立体图形的直观图-高一数学同步课件（人教A版必修第二册）

第8章立体几何8.2立体图形的直观图人教A版2019必修二

学习目标学习目标学科素养1.掌握斜二测画法的作图步骤.（重点）2.会用斜二测画法画出平面图形的直观图.3.用斜二测画法画出常见的立体图形的直观图.4.养成规范画图的习惯和技能（难点）1.数学运算;2.逻辑推理;3.转化思想.请你根据上节课所学的基本立体图形的知识，说出下面几何体分别是什么几何体？长方体五棱锥圆柱圆台四棱台这些图形就是空间几何体的直观图圆锥就是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形复习引入空间几何体可画在纸上，用以上平面图形表示出来，使我们能够根据平面图形想象空间几何体的形状和结构为了更好刻画立体图形，这就需要学习立体图形直观图的有关知识如何观测得到的直观图更立体？不同观测角度下的图形如何变化？寻找角度，确定画法

如下图，矩形窗户在阳光照射下留在地面上的影子是什么形状?眺望远处成块的农田，矩形的农田在我们眼里又是什么形状?可能是矩形，也可能是平行四边形.思考1观察分析，感知概念“横看成岭侧成峰”

为什么是这样的形状？你能解释吗？大家还记得初中学过的投影分为哪几类吗？中心投影平行投影DCBA斜投影正投影

光由一点向外散形成的投影，叫做中心投影.中心投影的投影线交于一点.

在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影.平行投影的投影线是平行的.思考2Geogebra演示平行投影利用平行投影，人们获得了画直观图的斜二测画法.OABCSC1B1投影投射线投影面（投影方向）

（一）绘制水平放置的多边形（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段。

画轴

画线

取长度（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于O′，且使∠x′O′y′=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面。（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半。

坐标：斜

取长度：平行于y轴的线段取二分之一直观图例1：如图，用斜二测画法画水平放置的正方形的直观图

横不变,纵减半,平行关系不变xyOABCDx'y'O'A'B'D'C'x'y'O'例1.用斜二测画法画水平放置的正六边形的直观图.图8.2-4（1）图8.2-4（2）图8.2-4（3）ACBDFExyOMNx’y’O’A’D’M’N’C’B’F’E’A’D’C’B’F’E’思考

在利用斜二测画法画直观图的过程中，其中的关键点是什么？x轴和y轴起到了什么作用？确定多边形顶点位置而x轴和y轴表示了空间中横向和纵向这两个维度，起到了帮助我们确定点的位置这一关键作用。平面图形的斜二测画法步骤及要点（1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350；（3）水平线段等长，竖直线段减半；（2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合；“横不变，纵减半，平行、重合不改变”

不变的：平行关系，与x轴平行或重合的线段长度变化的：垂直关系，角的大小，其他线段的长度用椭圆作为圆的直观图

1.

用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）相等的线段在直观图中仍然相等.（）（2）平行的线段在直观图中仍然平行.（）

（3）一个角的直观图仍是一个角.（）

（4）相等的角在直观图中仍然相等.（）√×√×练一练例1:如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，C′D′＝2cm，则原图形是_____，其面积为_______.菱形

探究：水平放置的平面图形与直观图的面积关系

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直观图与原图的面积之间有何关系？思考

练一练绘制水平放置的圆Geogebra演示平行投影

水平放置的圆看起来非常像椭圆，因此我们一般用椭圆作为圆的直观图。在立体几何中，常用正等测画法画水平放置的圆。正等测画法图8.2-5（二）简单几何体直观图的画法

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与𝒙轴、𝒚轴都垂直的𝒛轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。例2.已知长方体的长,宽,高分别是3cm,2cm,1.5cm，用斜二测画法画出它的直观图.图8.2-6O(A)BDCD’A’B’C’图8.2-6xyz思考3与平面图形相比，多了一个平面斜二测画法画底面画侧棱，与z轴平行/重合的线段长度不变成图，去掉辅助线，被遮挡部分改为虚线

画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与𝒙轴、𝒚轴都垂直的𝒛轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变。以长方体为例：（二）简单几何体直观图的画法注明：画几何体的直观图时，如果不作严格要求，图形尺寸可以适当选取．用斜二测画法画图的角度也可以自定，但要求图形具有一定的立体感．

练一练2.画出圆锥的直观图.练一练练一练3.画出球的直观图.画球的直观图，一般需要画出球的轮廓线，它是一个圆.同时还经常画出经过球心的截面圆，它们的直观图是椭圆，用以衬托球的立体性.例4.某简单几何体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的上底面重合.画出这个组合体的直观图.画法：如图8.2-10，先画出圆柱的上下底面，再在圆柱和圆锥共同的轴线上确定圆锥的顶点，最后画出圆柱和圆锥的母线，并标注相关字母，就得到组合体的直观图.OxABO’x’A’B’zP图8.2-10练一练图形的直观图（一）平面图形的直观图（二）立体图形的直观图

横不变纵减半，平行性不变

横竖不变纵减半，平行性不变

课堂总结O(A)BxCDyzABCDP111练习1．用斜二测画法画一个棱长为3的正方体的直观图．2．用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图．OOxz3．一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心．画出这个组合体的直观图．习题8.21．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”错误的画“×”．（1）三角形的直观图是三角形．()（2）平行四边形的直观图是平行四边形．()（3）正方形的直观图是正方形．()（4）菱形的直观图是菱形．()√√××2．用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图：（1）直角边横向；（2）斜边横向．3．用斜二测画法画出底面边长为2