福建省福州市八县（市）协作校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷（含解析）

福建福州市八县市协作校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试题一、单选题1．中国古墨可分为松烟墨、油烟墨、药墨等种类.现有4名学生，每人从松烟墨、油烟墨、药墨中选购1种，则不同的选购方式有（）A．种 B．种 C．种 D．种2．下列函数的求导正确的是（

）A． B．C． D．3．随机变量X的分布列为：X123Pa则（

）A． B． C． D．4．现有4支救援队前往3个受灾点执行救援任务.若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，则不同的安排方法数是（）A．24 B．36 C．48 D．565．已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”，对乙说：“你当然不会是最差的”.从这两个回答分析，5人的名次排列可能有多少种不同情况（

）.A．18 B．36 C．48 D．547．一袋子里装有大小、形状完全相同的3个红球、2个白球和1个黄球，共6个球.现从袋中随机不放回摸球，每次摸取1个球，直到摸到红球为止.记摸球的次数为，则的数学期望（）A． B． C． D．8．已知函数是定义在上的函数，且满足，其中为的导数，设，，，则、、的大小关系是（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知，则（）A． B．C． D．10．某自动流水线生产的一种新能源汽车零配件产品的质量（单位：）服从正态分布，且，．从该流水线上随机抽取4件产品，这4件产品中质量在区间上的件数记为，则（

）A． B．C． D．11．已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极大值三、填空题12．已知，则__________．13．已知函数的图象在点处的切线方程为______.14．某学校工会组织“掷骰子赢奖品”活动．规则是连续掷三次骰子，并按顺序记录．若三次点数a，b，c满足，则该投掷序列被视为“幸运序列”．则共有________种不同的“幸运序列”．四、解答题15．已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128．(1)求；(2)求展开式中含项的系数；(3)求展开式的第六项．16．已知函数的两个极值点分别为和3．(1)求的解析式；(2)若直线与曲线有且仅有两个公共点，求的值．17．如今，AI赋能快递行业，在揽派前端，圆通的“业务员AI助手”可实现批量外呼、分堆播报等功能.圆通速递的AI智能客服系统通过引入自然语言处理NLP和机器学习技术，能高效处理查询、理赔等事务，显著减少人工客服的工作负担.通过采集使用数据发现，当顾客输入的问题表达清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率为；当输入的问题表达不清晰时，AI智能客服的回答被采纳的概率仅为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．每次回答是否被采纳相互独立．(1)求AI智能客服的回答被采纳的概率；(2)在某次测试中输入了3个问题，设表示AI智能客服的回答被采纳的次数，求的分布列及期望、方差；(3)公司为了测试某项功能是否值得推广使用，随机抽取了10个问题，AI智能客服的回答每被采纳1次计10分，不采纳则不计分．记被采纳的回答数的总得分为，若，则推广使用该功能．试推断该功能是否会得到推广，请说明理由．18．冬奥会的成功举办极大鼓舞了人们体育强国的热情，掀起了青少年锻炼身体的热潮．某校为了解全校学生“体能达标”的情况，从高二年级12个班学生中每班随机选出5名学生参加“体能达标”测试，并且规定“体能达标”测试成绩小于60分的为“不合格”，否则为合格．若高二年级“不合格”的人数不超过总人数的5%，则该年级体能达标为“合格”，否则该年级体能达标为“不合格”，需要加强锻炼．(1)已知某班级的5名学生中，甲、乙2位同学体能预测不合格，从这5名学生中抽取2名，记X为抽取的2名学生中体能合格的人数，求随机变量X的分布列(2)为了加强锻炼，甲、乙两位同学计划每天开展跳绳比赛以提高体能，并约定每轮比赛均采用五局三胜制（一方获胜三局则本轮比赛结束）．假设甲同学每局比赛获胜的概率均为，求甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜的条件下，前2局比赛均获胜的概率；(3)经过一段时间的体能训练后，该校再次进行了体能检测，高二年级学生体能检测成绩近似服从正态分布．已知，请估计该校高二年级学生该次体能检测是否合格?附：．19．设函数.(1)讨论的单调性；(2)若，求a的取值范围；(3)设，证明：当时，.

参考答案1．A【详解】每个人有3种选择，根据分步乘法计数原理可知共有.2．D【详解】对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C错误；对于D：，故D正确.

故选：D.3．C【详解】由题意可得，解得，所以.故选：C.4．B【详解】先将4支救援队分成3组，其中一组有2支，另外两组各有1支，方法数为种，再将这3组分配到3个不同的受灾点，有种分配方法，故不同的安排方法数是种.5．D【详解】的定义域为，所以在上恒成立，所以在上恒成立，因为函数，所以当时取得最大值9，所以，即的取值范围是.故选：D.6．D【详解】由条件可知，甲和乙都不是第一名，且乙不是最后一名，所以先排乙有种方法，再排甲有种方法，其余人全排列，有种方法，所以人的名次排列有种方法.故选：D.7．D【详解】依题意知：的取值为，故（第一次摸到红球），（第一次摸到非红球，第二次摸到红球），（前两次摸到非红球，第三次摸到红球），（前三次摸到非红球，第四次摸到红球），期望：，.8．D【详解】令，则，因为，而恒成立，所以，所以在上单调递增，又，所以，因为，，，所以，即.故选：D.9．BC【详解】令，可得，所以A错误；令，可得，即，所以，所以B正确；令，所以，即，又因为，两式相加得，所以，所以C正确；因为，，所以，所以D错误.10．ABD【详解】A选项，由，得，故，由正态分布的对称性可知，A正确；B选项，，B正确；C选项，由题意得，故，C错误；D选项，，D正确.11．ACD【详解】，由图可知，与其导函数的图象如下所示：对于A，当时，,故，因此在区间上单调递增，A正确，对于B，当时，，故，因此在区间上单调递减，B错误，对于C，当时，,故，因此在区间上单调递增，结合B选项可知，是的极小值点，C正确，对于D，当时，,故，因此在区间上单调递增，结合B选项可知是的极大值点，D正确，12．或【详解】由题意可得或，解得或.故答案为：或.13．【详解】由，则，则，且，所以函数在点处的切线方程为，即.故答案为：14．48【详解】由已知可知要满足，则需要讨论，，之间的关系若，因为骰子的点数是1到6，所以，，的取值共有6种情况.若，，不全相等，因为当时，，所以一定是偶数若，都是奇数，则一定在1,3,5中取两个共有种情况.同理当，都是偶数时也共有种情况.当时，即，此时可以取1到6中除外的5个值，因为可以取1到6这6个值，所以共有种情况.因此“幸运序列”共有种情况.15．(1)(2)-280(3)【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128．所以，解得．（2）二项式展开式的通项为，，令，解得：，所以当时，，故展开式中含项的系数为．（3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，，令，可得，所以展开式的第六项为．16．(1)(2)或【详解】（1），由题意，得和3是关于的方程的两根，由韦达定理，得解得此时．当时，；当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意．综上，．（2）直线与曲线有且仅有两个公共点，等价于关于的方程仅有两个实根，即关于的方程仅有两个实根．设，则．当时，；当时，；当时，，所以在和上单调递增，在上单调递减，所以是的极大值点，是的极小值点，且，．根据题意，得或解得或．17．(1)(2)0123，(3)该系统会得到推广，理由见解析【详解】（1）设事件表示回答被采纳，事件表示问题表达清晰，则，则；（2）由（1）知每个问题的回答被采纳的概率，且每次回答是否被采纳相互独立，因此随机变量服从二项分布，则，，，，的分布列为：0123，；（3）随机抽取10个问题，设被采纳的次数为，则有，总得分，则，满足推广条件，因此该系统会得到推广.18．(1)分布列见解析(2)(3)高二年级学生体能检测合格【详解】（1）由题意的可能取值为，所以，所以的分布列为12（2）令事件表示“甲在一轮比赛中至少比了四局并获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲以获胜”，事件表示“甲前2局比赛均获胜”，所以，所以，，所以；（3）由已知有，所以，所以，所以高二年级学生体能检测合格.19．(1)时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递减区间为，单调递增区间为(2)(3)证明见解析【详解】（1），当时，在上恒成立，因此在上单调递增.当时，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上：时，的单调递增区间为，无单调递减区间；时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）当，时，，因此不恒成立，不符合