华北电力大材料力学课件06弯曲应力

第六章弯曲应力

梁的纯弯曲

梁的纯弯曲ABPPxQxMPaPa纯弯曲DaxCaPP横力弯曲CDm=Pam纯弯曲：横截面上只有弯矩并无剪力的情况。

弯曲正应力σdAm

dA

纯弯曲时的正应力Q：与横截面相切的分布内力系的合力M：与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩QM

dA

dA纯弯曲梁横截面上只有正应力

变形特征与平面假设

纯弯曲时的正应力现象：mmnnaabb变形后mm变形前1、横向线m-m、n-n变形后仍是直线，只是各横向线发生了倾斜，但仍然和纵向线相垂直；2、纵向线a-a、b-b变成了曲线，且靠近杆顶部凹面的纵向线缩短了，靠近杆底部凸面的纵向线伸长了；ABPPDaxCammnnaabb

变形特征与平面假设梁弯曲时，梁中有一层纤维既不伸长，也不缩短，称为中性层。中性层纵向对称面中性轴横截面平面假设：变形前梁的横截面变形后仍保持为平面，且仍垂直于变形后的梁轴线。结论：梁横截面上的正应力就是纤维所受的拉应力或压应力，纯弯曲时横截面上没有剪应力。

纯弯曲时的正应力mmnnaabbmm

纯弯曲时的正应力bbdxOOmmO´O´ρydθyxb´b´

变形几何关系mbbdxOOyxy

纯弯曲时的正应力

物理关系

纯弯曲时的正应力中性轴Z轴通过截面形心

静力关系mxyzzσdAy

纯弯曲时的正应力

静力关系mxyzzσdAy

纯弯曲时的正应力EIz：抗弯刚度截面对中性轴（Z）的惯性矩

静力关系mxyzzσdAy

纯弯曲时的正应力xmyzzσdAy此公式适用于对称弯曲的所有情况。注意：公式中的正负号与轴的取向有关；公式的适用范围是材料的比例极限之内；梁在横力弯曲时，对于梁的跨度与横截面的高度之比大于5的梁，剪力的存在对此公式的影响很小，可以近似地使用此公式；抗弯截面系数

纯弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力矩形截面：宽为b，高为hyzhb圆形截面：直径为D圆环形截面：内径为d，外径为D

弯曲强度计算

正应力强度条件

弯曲强度计算绘制内力图（弯矩图）;确定可能的危险截面；确定可能的危险点；应用强度条件求解。解题步骤

弯曲强度计算例题1400AB12.5×103kN/m400830830已知轧辊直径d=760mm,[σ]=80MPa，校核轧辊的强度。31505000kN5000kN解：1.作弯矩图例题12.危险截面为跨中截面Mmax=3150kN·m轧辊满足强度要求(σc)max(σt)maxP2100010001000P12.5MkN/m4＋－11221-12-2例2:已知P1=4kN，P2=9kN，材料的抗拉强度极限(σ

b)t=320MPa，抗压强度极限(σ

b)c=750MPa，取安全系数n=3.5，试校核梁的强度(C为截面形心，Iz＝136cm4）y60206030Cz202.5MkN/m4＋－1.校核最大压应力

(σc)max=M2y/Iz=4×103×0.05/(136×10-8)=147×106Pa=147MPa=750/3.5=214MPa[σc]=

(σb)c

/n(σc)max<[σc]

例题2y60206030Cz20解：由弯矩图和截面形状可知，最大压应力发生在2-2截面下边缘，最大拉应力可能发生在2-2截面上边缘或1-1截面的下边缘。M1=2.5KN·mM2=4KN·mP2100010001000P11122(σt)2=M2y/Iz=4×103×0.03/(136×10-8)=88.24MPa=320/3.5=91.4MPa[σt]=

(σb)t

/n(σt)max≤[σt]

(1)2－2截面上边缘

(2)1－1截面下边缘

(σt)1=M1y/Iz=2.5×103×0.05/(136×10-8)=91.9MPa满足强度要求例题22.校核最大拉应力y60206030Cz20P2100010001000P11122qyzzcyc例题3已知：[σt]=[σc]=140MPa，试求最大许可分布载荷集度q值。0.98q0.32qACBM图解：1.作弯矩图Mmax=0.98q2.确定对中性轴的惯性矩例题3yzyczc中性轴的位置对zc轴的惯性矩2.确定对中性轴的惯性矩例题3yzyczc上表面纤维较下表面纤维更远离中性轴3.强度条件q=5.81kN/m

弯曲切应力

在有剪力存在的情形下，弯曲正应力公式依然存在

沿截面宽度方向切应力均匀分布

弯曲切应力前提分析方法弯矩平衡如何实现？bzzz

弯曲切应力截面上距中性轴为y的横线以外部分截面面积对中性轴的静矩：任意点的切应力公式：实心截面梁的弯曲切应力矩形截面bzyh/2h/2yy1dy1实心截面梁的弯曲切应力矩形截面Qy实心截面梁的弯曲切应力工字形截面zbbhHyB实心截面梁的弯曲切应力工字形截面τmaxτminzbbhHyB圆截面实心截面梁的弯曲切应力RFQ

弯曲切应力强度条件弯矩较小而剪力Q较大的梁，薄壁截面梁梁由几部分经焊接、铆接或胶合而成，对焊缝、铆接或胶合面等进行剪切计算。例题6一起重量为50KN的单梁吊车（图a），跨度l=10.5m，由45a工字钢制成，［σ］=140MPa，［τ］=75MPa。为发挥其潜力，试计算能否起重P=70KN。若不能则在上、下翼缘各加焊一块100×10mm的钢板（图b），试校核其强度，并决定钢板的最小长度，已知电葫芦重F=15KN（梁的自重暂不考虑）。

图al图byz图al例题6解：1.计算梁的最大起重量

由于l/h=23.3，属细长等截面梁，所以按弯曲正应力校核，小车在任意位置时，弯矩图如图：弯曲正应力强度条件∴P=61.2KN<70KN所以不能直接起重70KN，需要加固。

P+FxM图Mmax=

Wy［σ］=2×105N•m=(P＋F)l/4小车走到梁的中点时，弯矩最大，为从型钢表查得No.45a工字钢Wy=1430×10-6m3，例题62.加焊钢板后再进行校核Iy=32200＋2(10×13/12＋232×10×1)=4.282×104cm4

σmax=Mmax/Wy=122.4MPa<［σ］所以梁是安全的。P+F(1)校核弯曲正应力

图byz查表得No.45a工字钢Iy=32200cm4zmax=22.5＋1=23.5cmWy=

Jy/

zmax=1.822×103cm3

P+F例题62.加焊钢板后再进行校核τmax=Q/(bIy/Sy*)=19.15MPa<［τ］可见弯曲剪应力影响不大。(2)校核弯曲切应力

图byzQmax=70＋15=85KNIy：Sy*=38.6cm，b=1.15cm

例题63.决定钢板最小长度x2－10.5x＋24.7=045a工字钢能承受弯矩M=200KN•mP+Fxx≤3.56m钢板最小长度为：l=2×(5.25－3.56)=3.38m≈3.4mM图

提高弯曲强度的措施

合理安排梁的受力，降低Mmax；

采用合理的截面形状，提高W。

提高弯曲强度的措施

合理安排梁的受力，降低Mmax合理布置梁的支座