2026届新高考数学考前热点冲刺复习直观想象能力

2026届新高考数学考前热点冲刺复习直观想象能力能力阐释直观想象是数学核心素养之一,是指通过图形、图表、几何模型等直观工具,将抽象的数学概念、关系和问题转化为可视化的形式,从而帮助理解、分析和解决数学问题的综合能力.它是数学思维与空间想象力的结合,强调在抽象与直观之间建立联系,它不仅包括对图形的直接观察与分析,还涉及通过想象构建数学模型或动态过程的能力.具体内涵包括以下几个方面:直观想象能力是数学思维的重要工具,帮助我们以视觉化的方式理解抽象概念和复杂问题,从而更容易找到解决问题的途径,它通过“数”和“形”的互动,帮助学生从多角度探索数学本质,尤其在解决复杂问题时展现出不可替代的价值.能力表现数学直观想象作为核心素养的重要组成部分,其能力表现不仅体现在对图形、空间关系的直接感知,更强调通过直观与抽象的融合解决复杂问题.以下是进行直观想象的一般流程:

在高考中借助于直观想象能够快速构建问题模型,简化复杂运算,将直观的图形与抽象的数学进行结合,将形象思维与抽象思维结合,从而快速解决问题.能力评价水平质量描述水平一能够在熟悉的情境中,抽象出实物的几何图形,建立简单图形与实物之间的联系;体会图形与图形、图形与数量的关系.能够在熟悉的数学情境中,借助图形的性质和变换(平移、对称、旋转)发现数学规律;能够描述简单图形的位置关系和度量关系及其特有性质.能够通过图形直观认识数学问题;能够用图形描述和表达熟悉的数学问题、启迪解决这些问题的思路,体会数形结合.能够在日常生活中利用图形直观进行交流水平质量描述水平二能够在关联的情境中,想象并构建相应的几何图形;能够借助图形提出数学问题,发现图形与图形、图形与数量的关系,探索图形的运动规律.能够掌握研究图形与图形、图形与数量之间关系的基本方法,能够借助图形性质探索数学规律,解决实际问题或数学问题.能够通过直观想象提出数学问题;能够用图形探索解决问题的思路;能够形成数形结合的思想,体会几何直观的作用和意义.在交流的过程中,能够利用直观想象探讨数学问题水平质量描述水平三能够在综合的情境中,借助图形,通过直观想象提出数学问题.能够综合利用图形与图形、图形与数量的关系,理解数学各分支之间的联系;能够借助直观想象建立数学与其他学科的联系,并形成理论体系的直观模型.能够通过想象对复杂的数学问题进行直观表达,反映数学问题的本质,形成解决问题的思路.在交流的过程中,能够利用直观想象探讨问题的本质及其与数学的联系高考链接直观想象能力不仅是解决数学问题的重要方法与技能,也是一种良好的数学思维习惯.高考中多在立体几何、函数与导数、向量、解析几何等知识模块中进行考查.在近三年高考中,考查直观想象能力的试题分布情况如下:关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学抽象空间形式类直观想象

14,179,147,9,10,11理1012,14,189,14,20理15,理18理3,理8,理9,文19关键能力2025年2024年2023年新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷新高考Ⅰ卷新高考Ⅱ卷全国甲卷全国乙卷数学抽象图形分析类直观想象9

11,1717,19理7,文196,165,10,15,20理11,理14,文16,文19理14数形结合类直观想象4,7,10,176,117,12,16,185,6,15文3,理121516文10理5,理123.1空间形式类直观想象

[思维路径]

学友聊斋例2

(2023全国甲卷,理15)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有

个公共点.[思维路径]

[解题过程]

设EF的中点为O,则球O的直径为EF.因为O点也是正方体ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O点到各棱的距离均等于OE,故以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有12个公共点.[答案]12学友聊斋例3

(2023新高考Ⅰ卷,12,多选题)下列物体中,能被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有(

)A.直径为0.99m的球体B.所有棱长均为1.4m的四面体C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体[思维路径]

图1图2

图3①图3②学友聊斋能

力训

练A组

基础性题组题号选题理由1考查直线、平面平行、垂直的判定,注意利用空间形式进行直观想象2考查圆锥的高,注意将侧面展开图恢复圆锥,进行直观想象3考查线面角的正切值,需要借助作图直观想象,先求出圆台的上、下底半径再求角4以正方体为载体考查垂直、平行关系,要作图、建系,进行直观想象1.☆(2025天津卷,4)已知m,n为直线,α,β为平面,则下列说法正确的是(

C

)A.若m∥α,n⊂α,则m∥n B.若m⊥α,m⊥β,则α⊥βC.若m∥α,m⊥β,则α⊥β D.若m⊂α,α⊥β,则m⊥β[解题过程]

对于A,若m∥α,n⊂α,则m∥n或m,n异面,故A错误;对于B,若m⊥α,m⊥β,则α∥β,故B错误;对于C,设m∈平面γ,γ∩α=l,因为m∥α,所以m∥l,又m⊥β,所以l⊥β,所以α⊥β,故C正确;对于D,m⊂α,α⊥β,则m与β平行或相交或m⊂β,故D错误.故选C.

4.☆☆☆(2025安徽合肥一模,多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是棱C1D1上的动点(不含端点),下列说法中正确的有(

AB

)A.DC∥平面BPD1B.B1C⊥BPC.四面体PAB1C的体积为定值D.存在点P,使得平面BB1P⊥平面AA1P

B组

综合性题组题号选题理由1考查三棱锥的外接球体积,根据正棱锥的定义建立方程组求解2考查平行六面体的两部分体积之比,需作图辅助直观想象3考查两个三棱锥体积之比,需作图辅助直观想象4以正方体为载体考查位置关系、距离,需作图辅助直观想象5考查圆锥侧面积和动直线与平面平行,可由面面平行的性质证得

[解题过程]

对于A,由CD∥C1D1,C1D1⊂平面ABC1D1,CD⊄平面ABC1D1,得CD∥平面ABC1D1,则过CD的平面与平面ABC1D1相交,交直线AD1,AC1分别于点P,Q,必有PQ∥CD,因此有无数条直线PQ与直线CD平行,A正确;对于B,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C⊥BC1.由AB⊥平面BCC1B1,B1C⊂平面BCC1B1,得B1C⊥AB.而AB∩BC1=B,AB,BC1⊂平面ABC1D1,则B1C⊥平面ABC1D1,又PQ⊂平面ABC1D1,因此B1C⊥PQ,B错误;

C组

应用性题组题号选题理由1考查圆锥体积,可由题意抽象出圆锥模型进行直观想象2根据“羡除”的定义,采用割补法求体积3考查四面体体积,可由题意抽象出四面体模型进行直观想象4由题意作出截面示意图,将立体图形平面化,简化题目5本题考查翻折几何体中的线面平行和二面角,可以根据翻折前后的对应关系证明和建系计算

2.☆☆(2025浙江温州一模)如图所示的五面体ABCDEF为《九章算术》中记载的羡除,它指的是墓道或隧道,其中EF∥AD∥BC,四边形ADEF,ADCB,EFBC均为等腰梯形,平面ADEF⊥平面ADCB,EF=2,BC=3,AD=4,BC和AD间的距离为2,EF和AD间的距离为4,则该羡除的体积为

12

.

5.☆☆☆☆(2025新高考Ⅱ卷,17)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,点E在AB上,EF∥AD,AB=3AD,CD=2AD.将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A',使得面EFD'A'与面EFCB所成的二面角为60°.(1)证明:A'B∥平面CD'F;(2)求面BCD'与面EFD'A'所成的二面角的正弦值.[解题过程](1)证明:由题意知,EB∥FC,FC⊂平面CD'F,EB⊄平面CD'F,所以EB∥平面CD'F.又A'E∥D'F,D'F⊂平面CD'F,A'E⊄平面CD'F,所以A'E∥平面CD'F.又A'E∩EB=E,A'E,EB⊂平面A'EB,所以平面A'EB∥平面CD'F.又A'B⊂平面A'EB,所以A'B∥平面CD'F.(2)因为AB∥CD,∠DAB=90°,F为CD的中点,CD=2AD,EF∥AD,所以四边形AEFD为正方形且FD'=FC,所以EF⊥FC,EF⊥FD',又平面EFD'A'∩平面EFCD=EF,FD'⊂平面EFD'A',FC⊂平面EFCD,所以∠D'FC为平面EFD'A'与平面EFCD所成的二面角的平面角,所以∠D'FC=60°,所以△D'FC为等边三角形.

[方法2]取FC中点G,连接D'G,则D'G⊥FC.过点G作GH∥EF,交BE于点H.由题可得EF⊥平面FCD',则GH⊥平面FCD',又D'G,FC⊂平面FCD',所以GH⊥D'G,GH⊥GC.以点G为坐标原点,分别以GH,GC,GD'所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.

D组

创新性题组题号选题理由1由图形分析可以一笔画的图形所满足的条件,具有创新性2考查新定义“截交线”的长度,需要作图进行直观想象3以正方体为载体考查几何性质,题型较为灵活多变4考查旋转体体积,可利用圆锥与半球体积的差求解5本题考查四棱锥中的线面平行和线面角,可建立恰当的坐标系计算求解1.☆☆(2025云南昆明一模)从几何体的某一顶点开始,沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”,下列几何体可以“一笔画”的是(

C

)[解题过程]

从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点,凡是偶点组成的图形一定可以一笔画,所以C选项正确;从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点,凡是奇点组成的图形,必须满足只有两个奇点,其余点为偶点才