高三数学（文）一轮复习课堂达标34空间几何体的结构特征三视图和直观图

◆牛刀小试•成功靠岸◆课堂达标(三十四)[A基础巩固练]1．已知底面为正方形的四棱锥，其中一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的()[解析]根据三视图的定义可知A、B、D均不可能，故选C.[答案]C2．“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合(牟合)在一起的方形伞(方盖)．其直观图如图1，图2中四边形是为体现其直观性所作的辅助线，当其正视图和侧视图完全相同时，它的正视图和俯视图分别可能是()图1图2A．a，b B．a，cC．c，b D．b，d[解析]当正视图和侧视图完全相同时，“牟合方盖”相对的两个曲面正对前方，正视图为一个圆，俯视图为一个正方形，且两条对角线为实线，故选A.[答案]A3．(2018·福州模拟)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为______，如图所示的一个正方形，则原来的图形是()[解析]由直观图可知，在直观图中多边形为正方形，对角线长为eq\r(2)，所以原图形为平行四边形，位于y轴上的对角线长为2eq\r(2).[答案]A4．下列结论正确的是()A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线[解析]A错误．如图1所示，由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，各面都是三角形，但它不是棱锥．B错误．如图2，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋转轴不是直角边所在直线，所得的几何体都不是圆锥．C错误．若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形．由几何图形知，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长．D正确．[答案]D5．(2018·黄山质检)一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图如图所示，则其侧视图为()[解析]根据一个正方体截去两个角后所得几何体的正视图、俯视图可得几何体的直观图为()[答案]C6．(2018·临沂模拟)如图甲，将一个正三棱柱ABC­DEF截去一个三棱锥A­BCD，得到几何体BCDEF，如图乙，则该几何体的正视图(主视图)是()[解析]由于三棱柱为正三棱柱，故平面ADEB⊥平面DEF，△DEF是等边三角形，所以CD在后侧面上的投影为AB的中点与D的连线，CD的投影与底面不垂直，故选C.[答案]C7．如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是______．[解析]如图，将直观图梯形A′B′C′D′还原得原图形梯形ABCD，且知在梯形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，DC＝D′C′＝1，AD＝2A′D′＝2，AB＝A′B′＝eq\r(2)＋1.故S梯ABCD＝eq\f(1,2)[(eq\r(2)＋1)＋1]×2＝2＋eq\r(2).[答案]2＋eq\r(2)8．如图，点O为正方体ABCD­A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中点，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的各个面上的正投影可能是______(填出所有可能的序号)．[解析]空间四边形D′OEF在正方体的面DCC′D′及其对面ABB′A′上的正投影是①；在面BCC′B′及其对面ADD′A′上的正投影是②；在面ABCD及其对面A′B′C′D′上的正投影是③.[答案]①②③9．一个几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，且体积为eq\f(1,2)，则这个几何体的俯视图可能是下列图形中的______．(填入所有可能的图形前的编号)①锐角三角形②直角三角形③四边形④扇形⑤圆[解析]如图1所示，直三棱柱ABE­A1B1E1符合题设要求，此时俯视图△ABE是锐角三角形；如图2所示，直三棱柱ABC­A1B1C1符合题设要求，此时俯视图△ABC是直角三角形；如图3所示，当直四棱柱的八个顶点分别是正方体上、下各边的中点时，所得直四棱柱ABCD­A1B1C1D1符合题设要求，此时俯视图(四边形ABCD)是正方形；若俯视图是扇形或圆，体积中会含有π，故排除[答案]①②③10．如图，在四棱锥P­ABCD中，底面为正方形，PC与底面ABCD垂直，下图为该四棱锥的正视图和侧视图，它们是腰长为6cm(1)根据图所给的正视图、侧视图，画出相应的俯视图，并求出该俯视图的面积；(2)求PA.[解析](1)该四棱锥的俯视图为(内含对角线)，边长为6如图，其面积为36cm2.(2)由侧视图可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2).由正视图可知AD＝6，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(6\r(2)2＋62)＝6eq\r(3)cm.[B能力提升练]1．用若干块相同的小正方体搭成一个几何体，该几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体需要的小正方体的块数是()A．8 B．7C．6 D．5[解析]画出直观图，共六块．[答案]C2．(2018·湖南省东部六校联考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的面积是()A．4eq\r(3) B．8eq\r(3)C．4eq\r(7) D．8[解析]设该三棱锥为P­ABC，其中PA⊥平面ABC，PA＝4，则由三视图可知△ABC是边长为4的等边三角形，故PB＝PC＝4eq\r(2)，所以S△ABC＝eq\f(1,2)×4×2eq\r(3)＝4eq\r(3)，S△PAB＝S△PAC＝eq\f(1,2)×4×4＝8，S△PBC＝eq\f(1,2)×4×eq\r(4\r(2)2－22)＝4eq\r(7)，故四个面中面积最大的为S△PBC＝4eq\r(7)，选C.[答案]C3．(2018·昆明、玉溪统考)如图，三棱锥V­ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其正(主)视图的面积为eq\f(2,3)，则其侧(左)视图的面积为______．[解析]设三棱锥V­ABC的底面边长为a，侧面VAC的边AC上的高为h，则ah＝eq\f(4,3)，其侧(左)视图是由底面三角形ABC边AC上的高与侧面三角形VAC边AC上的高组成的直角三角形，其面积为eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)a×h＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(4,3)＝eq\f(\r(3),3).[答案]eq\f(\r(3),3)4．(2018·皖北协作区联考)空间中任意放置的棱长为2的正四面体ABCD.下列命题正确的是______．(写出所有正确的命题的编号)①正四面体ABCD的主视图面积可能是eq\r(2)；②正四面体ABCD的主视图面积可能是eq\f(2\r(6),3)；③正四面体ABCD的主视图面积可能是eq\r(3)；④正四面体ABCD的主视图面积可能是2；⑤正四面体ABCD的主视图面积可能是4.[解析]对于四面体ABCD，如图1，当光线垂直于底面BCD时，主视图为△BCD，其面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(3)＝eq\r(3)，③正确；当光线平行于底面BCD，沿CO方向时，主视图为以BD为底，正四面体的高AO为高的三角形，则其面积为eq\f(1,2)×2×eq\r(22－2×\f(\r(3),3)2)＝eq\f(2\r(6),3)，②正确；当光线平行于底面BCD,沿CD方向时，主视图为图中△ABE，则其面积为eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)×eq\r(22－2×\f(\r(3),3)2)＝eq\r(2)，①正确；将正四面体放入正方体中，如图2，光线垂直于正方体正对我们的面时，主视图是正方形，其面积为eq\r(2)×eq\r(2)＝2，并且此时主视图面积最大，故④正确，⑤不正确．[答案]①②③④5．某几何体的一条棱长为eq\r(7)，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为eq\r(6)的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．[解]如图，把几何体放到长方体中，使长方体的体对角线刚好为几何体的已知棱，则长方体的体对角线A1C＝eq\r(7)，则它的正视图投影长为A1B＝eq\r(6)，侧视图投影长为A1D＝a，俯视图投影长为A1C1＝b，则a2＋b2＋(eq\r(6))2＝2(eq\r(7))2，即a2＋b2＝8，又eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))，当且仅当“a＝b＝2”时等号成立，所以a＋b≤4，即a＋b的最大值为4.[C