华北电力大材料力学课件07弯曲变形

第七章

弯曲变形挠度和转角

工程背景弯曲位移不能超过一定数值希望产生足够量的弯曲位移梁的轴线变成光滑连续曲线

整体变形xyP

挠度和转角xv挠曲线v=f(x)θθ挠度(v)：横截面形心在y与轴方向上的位移。挠曲线方程转角(θ)：横截面相对于变形前的初始位置所转过的角度。

挠度和转角xyPxv挠曲线θθ符号规定挠度(v)：沿y轴向上为正；转角(θ)：由初始位置反时针转到当前位置为正。挠曲线的近似微分方程力学公式数学公式

挠曲线近似微分方程＝1

(x)d2vdx2[1+(dvdx)2]3/2±（x)（x)＝M(x)EId2vdx2[1+(dvdx)2]3/2±挠曲线微分方程M(x)EI＝±d2vdx2小挠度情形下(dvdx)2<<1此即弹性曲线的小挠度微分方程

挠曲线近似微分方程＝M(x)EId2vdx2[1+(dvdx)2]3/2±MEI＝d2vdx2＝d2vdx2MEI

挠曲线近似微分方程vv2>d2vdx202<d2vdx20积分法求弯曲变形

积分法求梁的变形C、D：积分常数。由边界条件（支承条件、连续条件）来确定。

支承条件xvOABxvl例题1解：1.求支座反力，列弯矩方程RARBxv2.确定积分常数边界条件：3.确定转角和挠度方程4.ymax,θmaxθAθBf例题2RARB解：1.求支座反力，列弯矩方程xlABvaPbCx1x2AC段：CB段：例题22.分段积分CB段：AC段：例题23.确定积分常数

支承条件连续条件ABvaPbC例题2CB段：AC段：3.确定积分常数连续条件例题23.确定积分常数

支承条件CB段：AC段：例题24.确定转角和挠度方程CB段：AC段：例题25.ymax,θmaxAByaPbCAC段：CB段：θAθB例题25.ymax,θmaxAC段：CB段：a>b=0连续条件连续光滑曲线ABxylPa

积分法求梁的变形

弯矩方程分段与积分常数

梁上无载荷突变：M(x)为一个函数积分常数由支承条件确定。

梁上有载荷突变：M(x)为多个函数，分段积分积分常数由支承条件、连续条件确定。确定支座反力根据梁上荷载状况，分段列出弯矩方程分段积分确定积分常数确定转角和挠度方程确定转角和挠度的最大值

积分法求梁的变形的解题步骤叠加法求弯曲变形

叠加法求梁的变形载荷共同作用下的变形

各个载荷单独作用时引起的变形的叠加已知：q、lEI求：vC

,

B

叠加法的应用

叠加法的应用已知：q、l、EI求：vC

,

C

叠加法的应用

叠加法的应用

叠加法的应用vC2=vB2＋θB2·(l/2)vC=

vC1＋vC2θ

C=

θC1＋θC2vC=

vC1＋vB2＋θB2·(l/2)θ

C=

θC1＋θB2θ

C2=θB2ACBDP1P2aABDP2CBP1QMQ=P1M=P1a例：已知：P1、P2

、l、a、EI，求：

B,

vC。简单静不定梁ABkABPVAMBHBVBPMBHBVBVA

静不定梁类型ABqABqVBVAHAMAABq多余未知力静定基

简单静不定梁VAHAMAABqMAVB变形协调条件

fB=0

简单静不定梁ABqVBfB(VB)ABqfB(q)

简单静不定梁

fB=0ABqVBABVB

fB(q)＋fB(VB)=0求解支座反力lEI为常数ABq0=

简单静不定梁VAHAMAABqMAVAHAMAABq变形协调条件

A

=0

A(q)＋

A(MA)=0qABQMqlql²qABxQqlxM=0llQMqlql²梁的刚度条件提高弯曲刚度的措施

刚度条件qql/2l/2CAB解：目的求f，可用积分法，但可采用简单的方法；MBvB=0，AB段与BC段最大挠度绝对值相同；从B点截开：BC段相当于一个简支梁刚度足够2、减少梁的跨度或增加支承约束提高弯曲刚度的措施1、提高