黑龙江齐齐哈尔市2026届高三下学期二模考试数学试题（含答案）

数学

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡

规定的位置上。

2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦

干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应

的区域内，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1.复数z在复平面内所对应的点为(1,1),则z=

A.1+iB.1-iC.-1-iD.-1+i

2.集合A={x|x>2},B={x|x>0,x∈N},则(CA)∩B=

A.{x|0<x<2}B.{xl0<x≤2}C.{1}D.{1,2}

3.函数f(x)=3+x+a,若f(a)=0,则a的取值范围为

A.(一3,—2)B.(一2,-1)C.(一1,0)D.(0,1)

4.向量a=(3,t),b=(6,la|),若a与b同向，则t=

A.√3B.±√3C.3D.士3

5.f(x)=ax³+bx+c(a≠0)在点(0,f(0))处的切线方程是x-y+1=0,则b+c=

A.-2B.0C.1D.2

6.某人有3种颜色的灯泡(每种颜色的灯泡足够多),要在如图所示的图形的6个

顶点A,B,C,A₁,B₁,C₁上各安装一个灯泡，要求同一线段两端的灯泡颜色不

同，则不同的安装方法共有

A.3种B.6种

C.12种D.48种

7.若,则cos2θ=

A.B.C.D.

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8.双曲线E(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F且斜率为的直线与y轴交于点

A,线段AF与E交于点B,若B为AF的中点，则E的离心率为

A.B.C.√5D.5

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知,则

A.f(x)>0的解集为{x|x<-3或x>-2}

B.(x+2)²f(x)<2的解集为{xl-4<x<-1}

C.当x>-2时，g(x)=f(x)+x的最小值为1

D.恒成立

10.函数的部分图象如图所示，则

A.

B.f(x)在上单调递减

C.f(x)的表达式可以写成

D.若关于x的方程f(x)=1在(0,m)上有且只有3个实数根，

11.抛物线E:y²=2px(p>0)的焦点为F,以D(p,0)为圆心，|DF|为半径得到圆D,圆D上有一

点(p,1).过点F的直线与E交于P,Q两点，与圆D另交于点M,则

A.p=2B.当|PF|=2|FQ|时，P的横坐标为3

C.当|PF|=2|FQ|时，D.|MF||PQl<|FP||FQI

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在△ABC中，a=7,b=8,锐角C满足,则sinB=

13.,则P(B)=

14.如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC,,SA=AC=2,

AB=1,SM=MC,3BP=2BC,过点M,P的平面与AC交于点N,NP⊥

BS,则MN=

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四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.本小题满分13分

已知正方形ABCD的边长为2,按如下规律构造正方形序列：取当前正方形各边中点，依次连接

各边中点得到新正方形，重复此操作得到一系列正方形.设第k个正方形与第k+1个正方形之

间的封闭区域为第k个“环域”,记第k个“环域”的面积为b,初始正方形ABCD为第1个正方形.

(1)求数列{b上}的通项公式；

(2)受实际物理测量精度限制，该作图操作无法实现无限次分割，仅可进行有限次作图.若此分

割作图过程可无限延续，则所有依次作出的正方形的面积之和趋近于某一确定常数M,求

这个常数M的值.

16.本小题满分15分

如图所示，已知等腰梯形ABCE中，AB//EC,D是EC的中点，将△AED沿AD对折至

△APD,使得与边长为2的菱形ABCD成60°的二面角，折叠后发现PB⊥AD.

(1)求点P到平面ABCD的距离；

(2)求二面角A-PB-C的正弦值.

17.本小题满分15分

某农场现有两种优质作物种子，在相同种植条件下，单位面积产量分别为随机变量X₁,X₂(单

位：吨/亩),其分布列为

X₁0.51.0X₂0.20.81.2

P0.80.2P0.20.50.3

(1)若分别用两种种子各种植100亩，设Y₁,Y₂分别为两种作物的总产量，求D(Y₁),D(Y₂);

(2)现将总面积为100亩的土地进行种植规划，用x亩种植第一种种子，剩余亩数种植第二种种

子，f(x)为两种作物总产量的方差之和，求f(x)的最小值时的x值；

(3)结合期望与方差，从稳产性、总产量、种植风险三个角度，对“全部种植第一种种子”,“全部种

植第二种种子”,“按(2)最优比例种植”三种方案进行综合评价，并给出面向农场生产的合理

化种植建议.

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18.本小题满分17分

设O为坐标原点，A,B分别是直线和上的动点，且|AB|=2√3,动点P满

足OP=OA+OB,记动点P的轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程；

(2)T(√7,0),过曲线E的中心O作一条直线交曲线E于P,Q两点，求△PTQ周长的最小值、

△PTQ面积的最大值；

(3)若点C是曲线E上异于顶点的任意一点，若H(一4,0),G(4,0),直线CG,CH分别交直线

于点N,M.以NM为直径的圆是否恒经过x轴上的某两个定点?若经过，求

出这两个定点的坐标；若不经过，请说明理由.

19.本小题满分17分

已知f(x)为定义在上的奇函数且连续可导，令g(x)=f(x)cosx.当时，

有f'(x)-f(x)tanx>eˣ.

(1)讨论g(x)在区间上的单调性，并证明：当时，g(x)>1-e²;

(2)当时，解不等式

(3)我们可以找到满足题意的一个函数.现在利用这个函数，重

新构造函数h(x),记h(x)=(f(x)+1)cosx+x+e⁻,若实数x₁,x₂(x₁<x₂)满足

h(x₁)+h(x₂)=4,证明：x₁+x₂<0.

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数学参考答案及解析

参考答案及解析

数学

一、选择题

1.B【解析】由复数的几何意义可知z=1+i,故z=1-i.

2.D【解析】CA={x|x≤2},故(CA∩B={x|0<x≤2,x∈N}={1,2}.

3.C【解析】由题得f(a)=3°+2a,令g(a)=34+2a,则g(a)为增函数，

即a的取值范围为(-1,0).

4.A【解析】由题设知6t=3|a|,则|a|=2t=√9+t²,则4t²=9+t²,则t²=3,而t≥0,故t=√3.

5.D【解析】f'(x)=3ax²+b,又f(x)在(0,f(O)处的切线方程是x-y+1=0,故f'(0)=b=1,又f(0)=c=1,故

b+c=2.

6.C【解析】先安装下底面的三个顶点有A³=6种不同的安装方法，再安装上底面的三个顶点有种

不同的安装方法.由分步乘法计数原理可知，共有A³C2=12种不同的安装方法.

本题也可以从A,B,C,A₁,B₁,C₁点入手，则有3×2×1×2×1×1=12种不同的安装方法.

7.B【解析】因为则

,所以

8.C【解析】记F(c,0),则Lʙ:2x+√5y-2c=0,则,因为点B在双曲线E上，

则,令a=1,得·化简得(5c²-4)(c²-5)=0,又c>a=1,则c=√5,

故离心率e=√5.

二、选择题

9.AC【解析】,故A正确；

(x+2)²f(x)<2→(x+3)(x+2)<2,且x≠-2→(x+1)(x+4)<0,且x≠-2→-4<x<-1,且x≠-2,故B错误；

当x>-2时，,故C正确；

,即,故D错误.

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数学参考答案及解析

10.BCD【解析】由图知f(0)=2sinφ=1,,因此,故A错误；

由五点法可知W,因此w=2,令,k∈Z,得经过最大值点的对称轴为

即)为单调递减区间，故B正确；

,故C正确；

令f(x)=1,,故…,因为f(x)=1在(0,m)上有且只有3个

实数根，则,故D正确.

11.AC【解析】对于A,圆,代入(p,1)得p=2,故A正确；

对于B,记P(x₁,y),Q(x₂,y₂),F(1,0),显然FP=-2FQ,而FP=(x₁-1,y),FQ=(x₂-1,y₂),

可得y₁=-2y₂,y²=4x₁=4y²=16x₂,则x=4x₂,而x₁-1=-2(x₂-1)=4x₂-1,解得

故B错误；

对于C,由B得y₁=±√4x₁=±2√2,此时直线的斜率，所以1po:y=±2√2(x-1),

即2√2x±y-2√2=0,点D到PQ的距离，,故,故

C正确；

对于D,设直线PQ方程为x=ty+1,由,得y²-4ty-4=0,

|PQl=x₁+x₂+2=t(y₁+y₂)+4=4t²+4,|FP||FQ|=(x+1)(x₂+1)

=(ty,+2)(ty₂+2)=ty₁y₂+2t(y₁+y₂)+4=4t²+4,圆D的弦0<FM<2,

因此|FM||PQI-|FP||FQI=(4t²+4)(FM|-1)不一定小于0,D错误.

三、填空题

亿【解析】因为：,由余弦定理c²=a²+b²-2abcosc可得c=3,

由正弦定理可

13.【解析】故

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数学参考答案及解析

4【解析】法一(坐标法):如图建立空间直角坐标系Axyz,

),S(0,0,2),M(0,1,1),由AN=λAC,

AC=2得N(0,22,0),由NP⊥BS得NP·BS=0,

,得,则

法二(几何法):由SA⊥平面ABC,NPc平面ABC知NP⊥SA,由NP⊥BS,

SANSB=S,SAc平面SAB,SBc平面SAB得NP⊥平面SAB,由ABc平面SAB

得NP⊥AB,取BC上一点Q使得QA⊥AB,

由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2×AB×AC×cosA=1+4+2=7,BC=√7,

可得,由平行线分线段成

比例知CN=2NA,故

四、解答题

15.解：(1)正方形ABCD的面积为a₁=4,故连接各边中点得到的新正方形面积是原正方形的

因此{ak}是首项为4,的等比数列，所以

,故{bk}的通项公式为

(2)

故当n→∞时，∴M=8.

16.解：(1)由题设，可知AD=AB=DC=BC=ED=EA=PD=PA=2,

取AD中点0,连接PO,OB,故PO⊥AD,

又PB⊥AD,PB∩PO=P,PB,POc平面POB,∴AD⊥平面POB,

又OBC平面POB,故AD⊥OB.故∠POB为平面ABCD与平面PAD所成二面角的平面角，

∴∠POB=60°.因为ADC平面ABCD,故平面ABCD1平面POB,平面ABCD∩平面POB=OB,

过P作PF⊥OB交OB于F,

故PF⊥平面ABCD.

∵OP=√3,:

因此点P到平面ABCD的距离为

(2)以0为坐标原点，直线OA,OB为x轴，y轴，过0且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图

所示的空间直角坐标系.

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数学参考答案及解析

,BC=(-2,0,0).

设平面ABP的法向量为n=(x,y,z),则即取x=3,∴n=(3,√3,1),

设平面BPC的法向量为m=(a,b,c),则,即取b=√3,∴m=(0,√3,1),

所以二面角A-PB-C的正弦值为·

17.解：(1)由题设得

E(X₁)=0.5×0.8+1.0×0.2=0.6,

D(X₁)=(0.5-0.6)²×0.8+(1.0-0.6)²×0.2=0.04,

D(Y)=D(100X₁)=10000×0.04=400.

E(X₂)=0.2×0.2+0.8×0.5+1.2×0.3=0.8,

D(X₂)=(0.2-0.8)²×0.2+(0.8-0.8)²×0.5+(1.2-0.8)²×0.3=0.12,

D(Y₂)=D(100X₂)=10000×0.12=1200,

∴D(Y₁)=400,D(Y₂)=1200.

(2)∴f(x)=D(xX₁)+D(100-x)X₂)=0.04x²+0.12(100-x)²=0.16x²-24x+1200,

故当,f(x)取得最小值300.

(3)全部种植第一种种子：E(Y)=100×0.6=60(吨),

全部种植第二种种子：E(Y₂)=100×0.8=80(吨),

按(2)最优比例种植：E(Y)=75×0.6+25×0.8=65(吨),

评价：最优比例种植的方差最小，为300,稳产性最好，产量适中；全部种植第二种种子总产量最高，但

是风险较高.

建议：若农场追求高产量且能承担较高风险，可选全种第二种种子；若更看重稳产，降低种植风险，应采

用75亩种第一种种子，25亩种第二种种子的最优比例.

18.解：(1)设P(x,y),

∵AB|=2√3,:

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数学参考答案及解析

∵OP=OA+OB,:

故曲线E的方程为

(2)T(√7,0)为曲线E的右焦点，其左焦点T'(-√7,0),根据椭圆的对称性，

△PTQ的周长为|PT|+|PQI+|TQHT'Ql+|PQl+|TQ|=2a+|PQI=8+2|PO|,

故当|OP|最小时，周长最小，因此当OP⊥x轴时周长最小，故最小值为14.

故当|yp|最大时，面积最大，因此当OP⊥x轴时面积最大，故最大

值为3√7

(3)设C(m,n),

直线CG、CH的方程分别；