湖南大材料力学课件第5章 弯曲应力

材料力学弯曲应力第五章一、引言NcNlMM思路：先研究只有M，没有Q的情况下，正应力分布规律：M-

关系。然后分析Q的存在对

分布规律的影响。从而得到既有M又有Q时的正应力分布规律。梁段横截面上只有M，没有Q时，称为纯弯曲。梁段横截面上同时有M、Q时，称为横力弯曲。QMPaPaPABDCPPaLa

++PAC、DB两段为横力弯曲。CD段发生纯弯曲由知，弯矩将为一常数。当梁段中剪力Q=0时，1.几何关系观察矩形截面梁纯弯变形现象二、纯弯时梁横截面上的正应力MM变形现象：①

所有纵向线变成曲线，靠近上部的缩短，下部伸长。②

所有横向线仍保持为直线，只是互相倾斜了一个角度，且仍垂直于变形后的纵向线。③

原矩形横截面，上部变宽了，下部变窄了。推断与假设由②

假设1，变形前为平面的梁横截面，变形后仍为平面，只是绕某轴转动了一个角度，且仍垂直于变形后的梁轴线。由①

③

假设2，纵向纤维间无挤压。基于上面假设所得到的理论称为梁的简单理论。由梁的简单理论导出的应力和变形为长期的工程实践所证实是符合实际情况的。对于纯弯曲问题与弹性理论的结果一致。几何关系的推导：设想梁是由无数根纵向纤维组成的，梁在正弯矩作用下，靠近顶面纤维缩短，靠近底面的纤维伸长，由于连续性假设知，从顶部到底部的纵向纤维，由缩短到伸长是连续变化的。所以，其间必有一层纤维既不伸长，也不缩短。称为中性层。中性层与横截面的交线称为中性轴。建立坐标系o

xy荷载作用面（纵截面）o

xz中性层z轴为中性轴xy中性层中性轴z取长度为dx的梁段如图所示：为中性层，为距中性层为y的纵向纤维。设：变形后中性层的曲率半径为

，相距为dx的两横截面夹角为d1212oobbdxyd

o

b

b

o

y

1221变形前变形后纤维的线应变为：（d

o

b

b

o

y

对给定截面，

为常数，

反映弯曲的程度，上式表明，横截面上某点的纵向应变与该点到中性轴的距离成正比。2.物理关系由于纵向纤维间无挤压，每一纵向纤维都只在纵向受拉伸或压缩。所以，其应力-应变关系为胡克定律。待解决的问题：①

=？②

中性层(轴)的位置3.静力关系横截面上的微力，dA组成平行于x轴的空间平行力系，这个力系只可能简化为：zydA横截面上的正应力应满足的三个静力关系为：Z轴必过横截面的形心。N=0，My=0，Mz=M，得出：(5-1)(5-2)讨论：①

符号在我们的坐标系中，M用材力规定符号，y用坐标，则得到的

的符号即为材力的规定符号，即正号为拉应力，负号为压应力。②

正应力公式与截面形状无关，只要求满足平面弯曲的条件。yMz③

中性轴上=0，中性轴又称为零应力线。最大正应力发生在距离中性轴最远处(最大正应力通常指绝对值)

抗弯截面模量矩形截面圆形截面中性轴My2y1M中性层z轴为横截面的对称轴时(如矩形、工字形等)z轴不是对称轴时(如T字形、梯形等)对应y1、y2可以求出该截面上的最大拉、压应力。④

沿横截面宽度方向均匀分布。三、纯弯曲理论在横力弯曲中的推广，梁的正应力强度条件。1.纯弯曲理论推广纯弯曲正应力公式成立的前提：平面假设，纵向纤维间无挤压。横力弯曲梁横截面上有剪力，因而横截面上将还有剪应力存在。例如矩形截面梁QAA矩形截面从上到下各点不均匀的剪应力将引起不均匀的错动，因此，横截面不可能再保持为平面。而且由于横向力的存在，将引起梁纵向纤维间的相互挤压，因此，对于横力弯曲，纯弯曲时关于变形的两个假设，均不成立。即剪应力的存在对正应力的分布规律肯定有影响。弹性理论的精确分析告诉我们，这种影响与梁的跨高比l/h有关，跨高比l/h越大，影响越小。即梁越是细长，影响越小。当l/h>5时，横力弯曲可近似地用纯弯曲的公式计算弯曲正应力:例51悬臂梁荷载及几何尺寸如图所示，试求：(1)1-1截面上A、B、C、D四点的正应力。(2)求梁上最大正应力。4m3m15kN20kN

mACBD1m1150ABDyxC309015015090解：(1)画出梁的弯矩图4m3m15kN20kN

mACBD1m

M2520(kN

m)+1150ABDyxC309015015090(2)计算A、B、C、D四点的正应力。（在中性轴上）50ABDyxC309015015090(3)求最大正应力对任一截面而言，最大正应力发生在最上缘或最下缘，对全梁而言，最大正应力发生在最大弯曲所在面的最上或最下缘。这个面通常称为“危险截面”。最大拉应力在最上缘，最大压应力在最下缘。

M2520(kN

m)+例52求图示梁的最大拉应力和最大压应力。q=10kN/mP=20kNABCD2m3m1m20017085853030解：(1)确定截面中性轴的位置，以及Iz值。20017085853030zyy1q=10kN/mP=20kNABCD2m3m1m20kNm10kNm

+(2)画弯矩图20kNm10kNm

+–++–(3)求最大拉应力与最大压应力分析B、C两截面B截面C截面BC显然（最大正负弯矩所在面）比较最大拉应力与最大压应力有可能不在同一截面上。中性轴为对称轴时，

Lmax与

Cmax在同一截面上，即在|M|max所在的面上。中性轴为非对称轴时，

Lmax与

Cmax可能不在同一截面上，但只能在M+max或M-max所在的面上。2.梁的正应力强度条件梁的最大正应力总是在某个截面最上缘或最下缘，而这些点剪应力一定为零，再略去不重要的纵向纤维间的挤压，于是梁上这些点的受力情况与轴向拉压问题是一样的。因此，强度条件可写成：或写成(5-6)三类强度计算：①校核强度②设计截面③

计算最大荷载对塑性材料

强度条件理解为，绝对值最大的工作应力不大于许用应力。对铸铁等脆性材料

强度条件理解为均为绝对值。、危险截面危险点①

对抗拉抗压允许值相等的材料，有：

强度条件(5-6)理解为：最大工作应力的绝对值不大于许用应力。绝对值最大的工作应力发生在弯矩绝对值最大的面上，距离中性轴最远处，对这种情况：危险截面弯矩绝对值最大的面危险点危险面上距中性轴最远点②

对抗拉抗压允许值不相同的材料，有：强度条件(5-6)理解为：均为绝对值。与a)

当截面的中性轴为对称轴时(矩形、圆形、工字形等)，

Lmax与cmax发生在同一截面上，即弯矩绝对值最大的面上。一个在最上缘，一个在最下缘，且Lmax与cmax数值上相等。此时：危险截面弯矩绝对值最大的截面危险点危险截面的最上缘和最下缘b)

当截面的中性轴不是对称轴时(T字形截面、梯形截面等)Lmax与cmax可能不在同一截面上，但只可能在最大正弯矩或最大负弯矩所在的面上，此时：可能危险截面最大正弯矩、最大负弯矩面危险点危险截面的最上缘或最下缘

因此，强度条件(5-6)式中Mmax理解为危险截面的弯矩值，而危险截面在一般情况下，就是绝对值最大的弯矩所在面，只有一种情况例外，即：材料抗拉、抗压许用值不相等，且中性轴非对称轴的情况，这种情况的可能危险面有两个：最大正弯矩和最大负弯矩所在面。例53

图示简支梁，为矩形截面木梁，承受均布荷载q=3.6kN/m，其截面尺寸为b=120mm,h=180mm。梁的计算跨度L=5m。所用木材的许用应力[

]=10MPa，求：qL120180(1)校核梁的强度；(2)确定许用荷载；(3)若强度不够，则试按b/h=2/3重新设计梁的截面尺寸。解：(1)校核梁的强度梁的抗弯截面模量为：qL12018011.5kNm+M梁的最大正应力为：此梁强度不够。(2)确定许用荷载根据强度条件(5-6)式改写得下式：(3)因强度不够，重新设计截面将(5-6)式改写为：例5

4外伸梁荷载与几何尺寸如图所示，已试校核强度。知材料2001703030yzy1=61y2=139q=15kN/mP=10kN4m1m解：①

画弯矩图以确定危险截面q=15kN/mP=10kN4m1m25kNm10kNm+M

2112②

强度校核且z轴为非对称轴故可能危险截面为1截面和2截面“1”2001703030yzy1=61y2=13925kNm10kNm+M

21–++–“2”强度不够2001703030yzy1=61y2=13925kNm10kNm+M

21–++–将截面倒置，结论如何？–++–四、梁的合理设计所谓梁的合理设计，指的是在满足梁强度要求的前提下，尽量少用材料，对于梁来说，弯矩处于主导地位、剪力是次要因素，因此，梁的设计，主要是依据弯曲正应力的强度条件进行设计的，我们也仅从弯曲正应力强度条件出发讨论梁的合理截面。弯曲正应力强度条件提高弯曲强度的方法可从两个方面考虑：1

外荷载总值不变的情况下，使Mmax尽量小一些。2

截面积不变的情况下，使Wz尽量大一些。提高弯曲强度的常用措施1.合理配置荷载和支座a)合理配置荷载p++LMM尽量将集中力分散为几个较小的集中力或均布力。qL0.2L0.2LMMLb)合理配置支座q2.选择合理的截面形状PbhPbh(1)