数学甘肃酒泉市2026年4月高三年级调研考试（酒泉三诊）(4.16-4.17)

2026年4月酒泉市高三年级调研考试数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.考试时间为120分钟，满分150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某校园文创店统计了开学第一周（7天）的动漫周边产品销量（单位：件），数据如下：42,33,21,35,24,30,38，则该组数据的第40百分位数为()A.27B.28.5C.30D.33【答案】C【解析】【分析】根据百分位数的定义计算由于7x().4=2.8，所以该组数据的第40百分位数是第3个数据，即302.已知复数满足(1+i)z=2，其中三是z的共轭复数，则()【答案】A【解析】【分析】由复数模的性质及共轭复数的性质可得.【详解】根据复数模的性质，所以，又由共轭复数的性质得.A.(-o0,-2)w(3,+oc)B.C.D.【答案】B【解析】【详解】解不等式得-2三x≤5，即，所以.4.已知，且满足3x+y=8，则的最小值为()【答案】B【解析】【分析】直接由条件和基本不等式可得最小值.【详解】因为3x+y=8，所以，且，所以所以当且仅当且-y代入3x+y=8，解得x=y=2，所以当时，的最小值为2.【答案】C【解析】【详解】在ABC中，由正弦定理可得asinB=bsinA.已知2sinA=3sinB，变形得，且h=2，将其代入正弦定理公式得：..因为边长c>0，所以.6.已知等差数列的公差dzo，前"项和为s,.若s,=sy，且，则()A.45B.C.-45D.90【答案】A【解析】【详解】由可知，即.根据等差数列性质：若，则an+a,=2a,，可得代入得sag=0，即a=I.同理，ag+ao=2a,，代入得，即i,=5.由等差数列前项和公式，结合性质，得：.7.已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点F在X轴的正半轴上，点P(4,m)在抛物线C上，且.过焦点F作倾斜角为45'的直线，交抛物线C于A,B两点，则()【答案】C【解析】【分析】根据题意得出抛物线方程和直线方程，联立这两个方程，然后利用韦达定理以及抛物线的定义即可求解.【详解【详解如图所示，设抛物线方程为，焦点为，由于点P(4,m)在抛物线C上，且，则有，代入"'=8p得，故抛物线方程为，焦点为F(2,0)，设A(X,)，B(X3,2)，由于直线经过焦点F且倾斜角为450，因此直线方程为Y=X-2，与抛物线联立得y'=8y+2)=y-8y-16=0，根据抛物线的定义，有8.已知函数，将f(x)的图象向左平移个单位长度得到函数g(x)的图象.g(x)的图象关于直线对称，且g(x)在区间上单调递减.若,则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式及二倍角公式化简函数f(x)，进而求出g(x)，再利用正弦函数性质求出，结合同角公式、二倍角公式及和角的正弦公式求出函数值.=sin2xcvsptcos2xsinq=sin(2xty)，则由函数g(x)的图象关于直线对称，得，，，因此函数g(x)在区间上单调递减，即符合题意，，,所以.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.A.的可能取值有3个B.若g<l，则数列Il,I是递增数列C.若，则S=2ls:D.若q<l，则s,=34la【答案】AC【解析】【分析】根据给定条件，求出的所有可能值，再逐项判断即可.【详解】在等比数列中，由S,=5S:，得，则，即q'(a+a)=4(a,+a,)，当时，a,(Itq)-I，解得g=-1，当时，q'=4，解得q=-2或y=2，对于A，q的可能取值为-2,-l,2，有3个，A正确；对于B，当g<l时，q=-1或q=-2，而当q=-1时，对于D，当q<l时，q=-l或q=-2，而当q=-l时，S,=0，D错误.10.已知函数flx)=cosxt+ax2+b,a,beR，下列说法正确的有()A.对任意a,beR，函数fl.x)都是偶函数B.若，则函数flx)在R上存在唯一极小值点C.若，则函数fl.x)在(ual上存在极值点D.若，且方程/tsl-o有且仅有一个实数解，则b=-1【答案】ABD【解析】【详解】A选项：函数f(x)=cosx+ax2+b的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=cos(-x)+a(-x)'+b=cosx+ax2+b=f(x)，故对任意a,beR，f(x)为偶函数，A正确.B选项：当时，，求导得，令g(x)=j'(x)则，故f'(x)在R上单调递增，又f'10)-0，所以当x<0时f"(x)<0，x>0时f"(x)>0，因此r=0是f(x)在R上唯一的极小值点，B正确.C选项：当时，，f'(x)=-sinx-x，当XE(I,x)时，-sinx<0，-x<(，故f'(x)<0，f(x)在(0,x)上单调递减，无极值点，C错误.D选项：当时，结合B选项可知，f(x)在处取得最小值，方程(x)=0有且仅有一个解，则最小值为，即l+b=0，解得b=-l，D正确.11.已知。为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为F-c,0)，F(c,0)，过点作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PE交双曲线C于点Q，则下列说法正确的有 A.B.若，则双曲线的离心率为C.若双曲线的离心率为，则D.若Q为线段的中点，则双曲线C的离心率为【答案】ACD【解析】【分析】A易得双曲线C的一条渐近线方程为，利用点到直线的距离公式求得[PF=b，再结合勾股定理求解即可判断；B设在渐近线上，先求出，再结合可得,再代入双曲线方程即可得到，进而求解判断即可；C由双曲线的离心率为,结合B可得进而根据平面向量的夹角的余弦公式求解判断即可；D结合B可得，进而得到，再代入双曲线方程即可得到，进而求解判断即可.【详解】A，双曲线c的一条渐近线方程为，即bx-ay=I，不妨设在渐近线上，则，而OF=C，则，故A正确；B，不妨设在渐近线上，将代入双曲线方程，得，整理得，则，所以双曲线C的离心率为，故B错误；C，由双曲线C的离心率为J5，则，即，则，即a=b，由B知，，即，将代入双曲线方程，得，整理得，则，所以双曲线C的离心率为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知0为坐标原点，平面向量⃞=(3,-1),T=(1,2).若点M满足，且,则实数m=.__________【答案】【解析】【详解】已知则13.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x20时，flx)=e"+x'-l，则曲线y=f(x)在点(-l,fl-1)处的切线方程为.【答案】y=(e+2)x+2【解析】【详解】若x<0，则-x>0，则fl-x)=e"+x'-1，因为flx)是定义在R上的奇函数，所以flx)=-fl-x)=-e"-x2+1，对其求导得"(x)=e"-2x，则"(-1)=e+2，又因l-1)=-e，所以曲线y=flx)在点处的切线方程为y=(e+2x+1)-e，即y=(e+2)x+2.14.已知底面为正方形的直四棱柱的高为4，底面边长为4，其内部有一个与直四棱柱所有面均相切的内切球0.现以直四棱柱上底面的中心为顶点，下底面的外接圆为底面作一个圆锥，则该圆锥与内切球0的公共部分的体积为.注：球缺的体积公式为为球的半径，为球缺的高.【答案】【解析】【分析】根据题意可知重合部分由圆锥S-AB和球缺构成，根据公式计算体积即可．【详解】解：根据题意该直四棱柱是边长为4的正方体，则球的半径为2，圆锥底面半径为2E，高为4，如图，重合部分由圆锥S-AB和球缺构成，设MN=X，则0N=2-X，SN=4-X解得或r-a（舍去圆锥s-4。的体积，球缺的体积，故重合部分的体积V=V+V2=將．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某市施行“垃圾分类”后，为了解该市某区居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄的关系，随机抽取该区100名居民进行调查，得到如下2x2列联表：支持不支持合计41岁及以上（中老年）2525合计40（1）根据小概率值u=0.05的独立性检验，分析该区居民对“垃圾分类”政策的支持度是否与年龄有关；（2）按“支持”和“不支持”分层，采用比例分配的分层随机抽样方法从上述100名居民中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行进一步访谈，记抽取的3人中支持“垃圾分类”的人数为X，求X的分布列.0.100.050.0100.0012.7063.8416.635【答案】（1）认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关（2）X的分布列为【解析】（2）先根据分层抽样确定人数，再利用超几何分布列分布列.零假设H,:居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄无关，根据小概率值a=0.05的独立性检验，推断不成立，即认为居民对“垃圾分类”政策的支持度与年龄有关.“支持”和“不支持”的人数比为60:40=3:2，则抽取的10人中“支持”和“不支持”的人数分别为6,4,则X的可能取值为，,则X的分布列为16.已知椭圆的左丶右焦点分别为F(-2,0),F椭圆C于M,N两点（点在第一象限且的周长为.（2）过点M作两条直线分别交椭圆C于A,B两点（A,B均不与M重合若直线MA与MB的倾斜角互补，证明：直线AB的斜率为定值，并求出该定值.（2）证明见解析，定值为【解析】【分析】（1）设椭圆c的焦距为2c，由题意直接求得a,c，根据h'=a'-c'求得即可求得椭圆c的标（2）求出M点的坐标，设直线MA的斜率为K，则直线MB的斜率为-K，联立直线与椭圆的方程，用K表示A,B两点的坐标，即可求得直线AB的斜率为定值，并求出该定值.设椭圆c的焦距为2c，则c=2，所以h'=q'-p'=4，所以椭圆的标准方程为.将代入，得，点在第一象限，所以.易知，直线MA与MB的倾斜角均不为90'，所以斜率均存在，不为零，且斜率互为相反数.设直线ws的方程为y-、E=k(x-2)，则直线的方程为y-E=-k(x-2).设A(x,y),B(x:,2)，则，所以同理，用代换k，得所以直线AB.所以直线的斜率为定值，该定值为.沿E翻折，使点C到达点P的位置，且平面PBEl平面ABED.（1）求证：平面PBD上平面PAE.（2）在线段PA上是否存在点W，使得SU与平面PBD所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【解析】【分析】（1）由面面垂直的性质定理得PEl平面ABED，所以PE上BD，由线面垂直的判定定理结合正方形的性质，可得BDl平面PA区，根据面面垂直的判定定理即可证得平面PBD1平面PAE；（2）假设在线段PA上是否存在点M，满足题意，且，建立恰当的空间直角坐标系，根据线面角的向量求法求得的值，即可判断.所以DE=AD=AB，四边形ABED是正方形，所以BE上CE.所以在四棱锥P-ABED中，PE上BE.因为平面PBEl平面ABED，平面PBEn平面ABED=BE，PEC平面PBE，所以PE上平面AB区D.因为BDC平面ABED，所以PE上BD.又正方形ABED中，BD上AE，因为PEnAE=E,PE,AEC平面PAE，所以BDl平面PAE.因为BDC平面PBD，所以平面PBDl平面PAE.由（1）知PE上平面ABED，ED上EB，所以EB,ED,EP两两垂直.以E坐标原点，分别以ED,EB,EP所在直线为X,,Z轴，建立如图所示空间直角坐标系，所以，设平面PBD的法向量为7=(X,Y,2)，则.令x=l，则y=l,i=l，所以平面PBD的一个法向量为7i=(1,1,1).假设在线段PA上是否存在点M，满足题意，且丽=t两=i(2,2,-2)=(21,21,-21)，则.由BM与平面PBD所成角的正弦值为，得，所以，化简得(3t+2)7t-2)=0，所以.所以，所以.即存在点M满足题意，且.（1）当a=1时，求fl.x)的单调区间和极值；（2）当a=2时，证明：flx)存在两个零点；（3）若flx)20对任意sele,el恒成立，求实数a的取值范围，并比较与的大小.【答案】（1）单调递减区间为[-1,0)，单调递增区间为(0,too),极小值为0，无极大值（2）证明见解析（3）ae(-oc,I]，【解析】【分析】（1）求导，利用导数的正负分析函数的单调区间及极值；（2）求导，先利用导数分析函数的单调性，进而结合零点存在性定理求证即可；（3）转化问题为对任意xe[0,too)恒成立，设，xe[0,too)，利用导数分析其单调性，进而求解a的范围即可，进而得到，再结合（1）可得函数flx)在[0,tol上单调递增，进而判断大小即可.，，则x>-l时因为函数在I-tel上单调递增，所以函数f"(x)在(-1,too)上单调递增，又f"(0)-0，则-l<x<()时，f"IX)<0，x>0时，f"(x)>0，所以函数flx)的单调递减区间为[-1,0]，单调递增区间为(0,too).x=0时，函数fl.x)取得极小值f(0)=0，无极大值.当u-2时，，s2-l，因为函数在I-l所以函数f"(x)在(-1,too)上单调递增，则存在x,e(0,1)，使得f"IX,)=0，当-l<x<xq时，f"(x)<0，当时，f"(x)>0，所以函数flx)在(-l,x,)上单调递减，在(x,,+o)上单调递增，所以根据零点存在性定理可知，函数flx)存在两个零点.设则设则,所以函数在上单调递增，则hfx)⃞h(0)=0，即g'I.x)20，所以