初中数学七年级下册：用二元一次方程组解决实际问题教案 -1

初中数学七年级下册：用二元一次方程组解决实际问题教案

一、课程理念与设计思路

本节课的设计植根于《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养导向，秉承“问题情境—建立模型—求解验证—解释应用”的数学建模基本过程。设计超越单纯技能训练，旨在引导学生经历从现实世界“数学化”的完整过程，发展数学建模能力、抽象能力、应用意识和批判性思维。

本设计以“结构化”为指导思想，将零散的应用题整合于连贯的、贴近学生经验的问题情境脉络之中。通过“一题多变”、“一题多解”、“多题归一”的教学策略，帮助学生构建解决二元一次方程组应用问题的通用思维框架与策略体系，即：审（审题，析数量关系）—设（设未知数）—表（用代数式表示相关量）—列（列出方程组）—解（解方程组）—验（检验解的合理性与正确性）—答（给出实际结论）。此框架不仅是操作步骤，更是内在的数学思维逻辑。

设计强调跨学科视野，选取的问题融合经济学初步（盈亏、成本）、运动科学（赛制积分）、工程学（合作效率）、地理（行程与速度）等元素，展现数学作为基础科学的强大解释力与工具性。教学过程倡导探究式、合作式学习，教师角色从知识的传授者转变为学习的引导者、组织者和促进者，鼓励学生自主探究、合作交流、反思优化，从而实现深度学习。

二、教学背景与学情分析

学科与学段：初中数学，七年级下学期。

教材地位：本节内容位于苏科版七年级数学下册第10章“二元一次方程组”的末端，是方程组知识的综合应用与价值体现。它既是本章知识的巩固与深化，又是连接后续学习函数、不等式等知识的重要桥梁，更是培养学生应用数学知识解决实际问题能力的关键节点。

学生认知基础：

1.知识基础：学生已经掌握了二元一次方程（组）的概念，能熟练运用代入消元法和加减消元法解二元一次方程组，并理解了方程解的意义。

2.能力基础：具备初步的列一元一次方程解决简单实际问题的经验，有基本的文字阅读和信息提取能力。

3.思维与心理特征：七年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期，对探究现实生活中的数学问题有较强兴趣，但面对复杂情境时，往往难以有效识别和梳理数量关系，存在畏难情绪。他们乐于合作，但需要方法指导以进行有效讨论。

预设难点：

1.从复杂现实情境中精准抽象出等量关系，特别是隐含等量关系的发掘。

2.根据问题特点，灵活、恰当地设立未知数（直接设元与间接设元）。

3.对数学解进行双重检验（数学正确性与实际合理性）的意识培养。

4.对同一问题构建不同模型（方程组）的策略比较与优化选择。

三、教学目标

基于核心素养导向，制定以下三维整合的教学目标：

1.知识与技能：

1.能熟练分析实际问题中的数量关系，并利用这些关系列出二元一次方程组。

2.能根据具体问题，合理选择直接设元或间接设元法设未知数。

3.能规范地求解所列方程组，并检验解的合理性，最终写出完整的答案。

2.过程与方法：

1.经历“实际问题→数学问题（建模）→数学解→实际解”的完整数学建模过程，体会模型思想。

2.通过小组合作探究，学习从多角度分析问题，寻找不同等量关系，体验策略的多样性。

3.学会使用列表、画线段图等辅助工具梳理复杂数量关系。

3.情感、态度与价值观：

1.在解决贴近生活的实际问题中，感受数学的应用价值，增强学习数学的兴趣和信心。

2.培养勇于探索、合作交流、严谨求实的科学态度。

3.发展批判性思维，能对不同的解题方案进行评价与优化。

四、教学重点与难点

教学重点：掌握用二元一次方程组解决实际问题的基本步骤（审、设、表、列、解、验、答），重点是寻找并建立等量关系。

教学难点：如何从复杂情境中识别、剥离出有效的等量关系，并据此建立恰当的数学模型（方程组）。

五、教学准备

1.教师准备：多媒体课件（包含问题情境动画、图表、分步解析图）、实物投影仪、学习任务单（探究案）、分层练习卡。

2.学生准备：复习二元一次方程组的解法，准备笔记本、草稿纸、直尺等学习用具。

六、教学过程设计

第一阶段：情境导入，感知模型价值（约8分钟）

活动一：故事情境，引发认知冲突

呈现情境：“小明帮妈妈去超市购物。他记得妈妈说要买苹果和香蕉，苹果单价是香蕉单价的2倍。他买了2斤苹果和3斤香蕉，一共花了56元。结账后，他忘了看单价小票。你能帮他算出苹果和香蕉每斤各多少钱吗？”

学生活动：独立思考，尝试解决。多数学生会下意识用算术方法思考，或尝试列一元一次方程，但会遇到“单价关系”与“总价关系”交织的困难，产生认知冲突。

教师引导：

1.“这个问题中涉及到几个需要求的量？”（两个：苹果单价和香蕉单价）

2.“题目中给出了哪几种关系？”（两种：单价间的倍数关系，总价关系）

3.“当一个问题中涉及两个未知量，并且存在两个不同的等量关系时，我们能否用一个更强大的‘数学工具’来同时处理它们？”

设计意图：从一个看似简单但用一元方程解决稍显迂回的实际问题入手，自然引出学习二元一次方程组的必要性，让学生体会到当问题中存在多个关联未知量时，二元一次方程组模型的简洁性与直接性，激发学习动机。

第二阶段：探究新知，构建解题范式（约25分钟）

活动二：典例探究，归纳一般步骤

探究问题（工程合作问题）：某污水处理厂计划对一段河道进行清淤。若由甲工程队单独施工，恰好能在规定工期完成；若由乙工程队单独施工，则需要超过规定工期5天。现在由两个工程队先合作施工3天，剩下的工程由乙工程队单独做，也刚好在规定工期完成。问规定工期是多少天？甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？

第一步：审题与析关系（师生共析）

教师引导学生采用“列表法”或“语言翻译法”梳理信息：

工程队

工作效率（每天完成工作量）

工作时间（天）

工作总量

甲队

？（设为1/x）

规定工期(t)

1

乙队

？（设为1/y）

t+5

1

甲乙合作

1/x+1/y

3

合作完成量

乙单独（后期）

1/y

t-3

剩余完成量

关键等量关系分析：

1.工作总量通常视为单位“1”。

2.甲队单独做，工作效率×规定工期=1→(1/x)*t=1。

3.乙队单独做，工作效率×(规定工期+5)=1→(1/y)*(t+5)=1。

4.合作情况：合作部分工作量+乙后续单独工作量=1→(1/x+1/y)*3+(1/y)*(t-3)=1。

第二步：设元与列表（学生尝试）

学生发现，本题直接设要求的“规定工期t”和“甲队单独完成天数x”（或乙队y）更直接。但用“工作效率”作为中间未知量更清晰。引导学生比较不同设元策略的优劣。

教师引导设元：设规定工期为t

t

t天，甲工程队单独完成全部工程需x

x

x天，则甲的工作效率为1

x

\frac{1}{x}

x1​；乙工程队单独完成需y

y

y天，则乙的工作效率为1

y

\frac{1}{y}

y1​。

第三步：列方程组（小组合作）

根据分析，列出方程组：

{

1

x

⋅

t

=

1

(1)

1

y

⋅

(

t

+

5

)

=

1

(2)

(

1

x

+

1

y

)

×

3

+

1

y

×

(

t

−

3

)

=

1

(3)

\begin{cases}

\frac{1}{x}\cdott=1\{(1)}\\

\frac{1}{y}\cdot(t+5)=1\{(2)}\\

\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\times3+\frac{1}{y}\times(t-3)=1\{(3)}

\end{cases}

⎩

⎨

⎧​x1​⋅t=1y1​⋅(t+5)=1(x1​+y1​)×3+y1​×(t−3)=1​(1)(2)(3)​第四步：解方程组（学生演算，教师巡视）

引导学生观察，方程（1）可化为t

=

x

t=x

t=x，方程（2）可化为t

+

5

=

y

t+5=y

t+5=y。将x

=

t

x=t

x=t，y

=

t

+

5

y=t+5

y=t+5代入方程（3），得到一个关于t

t

t的一元分式方程，求解得t

=

15

t=15

t=15。进而得x

=

15

x=15

x=15，y

=

20

y=20

y=20。

第五步：检验与作答

检验：将t

=

15

,

x

=

15

,

y

=

20

t=15,x=15,y=20

t=15,x=15,y=20代入原方程（3），左边=(

1

15

+

1

20

)

×

3

+

1

20

×

(

15

−

3

)

=

7

60

×

3

+

1

20

×

12

=

21

60

+

36

60

=

57

60

(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})\times3+\frac{1}{20}\times(15-3)=\frac{7}{60}\times3+\frac{1}{20}\times12=\frac{21}{60}+\frac{36}{60}=\frac{57}{60}

(151​+201​)×3+201​×(15−3)=607​×3+201​×12=6021​+6036​=6057​？计算出现偏差，引导学生立刻反思。检查发现，方程（3）推导有误：合作3天后，乙单独做的时间应是t

−

3

t-3

t−3，当t

=

15

t=15

t=15时，为12天。重新计算左边=(

1

15

+

1

20

)

×

3

+

1

20

×

12

=

(

4

60

+

3

60

)

×

3

+

12

20

=

7

60

×

3

+

0.6

=

0.35

+

0.6

=

0.95

≠

1

(\frac{1}{15}+\frac{1}{20})\times3+\frac{1}{20}\times12=(\frac{4}{60}+\frac{3}{60})\times3+\frac{12}{20}=\frac{7}{60}\times3+0.6=0.35+0.6=0.95\neq1

(151​+201​)×3+201​×12=(604​+603​)×3+2012​=607​×3+0.6=0.35+0.6=0.95=1。结论：解不满足方程（3），模型建立有误！

关键教学时刻：此“错误”是预设的。引导学生回到“等量关系4”的剖析：合作3天的工作量是3

(

1

x

+

1

y

)

3(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})

3(x1​+y1​)，乙后续单独做的时间是(

t

−

3

)

(t-3)

(t−3)天吗？规定工期是t

t

t天，合作已用3天，乙后续做完正好到规定工期，所以乙后续做的时间是(

t

−

3

)

(t-3)

(t−3)天。但“乙单独做完剩下的，也刚好在规定工期完成”意味着乙后续做的时间就是(

t

−

3

)

(t-3)

(t−3)天。那么问题出在哪？重新审视整个工作流程：甲实际工作了3天，乙工作了整个工期t

t

t天。因此，总工作量的等量关系应为：甲3天工作量+乙t天工作量=1。

即：3

x

+

t

y

=

1

\frac{3}{x}+\frac{t}{y}=1

x3​+yt​=1。

修正模型：得到新方程组：

{

t

=

x

t

+

5

=

y

3

x

+

t

y

=

1

\begin{cases}

t=x\\

t+5=y\\

\frac{3}{x}+\frac{t}{y}=1

\end{cases}

⎩

⎨

⎧​t=xt+5=yx3​+yt​=1​代入x

=

t

,

y

=

t

+

5

x=t,y=t+5

x=t,y=t+5到第三式：3

t

+

t

t

+

5

=

1

\frac{3}{t}+\frac{t}{t+5}=1

t3​+t+5t​=1。解得t

=

15

t=15

t=15(舍去负值)。检验满足各方程。答：规定工期15天，甲队单独需15天，乙队单独需20天。

师生共同归纳“七步法”解题范式，并板书强调“检验”环节的双重性（数学解正确性与实际意义合理性）。

设计意图：通过一个具有代表性的工程问题，完整展示数学建模的全过程。特意暴露一个常见的等量关系理解错误，制造思维碰撞，让学生深刻体会到审题析关系的极端重要性，以及“检验”不仅是解完方程后的步骤，更是验证模型合理性的关键。通过纠错、反思、修正，学生对解题步骤的理解将更加深刻。

第三阶段：变式拓展，深化模型理解（约30分钟）

活动三：一题多变，融会贯通

在典例基础上，进行系列变式，培养思维灵活性。

变式1（行程问题）：甲、乙两人从相距36千米的A、B两地相向而行。若甲比乙先出发2小时，则在乙出发后2.5小时相遇；若乙比甲先出发2小时，则在甲出发后3小时相遇。求甲、乙两人的速度。

引导策略：引导学生画线段图辅助分析。设甲速v

1

v_1

v1​km/h，乙速v

2

v_2

v2​km/h。

情形一：甲共走(2+2.5)=4.5小时，乙走2.5小时。路程和=36→4.5

v

1

+

2.5

v

2

=

36

4.5v_1+2.5v_2=36

4.5v1​+2.5v2​=36。

情形二：乙共走(2+3)=5小时，甲走3小时。路程和=36→3

v

1

+

5

v

2

=

36

3v_1+5v_2=36

3v1​+5v2​=36。

列方程组求解。强调线段图对厘清“时间”和“对应路程”的作用。

变式2（商品经济问题）：某书店销售甲、乙两种畅销书。已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元；购买3本甲种书和2本乙种书共需165元。促销期间，两种书都打相同的折扣。小芳用280元打折后恰好可购买甲种书5本和乙种书4本。求打折前甲、乙两种书的单价及折扣率。

引导策略：涉及三个未知量（甲单价、乙单价、折扣率），但等量关系明确。设甲单价a

a

a元，乙单价b

b

b元，折扣率为p

p

p(例如9折则p=0.9)。

根据前两个条件：2

a

+

b

=

100

2a+b=100

2a+b=100，3

a

+

2

b

=

165

3a+2b=165

3a+2b=165。

根据打折后条件：(

5

a

+

4

b

)

×

p

=

280

(5a+4b)\timesp=280

(5a+4b)×p=280。

先解前两个方程求出a

,

b

a,b

a,b，再代入第三个方程求p

p

p。此题为间接设元，方程层次清晰。

变式3（体育积分问题）：某次篮球联赛采用单循环赛制（每两队之间只赛一场），共进行了28场比赛。联赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，没有平局。某支球队最终的积分为40分。问该球队胜、负各多少场？（提示：先利用比赛总场次求出参赛队伍总数）

引导策略：此为两道题的综合。先设共有n

n

n支球队，则总比赛场次为n

(

n

−

1

)

2

=

28

\frac{n(n-1)}{2}=28

2n(n−1)​=28，解得n

=

8

n=8

n=8（舍去负值）。再设该球队胜x

x

x场，负y

y

y场。则：x

+

y

=

7

x+y=7

x+y=7（每队打7场），3

x

+

1

y

=

40

3x+1y=40

3x+1y=40。求解即可。渗透组合数知识和间接设元思想。

活动四：策略对比，优化选择（小组讨论）

呈现一个问题，鼓励用不同方法设元、找等量关系。

问题：一个两位数，十位数字与个位数字之和是9。若将这个两位数加上27，所得的数恰好是原两位数数字位置对调后的数。求原两位数。

方法一（直接设元）：设十位数字为a

a

a，个位数字为b

b

b。则：

{

a

+

b

=

9

(

10

a

+

b

)

+

27

=

10

b

+

a

\begin{cases}

a+b=9\\

(10a+b)+27=10b+a

\end{cases}

{a+b=9(10a+b)+27=10b+a​方法二（间接设元）：设原两位数为x

x

x，对调后的两位数为y

y

y。则：

{

x

10

的十位

+

x

10

的个位？关系复杂

x

+

27

=

y

且

x

,

y

数字互换

\begin{cases}

\frac{x}{10}\{的十位}+\frac{x}{10}\{的个位}？\{关系复杂}\\

x+27=y\\

\{且}x,y\{数字互换}

\end{cases}

⎩

⎨

⎧​10x​的十位+10x​的个位？关系复杂x+27=y且x,y数字互换​显然方法一更直接简便。

设计意图：通过不同类型的变式问题，覆盖行程、经济、体育、数字等常见应用题型，拓宽学生视野，体会数学应用的广泛性。同时，通过“一题多解”的讨论，引导学生比较不同建模策略的优劣，学会根据问题特点选择最简洁、最直接的设元和列方程方法，优化思维品质。

第四阶段：巩固应用，形成迁移能力（约12分钟）

活动五：分层练习，当堂反馈

发放分层练习卡，学生根据自身情况选择完成。

A组（基础巩固）：

1.小明用10元钱恰好买了单价为0.8元和1.2元的两种铅笔共10支。求两种铅笔各买了多少支？

2.甲、乙两仓库共存粮450吨。现从甲库运出存粮的60%，从乙库运出存粮的40%，结果乙库所余粮食比甲库所余粮食多30吨。求甲、乙两仓库原来各存粮多少吨？

B组（能力提升）：

3.一艘轮船在A、B两码头之间航行，顺水航行需要4小时，逆水航行需要5小时。已知水流速度为2千米/时。求A、B两码头之间的距离以及轮船在静水中的速度。

4.某工厂现有甲种原料360kg，乙种原料290kg。计划用这两种原料生产A、B两种产品共50件。已知生产一件A产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg。问有几种符合题意的生产方案？请设计出来。

C组（拓展挑战）：

5.某景点的门票价格规定如下表：

|购票人数|1~50人|51~100人|100人以上|

|:---|:---|:---|:---|

|票价|120元/人|100元/人|80元/人|

某校七、八年级（七年级人数少于八年级）去该景点游览，其中七年级人数不足50人。若两个年级分别购票，则一共应付门票费12100元；若两个年级合在一起作为一个团体购票，则可节省不少钱。已知两个年级合购比分开购票节省了不少于2900元且不超过3100元。问七年级有多少人？八年级有多少人？

教师巡视，对有困难的学生进行个别指导。完成后，利用实物投影展示典型解法，组织学生互评。

第五阶段：课堂小结，反思升华（约5分钟）

活动六：结构化总结与反思

引导学生从知识、方法、思想三个层面进行总结：

1.知识层面：我们复习巩固了二元一次方程组的解法，并学习了用它解决多种类型实际问题。

2.方法层面：我们掌握了解决此类问题的“七步法”一般流程。特别强调了“审题析关系”的核心地位和“双重检验”的必要性。学习了列表、画图等辅助分析工具。

3.思想层面：我们经历了完整的数学建模过程，体会了模型思想、转化思想、方程思想。认识到数学源于生活、用于生活。

提问反思：

1.“在今天的探究中，哪一步你觉得最困难？你后来是如何克服的？”

2.“对于同一个问题，有时可以找到不同的等量关系列出不同的方程组。你认为判断一个模型（方程组）好坏的标准是什么？”（引导向：简洁性、直接性、易于求解）

3.“你能举例说明，今天学习的‘建模思想’还能用在生活中的哪些方面吗？”

七、分层作业设计

必做题（面向全体）：

1.完成课本后相关章节的基础练习题。

2.从生活中自编一道可以用二元一次方程组解决的实际问题，并写出完整的解答过程。

选做题（面向学有余力者）：

3.研究中国古代数学名著《九章算术》中的“方程”章，找出一道涉及二元关系的问题（如“盈不足”问题），尝试用今天的方程组方法求解，并与古法比较。

4.探究：在解决“鸡兔同笼”问题时，除了算术方法、一元一次方程方法，如何使用二元一次方程组求解？比较这几种方法的异同和优劣。

八、板书设计

（左侧主板书区）

课题：用二元一次方程组解决实际问题

一、解题基本步骤（“七步法”）

1.审：审清题意，找出已知、未知。

2.设：设未知数（直接设、间