人教版九年级数学下册全册教学设计

人教版九年级数学下册全册教案（完整版）教学设计

26.1反比例函数

26.1.1反比例函数（第1课时）

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.理解并掌握反比例函数的定义，能判断一个给定的函数是否为反比例函数.

2.能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式，体会函数的模型思想.

【过程与方法】

1.用类比的思想方法，从实际问题中抽象出反比例函数的概念，发展学生的观察能

力、探究能力及交流总结能力.

2.经历探索具体问题中数最关系和变化规律的过程，体会建立函数模型的思想.

【情感态度与价值观】

通过探索具体问题中数量关系和变化规律的过程，体验数学来源于生活，又应用于生

活，提高学生应用数学的意识.

二、重难点目标

【教学重点】

1.理解并掌握反比例函数的定义.

2.能根据已知条件确定反比例函数的解析式.

【教学难点】

根据已知条件，求反比例函数的解析式.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P2〜P3的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.如果两个变量x、y满足xy=k（k为常数，kWO）：那么x、y就成为反比例关系.例

如，速度V、时间t与路程s之间满足vt=s,如果路程s一定，那么速度v与时间t就成

反比例关系.

2.一般地，在某一变化过程有两个变量x和y,如果对于变量x的每一个值，变量y

都有唯一的值与它对应，我们就称y是x的函数.其中，x是自变量，y是因变量.

3.形如y=（k是常数，kNO）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是因变量.

自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

4.y=,y=kx-l,xy=k是反比例函数的三种表现形式.其中k是常数，kWO.

5.下列函数中，反比例函数有哪些？每一个反比例函数相应的k值是多少？

①y=2x+l；②尸4；③尸上④尸一半；⑤孙=3；⑥2尸笛⑦>y=—1.

解：反比例函数有③©⑤⑦.③y=中1<=；©y=-中k=-；⑤xy=3中k=3；⑦

xy=-1中k=-1.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6.

（1）写出y与x的函数关系式；

（2）求当x=4时y的值.

【互动探索】（引发学生思考）因为y是x的反比例函数，所以设y=,再把x=2时，y

=6代入上式就可求出常数k的值.

【解答】（1）设丫=,因为当x=2时y=6,

则有6=,解得k=12.

._12

,,一・

⑵把x=4代入y=,得丫==3.

【互动总结】（学生总结，老师点评）用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：①

设出含有待定系数的反比例函数解析式，形如y=（k为常数，kWO）；②将己知条件（自变

量与函数的对应值）代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程，求出待定系数；④

写出解析式.

【例2】已知函数y=（2m2+m—I）x2m2+3m—3是反比例函数,求m的值.

【互动探索】（引发学生思考）在反比例函数y=kx一】中的隐含条件是x的次数为一】，k

xo.

【解答】•・・y=（2ni2+m—l）x2ni2+3ni—3是反比例函数，

2m+3/w-3=-1,

•<

''[2疡+加一1"0,

解得加=-2.

【互动总结】（学生总结，老师点评）反比例函数也可以写成y=kx—l（kWO）的形式,

注意x的次数为一1,系数不等于0.

活动2巩固练习(学生独学)

1.反比例函数y=(m+Dx—l中m的取值范围是(B)

A.mWlB.m#—1

C.mW±lD.全体实数

2.当m=6时，y=3xm—7是反比例函数.

3.某蓄水池的排水管每小时排水8m3,6h可将满池水全部排空.

(1)蓄水池的容积为48m3;

⑵若每小时排水用。(m3)表示，则排水时间1(h)与Q(m3)的函数解析式为1=.

4.已知y与3x成反比例，且当x=l时，y=.

(1)写出y与x的函数解析式；

(2)当x=时，求y的值；

(3)当丫=时，求x的值.

解：(l)y=.(2)y=2.(3)x=.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】已知y=yl+y2,yl与(x-l)成正比例，y2与(x+1)成反比例，当x=0时，y

=-3；当x=l时，y=­l.求：

(Dy关于*的关系式；

⑵当X=一时，y的值.

【互动探索】根据正比例函数和反比例函数的定义设出yl.y2的关系式，进而得到y

的关系式，把所给两组数据代入即可求出相应的比例系数，也就求得了所要求的关系式.

【解答】⑴-yl与(x-D成正比例,y2与(x+1)成反比例,

・,・设yl=kl(x-l)(klRO),y2=(k2W0).

Vy=yl+y2,.\y=kl(x-l)+.

,・•当x=0时，y=-3；当x=l时，y=-1,

:,解得kl=l,k2=-2,

2

(2)把x=一代入(1)中函数关系式，得y=一.

【互动总结】(学生总结，老师点评)根据题意设出yl.y2的函数关系式并用待定系数法

求得函数关系式是解答此题的关键.注意不同的函数关系要用不同的待定系数，如本题yl

的待定系数用kl,y2的待定系数用k2.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

r定义

三种常见形式：y=~.x尸k、y=k-

反比例函数，X

其中A为常数，AWO

I求解析式的方法：待定系数法

练习设计

请完成本课时对应练习！

26.1.2反比例函数的图象和性质

第2课时反比例函数的图象和性质

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.用描点法画出反比例函数y=的图象一

2.根据图象理解和掌握反比例函数y=的性质.

【过程与方法】

1.经历探索和发现反比例函数的图象的特点和性质的过程，获得研究函数性质的经

验.

2.通过函数图象探究函数性质，进一步体会运用数形结合思想研究函数的性质的方

法.

3.经历知识的形成过程，了解从特殊到一般的认识过程，培养学生观察、探究、归纳

及动手能力.

【情感态度与价值观】

1.经历画图、观察、猜想、思考、交流等活动，获得研究问题和合作交流的方法与经

验，体验数学活动中的探索性和创造性.

2.在学习过程中，感受数学美，发现学习数学的乐趣.

二、重难点目标

【教学重点】

用描点法画反比例函数的图象，探索反比例函数的图象特点和性质.

【教学难点】

运用反比例函数的图象和性质解决问题.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P4〜P6的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.用“描点法”画函数图象的一般步骤：列表、描点、连线.

2.反比例函数y=（k为常数，kWO）中，自变量x的取值范围是不等于0的一切实数.

3.反比例函数图象是双曲线.

4.在反比例函数丫=（kKO,k为常数）中,（1）当k在时,双曲线位于第一、三象限,在

每一个象限内y随x的增大而减小；（2）当k<0时，双曲线位于第二、四象限，在每一个象

限内y随x的增大而增大.

6.已知反比例函数丫=.

（1）若函数的图象位于第一、三象限，则k<4；

⑵若在每一象限内，y随x增大而增大，则k>4.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】画出反比例函数丫=和y=的图象.

【互动探索】（引发学生思考）描点法：列表一描点一连线

【解

答】列

表表

示几

•••-6-4-3-2-112346•••

组X与

y的对

应值：

X

6

y=­•••-1—1.5-2-3—66321.51•••

X

12

y—•••-2-3-4—6-12126432•••

X

描点连线：以表中各对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连结这些点：就

得到函数丫=和丫=的图象.

【互动总结】（学生总结，老师点评）作反比例函数图象时要注意：（1）列表时：自变量

的值可以选取一些互为相反数的值，这样既可简化计算，又便于对称描点；（2）列表描点时:

要尽量多取一些数值，多描一些点，这样既可以方便连线，又可以准确地表达函数变化趋

势；（3）连线时：一定要养成按自变量从小到大的顺序，依次用平滑的曲线连结，从中体会

函数的增减性.

【例2】若点（xl,yl）,（x2,y2）,（x3,y3）都是反比例函数y=一图象上的点，并且

xl<0<x2<x3,判断yl.y2.y3的大小关系.

【互动探索】（引发学生思考）要根据函数值的大小判断自变量的大小，需考虑函数的增

减性.先画出函数图象，再描出已知点位置，最后判断yl、y2、y3的大小关系.

【解答】•・•反比例函数y=-中k=-lV0,

・••此函数的图象在第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，如图.

Vxl<0<x2<x3,

・••点（xl,yl）在第四象限,（x2,y2）、（x3,y3）两点均在第二象限，

【互动总结】（学生总结，老师点评）利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小

的方法：（1）看k的符号，明确函数的增减情况；（2）看两点是否在同一个象限内；若不在同

一个象限内，借助图象即可判断函数值或自变量的大小，若在同一个象限内，则比较两个

横（纵）坐标的大小，根据函数的增减情况，得出函数值［自变量）的大小.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列四个点中，在反比例函数y=—的图象上的是（A）

A.（3,-2）B.（3,2;

C.（2,3）D.（-2,-3）

2.设x为一-切实数，在下列函数中，当x减小时，y的值总是增大的函数是（C）

A.y=—5x—1B.y=

C.y=—2x+2D.y=4x

3.对于反比例函数丫=,下列说法正确的是（D）

A.图象经过点（1,-3）

B.图象在第二、四象限

C.x>0时，y随x的增大而增大

I）.x<0时，y随x的增大而减小

4.若反比例函数y=（k<0）的图象过点P（2,m）,Q（l,n）,则m与n的大小关系是：

m>n.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例3】若ab〈O,则正比例函数y=ax和反比例函数y=在同一坐标系中的大致图象

【互动探索】•・・ab〈O：・・・a、b异号,分两种情况：（1）当a>0,b<0时,正比例函数y

=ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限内，无此选项；（2）当

a<0,b>0时，正比例函教的图象过原点、笫二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限

内,选项C符合.

【答案】C

【互动总结】（学生总结，老师点评）这类题既可以用分析法，也可以用排除法.用分析

法时，根据题干逐一分析，得出不同条件下的结果，再与选项对比得出答案.用排除法时，

每个选项逐一分析，看是否满足题干条件.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.反比例函数的图象：双曲线既是轴对称图形又是中心对称图形.

2.反比例函数的性质：

（1）当k>0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内y值随x值的增大

而减小；

（2）当kVO时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内y值随x值的增大

而增大.

练习设计

请完成本课时对应练习!

第3课时反比例函数图象与性质的综合应用

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.进一步理解和掌握反比例函数的图象与性质，并能用待定系数法求反比例函数解析

式.

2.理解并掌握反比例函数丫=(kWO)中比例系数k的几何意义.

3.运用反比例函数的图象和性质解决与其他函数或几何知识综合的问题.

【过程与方法】

1.通过探究反比例函数性质的应用，感受反比例函数解析式与图象之间的联系，体会

数形结合思想的魅力.

2.经历观察、思考、分析、交流等学习过程，提高学生数学学习能力及合作精神，逐

步提高学生分析问题、解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

通过解决反比例函数与•次函数、二次函数有关的综合题，增强学生的自信心，培养学

生学习的兴趣，提高学生综合运用知识解决问题的能力.

二、重难点目标

【教学重点】

灵活运用反比例函数图象与性质解决综合问题.

【教学难点】

比例系数k的几何意义.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P7〜P8的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.填表分析正

比例函数和反比

正比例函数反比例函数

例函数的区别.

函数

解析式尸kx(kWO)

图象形状直线双曲线

A>0位置第一、三象限第一、三象限

\yL

7OXOX

每个象限内，y随X的增大而减小

增减性y随才的增大而增大

第一四象限第二、四象限

位置ry

O

k<0O

每个象限内，y随x的增大而增大

增减性y随x的增大而减小

2.反比例函数y=的图象经过点(2,5),若点(1,n)在反比例函数图象上，则n等于

(A)

A.10B.5

C.2D.-6

3.下列各点在反比例函数y=—的图象上的是(B)

A.B.

C.D.

4.反比例函数y=的图象经过(2,-1),则k的值为一2.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例1］已知反比例函数的图象经过点A(2,6).

(1)这个函数的图象分布在哪些象限？y随x的增大如何变化？

(2)点B(3,4)、C和D(2,5)是否在这个函数的图象上?

【互动探索】(引发学生思考)(1)求出反比例函数的解析式，再判断该函数的性质；(2)

若点满足所求函数的解析式，则点在这个函数的图象上，否则不在这个函数的图象上.

【解答】(1)解法1：见教材P7例3.

解法2:设这个反比例函数为y=,

•・•图象过点A(2,6),・・・6—，解得k-12.

19

・•・这个反比例函数的表达式为

X

•.”>(),・••这个函数的图象在第一、三象限.在每个象限内，y随x的增大而减小.

(2)把点B.C.D的坐标代入y=,可知点B.C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满

足函数关系式，故点B.C在函数y=的图象上，点D不在这个函数的图象上.

【互动总结】(学生总结，老师点评)求反比例函数的解析式一般用待定系数法.

【例2】如图是反比例函数y=的图象的一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？常数m的取值范围是什么？

（2）在这个函数图象的某一支上任取点A（xl,yl）和B（x2,y2）,如果xl>x2,那么yl

和y2有怎样的大小关系？

【互动探索】（引发学生思考）（1）反比例函数图象的分布只有两种可能，分布在第一、

三象限，或者在第二、四象限.（2）根据反比例函数的性质解答.

【解答】（1广・•这个函数的图象的一支在第一象限，

・••另一支必在第三象限.

•・•函数的图象在第一、三象限，

/.m-5>0,解得m>5.

（2）解法1（性质法）:详细解答参考教材P7〜P8例4.

解法2（图象法或数形结合法）：

•・•函数的图象在第一、三象限，

如图，在图中描出符合条件的两个点，

・•・由图象易知必<分

【互动总结】（学生总结，老师点评）在解决问题（2；时，用数形结合法能更快速准确地

求出结果.

活动2巩固练习（学生独学）

1.正比例函数y=6x的图象与反比例函数y=的图象的交点位于（D）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第一、三象限

2.若反比例函数y=的图象经过点A（—1,-2）,则当x〉l时，函数值y的取值范围

是（D）

A.y>lB.0<y<l

C.y>2D.0<y<2

3.如图所示，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线丫=

（x>0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，aOAB的面积将会（C）

A.逐渐增大

C.逐渐减小D.先增大后减小

4.如图所示，四边形OABC是矩形，ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C

在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y=(x>0)的图象上，OA=1,0C

=6,则正方形ADEF的边长为2.

5.如图所示，已知反比例函数丫=的图象与一次函数y=ax+b的图象相交于点Ml,4)

和点R(n,-2).

(1)求反比例函数和一次函数的解析式；

(2)当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围.

解：⑴把点A(l,4)代入y=,得m=lX4=4,・••反比例函数解析式为y=.把点B(n,

-2)代入y=,得一2n=4,・•・!!=—2,・,•点B坐标为:-2,—2).把(1,4),(—2,—2)

代入y=ax+b,得解得・•・所求一次函数解析式为y=2x+2.(2)x<—2或(Kx<l.

活动3拓展延伸(学生对学)

【例3】如图所示，点A在反比例函数y=的图象上，AC垂直x轴于点C,且的

面积为2,求该反比例函数的表达式.

【互动探索】反比例函数的比例系数与三角形的面积有什么关系？

【解答】•・•点A在反比例函数y=的图象上，

/.xA,yA=k,

ASAAOC=・k=2,.・・k=4,

4

，反比例函数的表达式为尸二

X

【互动总结】（学生总结，老师点评）过双曲线上任意一点与原点所连的线段与坐标轴和

向坐标轴作垂线所围成的直角三角形的面枳等于.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.反比例函数中系数k的几何意义；

2.反比例函数图象上点的坐标特征；

3.反比例函数与一次函数的交点问题.

练习设计

请完成本课时对应练习！

26.2实际问题与反比例函数

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.能运用反比例函数的意义和性质解决相关的实际问题.

2.建立反比例函数模型，解决实际问题.

3.综合运用反比例函数知识与几何、方程、不等式、物理等跨学科知识解决相关的实

际问题.

【过程与方法】

1.经历利用反比例函数解决实际问题的过程，学会用数学的思想方法去观察、研究和

解决H常生活中所遇到的问题，体验数学建模的思想.

2.经历“实际问题一一建立模型一一求解模型一一拓展应用”的过程，增强学生发现

和提出问题、分析和解决问题的能力.

【情感态度与价值观】

1.通过将反比例函数的有关知识灵活应用于实际，让学生体会到学习数学的价值，从

而提高学生学习数学的兴趣，并获得成功感.

2.体会数学与实际生活紧密联系，经历将实际问题抽象为数学问题的过程，体会数学

中转化和数形结合的思想.

二、重难点目标

【教学重点】

运用反比例函数的意义和性质解决生活实际问题和跨学科问题.

【教学难点】

根据实际问题建立反比例函数的数学模型.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P12〜P15的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.(1)反比例函数y=(k为常数，kWO)的图象是双曲线；

(2)当k>0,双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大

而减小；

(3)当k<0,双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大

而增大；

2.地下室的体积V•定，那么底面积S和深度h的关系是反比例函数：表达式是5=

3.运货物的路程$一定，那么运货物的速度v和时间I是反比例函数；表达式是\，=

4.电学知识告诉我们，用电器的输出功率P、两端的电压U和电器的电阻R有如卜.关

系：PR=U2.这个关系式还可以写成P=，或R=.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

(一)反比例函数模型在生活中的应用

【例1)市煤气公司要在地下修建一个容积为104m3的圆柱形煤气储存室.

(1)储存室的底面积S(单位：m2)与其深度d(单位：m)有怎样的函数关系？

(2)公司决定把储存室的底面积S定为500m2,施工队施工时应该向下掘进多深？

(3)当施工队按(2)中的计划掘进到地下15m时，碰上了坚硬的岩石.为了节约建设资

金，公司临时改变计划，把储存室的深改为15m,相应的，储存室的底面积应改为多少才

能满足需要(保留两位小数)？

!!d

【温馨提示】详细解答过程见教材P12例1.

【例2】码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间.

(1)轮船到达目的地后开始卸货，平均速度v(单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的

函数关系？

(2)由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸货完毕，那么平均每天要卸载多

少吨?

【温馨提示】详细解答过程见教材P13例2.

(二)反比例函数在物理中的应用

【例3］小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5rn.

(1)动力F与动力臂1有怎样的函数关系？当动力皆为1.5m时，撬动石头至少需要多

大的力？

(2)若想使动力F不超过题(I)中所用力的一半，则动力臂1至少要加长多少？

【温馨提示】详细解答过程见教材P14例3.

【例4】一个电器的电阻是可调节的，其范围为110〜220。.已知电压为220V,这个

用电器的电路图如图所示.

——।g।——।

III——

(1)功率P与电阻R有怎样的函数关系？

(2)这个用电器功率的范围是多少？

【温馨提示】详细解答过程见教材P15例4.

活动2巩固练习(学生独学)

1.下列各问题中，两个变量之间的关系不是反比例函数的是(C)

A.小明完成100m赛跑时，时间t(s)与他跑步的平均速度v(m/s)之间的关系

B.菱形的面积为48cm2,它的两条对角线的长为y(cm)与x(cm)的关系

C.一个玻璃容据的体积为30L时，所盛液体的质量m与所盛液体的体积V之间的关系

D.压力为600N时，压强p与受力面积S之间的关系

2.一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案，如图所示，设小矩

形的长、宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2WxW10,记y=f(x),则y=f(x)的

y

iox（）\210

3.有一面积为60的梯形，其上底长是下底长的，若下底长为x,高为y,则y与x

的函数关系是y=.

4.实验表明，当导线的长度一定时，导线的电阻与它的横截面面积成反比例.一•条长

为10.km的铝导线的电阻R(C)与它的横截面面积S(cm2)的函数关系如图所示，那么当S

5.在某•电路中保持电压不变，电流1(A)与电阻R(C)将如何变化？若已知当电阻R

=5。时，电流1=2A.

(1)求/与〃之间的关系式;

⑵电阻是8。时，电流是多少？

⑶如果要求电流的最大值为10A,那么电阻R的最小值是多少？

解：⑴由物理知识知U=IR.

VR=5,1=2,.・・U=5X2=10,

・・・1与R之间的关系式为1=(R>0).

⑵当R=8时，1==1.25,

・•・电流是1.25A.

⑶当1=10时，R==1,

，电阻的最小值为1

活动3拓展延伸(学生对学)

【例5】如图所示，制作某种食品的同时需将原材料加热，设该材料温度为y℃,从加

热开始计算的时间为x分钟.据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系,

已知该材料在加热前的温度为4°C,加热一段时间使材料温度达到28c时停止加热：停

止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系.已知第12分钟时,

材料温度是14℃.

(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系式(写出x的取值范围)；

(2)根据该食品制作要求，在材料温度不低于12℃的这段时间内，需要对该材料进行

特殊处理，那么对该材料进行特殊处理的时间为多少分钟？

【互动探索】(1)材料加热时，温度y与时间x成一次函数关系;停止加热进行操作时,

温度y与时间x成反比例函数关系，将题中数据代入即可求得两个函数的关系式；(2)把y

=12分别代入两个函数关系式中，求出对应自变量的值，从而可得对该材料进行特殊处理

所用的时间.

【解答】(1)设加热停止后反比例函数表达式为y=(klWO).

・・y=过(12,14),

Aki=12X14=168,则丫=.

当y=28时，28=,解得x=6.

设加热过程中一次函数表达式为y=k2x+b(k2W0).

由图象知y=k2x+b过点(0,4)与(6,28),

〃=4,他=4,

[6k+8=28,[b=4f

即一次函数的关系式为尸4x+4.

[4x4-406,

(2)令12=4x+4,解得x=2.

令12=,解得x=14.

・••对该材料进行特殊处理所用的时间为14-2=12(分钟).

【互动总结】(学生总结，老师点评)现实生活中存在大量成反比例函数关系的两个变量,

解答此类问题的关键是首先确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们

的关系式.

环节3课堂小结，当堂达标

(学生总结，老师点评)

建立反比例函数模型：解决实际问题的一般步骤：

(I)审题：弄清题意，分析问题中等量关系；

(2)建模：根据等量关系，将实际问题转化为数学问题，利用反比例函数知识建立数学

模型；

(3)解模：根据反比例函数的性质解决问题.

练习设计

请完成本课时对应练习！

27.1图形的相似

第1课时相似图形

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.在具体生活实例中认识相似图形，理解和掌握两个图形相似的概念.

2.理解相似图形的特征，掌握相似图形的识别方法.

【过程与方法】

通过观察实际生活中的图形，辨析相似图形，让学生体会数学与实际生活的密切联系,

激发学生学习的兴趣.

【情感态度与价值观】

通过识别生活中的相似图形，激发学生探究、发现数学问题的兴趣.

二、重难点目标

【教学重点】

理解并掌握相似图形、相似多边形的概念及特征.

【教学难点】

理解相似图形的特征.掌握识别相似图形的方法.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P24〜P25的内容，完成下面练习.

[3min反馈】

1.把形状相同的图形图形叫做相似图形.两个图形相似，其中一个图形可以看作是由

另一个图形放大和缩小得到的.

2.下列各组图形：①两个平行四边形；②两个圆；③两个矩形；④有一个内角是80°

的两个等腰三角形；⑤两个正六边形；⑥有一个内角是100°的两个等腰三角形.其中一定

是相似图形的是②⑤⑥.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论(师生互学)

【例题】观察下列图形，哪些是相似图形？

第一组：

△△0°窣翠

图1图2图3图4图5

第二组:

［互动探索］（引发学生思考）要找出图中的相似图形,只要仔细观察每个图形特征，通

过图形变化后是否具备“形状相同”这一特征.

【解答】第一组图，图1,2,5是相似图形.

第二组相似图形分别是：（1）和（8）；（2）和（6）；（3）和（7）.

【互动总结】（学生总结，老师点评）所谓“形状相同”，与图形的大小、位置无关，与

摆放角度、摆放方向也无关.有些图形之间虽然只有很小的形状差异，但也不能认为是“形

状相同”.

活动2巩固练习（学生独学）

1.下列四个命题：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰三角形都相似；③所有

的正方形都相似：④所有的菱形都相似.其中正确的有［D）

A.2个B.3个

C.4个D.1个

2.下列图形不是相似图形的是（C）

A.同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片

B.用放大镜将一个绢小物体图案放大过程中原有图案和放大图案

C.某人的侧身照片和正面照片

D.大小不同的两张中国地图

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

形状相同的图形是相似图形；两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大

或缩小得到.

练习设计

请完成本课时对应练习！

第2课时相似多边形与比例线段

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.了解成比例线段的含义，会判断是不是成比例线段.

2.理解相似多边形的概念、性质及判定，并能计算和相似多边形有关的角度和线段的

长.

【过程与方法】

通过应用成比例线段定义及相似多边形的性质进行有关计算，体会方程思想在几何中

的应用，渗透数形结合思想.

【情感态度与价值观】

在观察、操作、推理的探究过程中，体验数学活动充满探索性和创造性.

二、重难点FI标

【教学重点】

利用成比例线段的概念及相似多边形的性质进行有关计算.

【教学难点】

探索相似多边形的性质中的“对应”关系.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

[5min阅读】

阅读教材P26〜P27的内容，完成卜面练习.

（3min反馈】

1.对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比等于另两条线段的比，如=（即

ad=bc）,那么我们就说这四条线段成比例.

2.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.相似多边形的比称为相似比，当相似比

为1,这两个多边形全等.

3.五边形ABCDE的五边长分别为5cm、20cm、30cm、35cm、40cm.另一个和它相

似的五边形的最短边长是10cm,则这个五边形的最长边为80cm.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图所示，给出的两个四边形是相似形，具体数据如图所示，求出未知边a、b

的长度及角a的值.

【互动探索】（引发学生思考）相似多边形的性质有哪些？

【解答】因为四边形ABCD与四边形A'B'C'D'相似，

所以NB'=ZB=633,ND'=ZD,

——,

所以==,

所以a=5,b=18.

在四边形A‘B'C'『中，VZD7=360°-（84°+75°+63°）=138°,

/.Za=NP=N〃'=138°.

【互动总结】（学生总结，老师点评）若两个多边形相似，那么它们的对应角相等，对应

边成比例.在书写两个多边形相似时，要注意把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.

活动2巩固练习（学生独学）

1.一个五边形的各边长分别为1,2,3,4,5,另一个和它相似的五边形的最长边的长为

7,则后一个五边形的周长为（C）

A.27B.25

C.21D.18

2.下列说法中,正确的是⑤⑥（填序号）.

①对应角相等的两个多边形相似；

②对应边成比例的两个多边形相似；

③若两个多边形不相似，则对应角不相等；

④若两个多边形不相似，则对应边不成比例；

⑤边长分别为3,5的正方形是相似多边形；

⑥全等多边形一定是相似多边形.

3.如图所示，把矩形ABCD对折,折痕为MN,矩形DMNC与矩形ABCD相似,已知AB=

4.

⑴求朋的长；

⑵求矩形DMNC与矩形ABCI）的相似比.

解：⑴设矩形ABCD的长AD=x,则DM=AD=x.

•・•矩形DMNC与矩形ABCD相似，

•**=>BP=,

.*.x=4或x=—4（舍去）.

.•・力〃的长为4、/1

⑵矩形〃也忆与矩形力仇力的相似比为4：4^2=1：^2.

活动3拓展延伸（学生对学）

【例2】如图，一块长3m,宽1.5m的矩形黑板ABCD如图所示，镶在其外围的木质边

框宽75cm.边框的内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH相似吗？为什

么？

【互动探索】两个矩形的四个角虽然相等，但四条边不一定对应成比例，判定两个矩形

是否相似，关键是看对应边是否成比例.

【解答】不相似.理由：

・・•矩形ABCD中,AB=1.5m,AD=3in,镶在其外围的木质边框宽75cm=O.75m,

AEF=1.5+2X0.75=3m,EH=3+2X0.75=4.5m,

・

••一,一•

・•・内边缘所成的矩形ABCD与边框的外边缘所成的矩形EFGH不相似.

【互动总结】（学生总结，老师点评）判定两个多边形相似，需要对应角相等，对应边成

比例，这两个条件缺一不可.

环节3课堂小结，当堂达标

（学生总结，老师点评）

1.比例线段；

2.相似多边形的性质和判定.

练习设计

请完成本课时对应练习！

27.2相似三角形

27.2.1相似三角形的判定

第1课时平行线分线段成比例

教学目标

一、基本目标

【知识与技能】

1.理解相似三角形的概念，会准确找出两个相似三角形的对应边、对应角.

2.掌握平行线分线段成比例的基本事实及推论.

3.掌握判定三角形相似的预备定理.

【过程与方法】

1.通过平行线分线段成比例这一基本事实在三角形中的转化，体会数学中的化归思想

及数形结合思想.

2.通过观察、测量、归纳平行线分线段成比例定理，培养学生动手操作能力及直觉思

维.

【情感态度与价值观】

探究利用平行线判定三角形相似的证明，培养学生合情推理及演绎推理能力，提高逻

辑思维能力.

二、重难点目标

【教学重点】

1.掌握平行线分线段成比例基本事实.

2.利用平行线判定三角形相似.

【教学难点】

利用平行线判定三角形相似.

教学过程

环节1自学提纲，生成问题

(5min阅读】

阅读教材P29〜P31的内容，完成下面练习.

(3min反馈】

1.如果△ABCS/\A1B1C1的相似比为k,则△AlBlCls^ABC的相似比为.

2.如图，11、12分别被13,14,15所截，且13〃14〃15,则AB与DE对应，BC与EF

对应，DF与AC对应；=,=,==.

3.如图所示，已知AB〃CD〃EF,那么下列结论正确的是(A)

A.

C.=D.=

4.平行于三角形-边的直线与其他两边（或延长线）相交所构成的三角形与原三角形相

似.

5.如图所示，△ABC中，点I）、E分别在边AB、BC上，DE〃AC,若DB=4,DA=2,BE

=3,贝ijEC=.

环节2合作探究，解决问题

活动1小组讨论（师生互学）

【例1】如图，在。ABCD中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE,DE与BC相交于点F,请

找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比.

【互动探索】（引发学生思考）由平行四边形的性质反得两组对边平行，利用平行线中相

似三角形的判定方法可得三角形相似.

【解答】•・,四边形AECD是平行四边形，

.,.BC/7AD,AB/7CD,

AAEFB^AEDA,AEFB^ADFC,

：・ADFCS»E“.

VAB=3BE,

・•・相似比分别为1：4,1：3,3：4.

【互动总结】（学生总结，老师点评）求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角

形的先后顺序.

【例2】如图，直线11、12、13分别交直线14于点A、B、C,交直线15于点D、E、

F,直线14、15交于点0,且11〃12〃13.已知EF：DF=5：8,AC=24.

（2）求AB的长.

【互动探索】（引发学生思考）（1）根据11〃12〃13可以推出=,与EF：DF有什么关

系？⑵已知AC的长,要求AB的长必须知道BC的长,如何求出BC的长?

【解答】⑴

,CB_EF

••犷应

又TEF：DF=5：8,

JEF:DE=5:3,

.CB5

,,诟=1

（2）:11〃12〃13,EF：DF=5：8,AC=24,

•__

・・・BC=15,

：.AB=1C—8C=24—15=9.

【互动总结】（学生总结，老师点评）运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确

书写对应线段的位置.

活动2巩固练习（学生独学）

1.如图，ED〃BC,EC.BD相交于点A,过点A的直线交ED.BC分别于点M、N,则图中

A.1对B.2对

C.3对D.4对

2.如图，DE〃BC,则下面比例式不成立的是（B）

A

R

A.B.

C.=D.=

3.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD上一点，连结CE并延长交BA的延长线于点

F,则下列结论中错误的是（B）

A.ZAEF=ZDEC

B.FA：CD=AE：BC

C.FA：AB=FE：EC

D.AB=DC

4.如图所示，DE〃BC,=,则Z\ADE和AABC的相似比为1：3.

5.如图所示，已知△ABC中，DE〃BC,EF〃CD.求证：=.

证明：VDEZ/BC,

AAADE^AABC,

ADAE

''~Air~AC

VEF/7CD,.-.△AEF^AACD.

■AF_A_E

••赤一下

・AFAD

••而=布

活动