超几何分布高二下学期数学人教A版选择性必修三

课前自主学习

7.4.2

超几何分布第七章随机变量及其分布2026/5/57.4二项分布与超几何分布课时目标1.通过具体实例，了解超几何分布的概念与特征.2.会求超几何分布的概率及分布列.3.掌握超几何分布的均值的求解方法.

二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X~B(n，p).若X~B(n,p)，则有二项分布的均值与方差：二点分布是特殊的二项分布.

E(X)=

,D(X)=

.npnp(1-p)复习回顾0.课题引入

有放回抽样

采用不放回抽样，虽然每次抽到次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，各次抽取的结果不独立，不符合n重伯努利试验的特征，因此X不服从二项分布.探究新知【探究2】：已知100件产品中有8件次品，不放回的随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，求随机变量X的分布列.8件次品92件正品8件次品92件正品抽取4件产品4件正品8件次品92件正品抽取4件产品3件正品1件次品8件次品92件正品抽取4件产品2件正品2件次品8件次品92件正品抽取4件产品1件正品3件次品8件次品92件正品抽取4件产品4件次品100件产品探究新知思考：已知100件产品中有8件次品，采用不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为X，如何求随机变量X的分布列？

0，1，2，3，4X01234P

超几何分布（1）超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.N—总体中的个体总数M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量k—样本中的特殊个体数（如次品数)

记为X~H(N,n,M).（1）超几何分布一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,

m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.特点：(1)“总体由较明显的两部分组成”：如“男生、女生”，“正品、次品”；(2)不放回抽样：“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n件”.(3)随机变量是从总体中抽取的n个个体中某一类个体的数量.记为X~H(N,n,M).怎样判断一个变量是否服从超几何分布？为什么叫超几何分布？

是因为其形式与“超几何函数”的级数展式的系数有关。超几何分布，一词来源于超几何数列。

超几何数列是这样一个数列：从第2项起，每一项与前一项的比是一个关于项数n的有理函数。而超几何分布的概率公式是一个超几何数列的形式，所以就把这样的分布叫超几何分布。超几何分布列的每一个概率正好是某个超几何级数中的项.古典概型求概率的步骤100件产品中有8件次品，随机抽取4件，设抽取的4件产品中次品数为X一次性无顺序抽取有顺序抽取计算所求事件A所包含的样本点个数n(A)计算样本点总个数n(Ω)

计算概率思考：两种思路下不同的分布列有什么联系？（一）对比问题、探究方法【追问1】计算结果数时，考虑抽取的次序和不考虑抽取的次序，对分布列的计算有影响吗？没有影响.

M件次品N-M件正品抽取n件产品n-k件正品k件次品思考：你能结合Venn图的约束关系，探究随机变量取值k的取值范围吗？当N=10,M=4时,N-M=6,n=3.k的第一个值是

m=max{0,3-6},m=0;当N=10,M=4时,N-M=6,n=8.k的第一个值是

m=max{0,8-6},m=2.

M件次品N-M件正品n-k件正品k件次品抽取n件产品k的最后一个值是

r=min{3,4},r=3;k的最后一个值是r=min{8,4},r=4.当N=10,M=4时,N-M=6,n=3.当N=10,M=4时,N-M=6,n=8.牛刀小试

m＝max{0,n+M-N},

r＝min{n,M}.

设抽取的4件产品中次品数为X，①100件产品中有8件次品，无放回随机抽取4件，则X的的可能取值为_________②100件产品中有3件次品，无放回随机抽取5件，则X的的可能取值为_______③10件产品中有7件次品，无放回随机抽取5件，则X的的可能取值为________2,3,4,50,1,2,30,1,2,3,4M件次品N-M件正品n-k件正品抽取n件产品【例1】．辨析下列的随机变量，哪些服从超几何分布，哪些服从二项分布：(1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X；(2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X；(3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X；(4)某班级有男生25人，女生20人，选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X；(5)将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X；(6)盒中有4个白球和2个黑球，每次从中摸出1个球，摸出后不放回，记摸出的3个球中黑色球的个数为X.二项分布二项分布超几何分布超几何分布二项分布超几何分布1.超几何分布的概率及分布列判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点：(1)总体是否可分为两类明确的对象.(2)是否为不放回抽样.(3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数.

反思感悟解：设X表示选出的5名学生中含甲的人数（只能取0或1），则X服从超几何分布，

【例2】

从50名学生中随机选出5名学生代表，求甲被选中的概率.容易发现，每个人被抽到的概率都是.这个结论非常直观，上述解答过程就是这一结论的推导过程.因此甲被选中的概率为例题讲解辨模型定取值用公式且N＝50,M＝1,n＝5.1名甲49名非甲抽取5名代表4名非甲1名甲1.超几何分布的概率及分布列解：设X表示抽取10个零件中不合格品数，则X服从超几何分布，其分布列为【例3】

一批零件共有30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有1件不合格的概率.∴至少有1件不合格的概率为例题讲解3个不合格27个合格抽取10个零件27-k个不合格k个合格(直接法)(间接法)1.超几何分布的概率及分布列

反思感悟求超几何分布的分布列的步骤1.一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率.解：设抽出的2罐中有奖券的罐数为X，则X服从超几何分布，从而抽取2罐中有奖券的概率为2.学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会,已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到,求甲班恰有2名同学被选到的概率.解：设选到的4人中甲班同学的人数为X，则X服从超几何分布，从而甲班恰有2人被选到的概率为课堂练习（四）直观猜想、推理论证【探究3】服从超几何分布的随机变量的均值是什么？思考：你能结合Venn图和等比例分层抽样猜想超几何分布的期望吗？设随机变量X

服从超几何分布，则X

可以解释为从包含M件次品的N

件产品中，不放回地随机抽取n

件产品中的次品数.令，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率.我们猜想下面对均值进行证明.证明：令m＝max{0,n-N+M},

r＝min{n,M}.

由随机变量的定义：当m>0时，当m=0时，类似可以证明结论依然成立.若随机变量X服从超几何分布，则有我们猜想

2.超几何分布的均值

超几何分布二项分布试验类型

抽样

抽样试验种数有

种物品有

种结果总体容量

个

个随机变量取值的概率利用

计算利用

计算联系不放回放回两两有限无限古典概型独立重复试验对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，此时超几何分布近似二项分布.【追问2】超几何分布与二项分布有何区别与联系？2.超几何分布的均值2.超几何分布的均值【例4】（1）盒子里有5个球，其中3个白球，2个黑球，从中任取两球，设取出白球的个数为ξ，则E(ξ)＝____.（2）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，

则P(X<2)＝____，随机变量X的均值E(X)＝____.

反思感悟

2.超几何分布的均值课堂小结超几何分布的定义

MN－M

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布，记为X~H(N,n,M).

超几何分布的均值：课堂小结

超几何分布，这个看似复杂的数学概念，其实蕴含着一些深刻的寓意呢。

首先，超几何分布描述的是从有限个物件中抽取指定种类物件的过程，这本身就是一个筛选与选择的过程。在人生的旅途中，我们也常常面临各种选择和决策，就像是在一堆物件中挑选出我们真正需要或喜欢的东西。