2026届新高考数学考前冲刺最后一课常用构造函数的几种方法

2026届新高考数学考前冲刺最后一课常用构造函数的几种方法题型一题型选讲●命题分析近几年高考客观题中的压轴题多以导数为工具来解决，这类问题具有结构独特、技巧性高、综合性强等特点，而构造函数是解决导数问题的基本方法．构造函数的规律方法归类总结如下．构造具体函数比较大小●典例研析根据所给代数式(等式、不等式)中数学运算的相同点或结构形式的相同点，构造具体的函数解析式，利用导数研究该函数的性质．A．c<b<a

B．c<a<b

C．a<c<b

D．a<b<cA．b<a<c B．b<c<a

C．c<a<b D．c<b<a【答案】(1)C

(2)B题型二●方法技巧构造函数的基本规律(1)对于xf

′(x)＋f(x)>0(<0)，构造g(x)＝xf(x)．(2)对于xf

′(x)＋kf(x)>0(<0)，构造g(x)＝xkf(x)．(4)对于f

′(x)＋f(x)>0(<0)，构造函数g(x)＝exf(x)．利用导数的运算法则构造函数解不等式或比较大小(6)对于f

′(x)sinx＋f(x)cosx，构造F(x)＝f(x)sinx.(7)对于f

′(x)cosx－f(x)sinx，构造F(x)＝f(x)cosx．●典例研析2．(1)(利用f(x)与x构造)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，设函数f(x)的导函数为f

′(x),若对任意的x>0都有2f(x)＋xf

′(x)>0成立,则(

)A．4f(－2)<9f(3) B．4f(－2)>9f(3)C．2f(3)>3f(－2) D．3f(－3)<2f(－2)【答案】

(1)A

(2)A

(3)(0，＋∞)【解析】(1)根据题意，令g(x)＝x2f(x)，其导函数g′(x)＝2xf(x)＋x2f

′(x)，又对任意的x>0都有2f(x)＋xf

′(x)>0成立，则当x>0时，有g′(x)＝x[2f(x)＋xf

′(x)]>0恒成立，即函数g(x)在(0，＋∞)上为增函数，又由函数f(x)是定义在R上的偶函数，则f(－x)＝f(x)，则有g(－x)＝(－x)2f(－x)＝x2f(x)＝g(x)，即函数g(x)也为偶函数，则有g(－2)＝g(2)，且g(2)<g(3)，则有g(－2)<g(3)，即有4f(－2)<9f(3)．题型三●方法技巧与ex和lnx相关的常见同构模型(1)aea≤blnb⇔ealnea≤blnb，构造f(x)＝xlnx(或aea≤blnb⇔aea≤(lnb)elnb，构造g(x)＝xex)．(3)ea±a>b±lnb⇔ea±lnea>b±lnb，构造f(x)＝x±lnx(或ea±a>b±lnb⇔ea±a>elnb±lnb，构造g(x)＝ex±x)．利用同构法构造函数【答案】－e－3题型四构造双函数●方法技巧●典例研析4．(2023·湖南模拟)已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋1)＋1，h(x)＝kx＋b(k，b∈R)．(1)若直线y＝h(x)是曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的公切线，求h(x)的解析式；(2)直线y＝h(x)经过点(－1，－1)，理由如下：令函数φ(x)＝ex－x－1，则φ′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，φ′(x)＜0，φ(x)单调递减；当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增．故φ(