理求出AB，进而求得点P的坐标，得平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积的定义即可求解．所以BD2＋BC2＝CD2，即BC⊥BD.因为平面PBD⊥平面BDC，平面BCD∩平面PBD＝BD，所以BC⊥平面PBD.(2)以B为坐标原点，BC所在直线为x轴，BD所在直线为y轴，过点B且垂直于平面BCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，C(2,0,0)，D(0,1,0)．设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，应用五数与形引起的转化●核心知识利用