河工大材料力学教案第13章 能量方法

第十三章能量方法§13.1概述能量原理：固体力学中，把与功和能有关的一些定理统称为能量原理。功能原理：若外力从零开始缓慢增加到最终值，固体在变形中的每一瞬间都处于平衡，动能和其它能量皆可不计，则固体的变形能Vε在数值上等于外力所作的功，此称为功能原理。即Vε=W§13.2杆件应变能的计算1．轴的拉伸或压缩线弹性范围内：当轴力FN为变量FN（x）时，则应变能密度2．纯剪切线弹性范围内，应变能密度3．扭转线弹性范围内当扭矩T沿轴线变化为T（x）时4．弯曲（1）纯弯曲（2）横力弯曲细长梁的情况下，剪切应变能与弯曲应变能相比很小，可以不计，仅计算弯曲应变能。取微段，然后积分。5．小曲率曲杆6．杆件基本变形应变能的统一表达式（1）F——为广义力 δ——为广义位移（2）线弹性范围内F与δ成线性关系F=Cδ，C为刚度系数§13.3应变能的普遍表达式1．弹性体变形的一般情况（1）设物体受一定约束，只产生变形位移，不引起刚性位移。（2）设弹性体上外力，按相同比例，从零开始逐渐增加到最终值，相应的位移也按相同比例达到最终值。外力与位移之间成线性关系。物体的应变能为。此式为克拉贝依隆原理（Clapeyron）①F、δ为广义力和广义位移。②应变能为外力的二次齐次函数（亦为位移的二次齐次函数）。2．杆件组合变形的应变能（1）微段dx内的应变能（2）整个杆件的应变能对非圆截面杆，以It代替Ip§13.4互等定理对线弹性结构，利用应变能概念导出功的互等定理和位移互等定理。1．在线弹性结构上，先加F1，F2（同时按比例达到最终值），则沿力作用点作用线方向的位移δ1、δ2达到终值。然后加F3、F4，则位移δ3、δ4、、，则应变能为2．在线弹性结构上先加F3、F4，然后再加F1，F23．由于应变能只决定力和位移的最终值，与加力的次序无关，故第一组力在第二组力引起的位移上所作之功等于第二组力在第一组力引起的位移上所之功，这就是功的互等定理。4．若第一组力只有F1，第二组力只有F3则若 F1=F3 则F1作用点沿F1方向由F3引起的位移等于F3作用点沿F3方向由F1引起的位移，这就是位移互等定理。5．注意（1）结构只发生变形位移，不发生刚性位移。（2）力和位移都是广义的。§13.5卡氏定理（SecondCastigliano’sTheorem）Example求图示悬臂梁B点的竖直位移GivenEI=constSolution：查表① ② 即：结论：（1）杆件应变能对力F求导数，就求得力F作用点沿其作用方向的位移，此为一个普遍的规律，称为卡氏定理。（2）力和位移都是广义的。1．卡氏定理证明（1）设①线弹性结构在支座约束下，无任何刚性位移。②F1，F2……Fn为作用于弹性结构上外力的最终值，而δ1、δ2……δn为相应的位称最终值，则Vε=f（F1，F2……Fi）（2）第一种加载方式：先加F1，F2……Fi，然后给Fi一个增量dFi，则（3）第二种加载方式：先加dFi，然后再加F1，F2……Fi…则（4）材料服从胡克定律，小变形线弹性应变能与加载次序无关，则略去二阶微量得上式为卡氏定理：弹性结构的应变能，对某一外力的偏导数，即等于该外力作用点沿其作用方向的位移。note：Fi为广义力。δi为广义位移2．卡氏定理应用于几种常见情况（1）横力弯曲上式中积分、微分变量不同。先对x积分再对Fi求导。改变为先对函数对Fi求导，然后再对x积分，于是（2）小曲率平面曲杆（只考虑弯矩）（3）刚架（4）桁架（5）组合变形杆件Example1EI=constFind：θBSolution①求反力②列弯矩方程，并求导数③求θnote：正号说明θ转向与Me方向一致。附加力法Example2EI=constFind：δcy、δcx、θcSolution（1）求δcy加附加力Fa（BC）（BA）令-Fa=0则 正号说明δcy与Fa方向一致（2）求δcx（BC）（BA）令Fa=0负号说明δcx方向与Fa方向相反（3）求θc（BC）（BA）令Ma=0正号说明θc方向与Ma方向一致。§13.6虚功原理1．虚位移①实线表示外力处于平衡状态下杆的真实（轴线）变形。②虚线表示虚位移，虚位移是由另外力或温度变化等其他原因引起，是在平衡位置上再增加的位移。它必须满足边界条件，连续条件，符合小变形要求，保证原外力和内力保持不变。虚线是杆件实际可能发生的位移。2．外力总虚功：杆件上的外力由于虚位移而完成的功称为虚功。3.内力总虚功：①取微段分析，作用于微段上的力系（包括外力和内力）是一个平衡力系，对微段而言，微段以外其余部分的变形会使微段得到钢性虚位移，同时在虚位移中还发生虚变形。②根据质点系的虚位移原理，微弯上的平衡力系在钢性位移上作功的总和等于零，因而只剩下在虚变形中所作的功。（b）③内力总虚功（杆件的虚应变能）(c)4.虚功原理按照两种方式求及得总虚功的表达式（a）(c)应该相等。此式表明，在虚位移中外力所作虚功等于内力在相应虚变形上所作虚功，这就是虚功原理。上式右边可以看作是相应于虚位移的应变能。这样虚位原理可表明在虚位移中，外力虚功等于杆件的虚应变能。5.若杆件上还有扭转力偶矩,MM…..与相应的虚位移为ψψ则微端截面上的内力有扭矩T，则6.讨论在导出虚功原理时，未使用应力——应变关系，故虚功原理与材料的性质无关，它可用于线性弹性材料，也可用于非线弹性材料。虚功原理量不要求力和位移的关系一定是线性的。故可用于利于位移成非线性关系的结构。§13.7单位载荷法，莫尔积分利用虚功原理可导出计算结构一点位移的单位载荷法。1.单位载荷法①加单位力，相应的内力为②钢架在原外力作用下的位移作为虚位移。③虚功原理式（13.18）化为1.左端为单位力的虚功。右端中d()d,是原有外力引起的变形。现作为虚变形。2.几种常用情况①以弯曲为主的杆件（梁，钢架，小曲率曲杆）忽略轴力和剪力影响。②拉伸压缩③桁架④扭转ψ3.说明为正说明与单位力方向相同，虚功原理适用于线弹性和非线弹性结构。4.若材料是线弹性的，则标件的弯曲，拉伸不要扭转变形。或dψ上式称为莫尔定理，式中积分称为莫尔积分。它们只适用于线弹性结构。非圆截面杆以5.相对位移。求相对位移，可加一对单位力。6.单位力为广义力，位移为广义位移。7.以梁为例推导莫尔积分公式推广应用：Example1.Givenq.EIFindSolution求正号说明饶度与所加单位力的方向一致。②求。负号说明A截面转角与单位力偶的方向相反。Example2.GivenEI=constFindSolutionExample3.Givenq.EIFindSolution①求及力②加单位力，求反力③列弯矩方程（AC）（BC）④加单位力偶（AC），（BC）M（x）=，x=Example.4.图示钢架GivenF.EI=constFind相对位移Solution忽略轴力剪力影响①M(x)=F°.x°.x（Fcos45°.x）(1.cos45°.x)dx=②求.M（x）=Fcos45°.x§13.8计算莫尔积分的图乘法1.莫尔积分若EI=const则2.Example.试用莫尔积分法求w的思路导出计算莫尔积分的图乘法procedure①作载荷弯矩M（x）图②作单位载荷弯矩M（X）图③结论M（x）图必须为斜直线或折线3.抽象及推理假设ab一段，M（x）为斜直线或曲线，而M(x)图必r然为斜直线。现延长斜直线与X轴线交点为O点，则选取坐标系如图。于是在等直梁的情况下，莫尔积分改写成w——载荷弯矩M(x)图的面积_图中与载荷弯矩图形心C对应的坐标。讨论：①上式可推广应用于钢架，小曲率曲杆，桁架，组合变形杆。②图为折线时，应分段图乘，然后求总和。③注意和图的正负号。Example1.图乘法GivenF.EI=constFind.WSolution①作M（x）图，图②分段图乘正号说明位移方向与单位力方向一致。③求。负号说明方向与单位力方向相反。Example2.图乘法GicenEI=constFindSolution多载荷作用下载荷弯矩图比较复杂。①按弯矩可以叠加的原理作弯矩图②作图：Examole3.图乘法GivenEI=constFind.S