数系的扩充和复数的概念 高一下学期数学人教A版必修二

7.1

复数的概念第七章

复数7.1.1

数系的扩充和复数的概念1.了解引进虚数单位i的必要性,了解数系的扩充过程.

2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.

3.掌握复数的表示方法,理解复数相等的充要条件.目录自主学习通道互动探究通道巩固提升通道高效课时作业自主交互学习通道自研教材

梳理必备知识自主学习通道1.复数的有关概念【问题导引】

我们知道,方程x2+1=0在实数集中无解.联系从自然数集到实数集的扩充过程,你能给出一种方法,适当扩充实数集,使这个方程有解吗?提示

为了解决x2+1=0这样的方程在实数系中无解的问题,我们设想引入一个新数i,使得x=i是方程x2+1=0的解,即使得i2=-1.自主学习通道【新知预习】

1.复数的定义:形如_____(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位.

__________构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.

2.复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部.a+bi全体复数自主学习通道2.复数的分类【问题导引】

(1)复数z=a+bi在什么情况下表示实数?提示

b=0.(2)如何利用集合关系表示实数集R和复数集C?提示

R⫋C.自主学习通道【新知预习】

复数的分类(1)设复数z=a+bi(a,b∈R).①z为实数⇔b=0,②z为______⇔b≠0,

③z为纯虚数⇔

__________.

(2)集合表示:虚数a=0且b≠0自主学习通道3.复数相等【问题导引】

(1)复数3+2i与1+2i相等吗?提示

不相等.(2)若a+bi=3+2i(a,b∈R),则a与b的值分别是什么?提示

a=3,b=2.【新知预习】

复数相等设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则z1=z2⇔__________.

a=c且b=d主动互动探究通道考教衔接

探究重点难点互动探究通道类型一

复数的概念【例1】

(1)已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于(

)A.-3 B.3 C.-1 D.1(2)下列命题中,真命题的个数是(

)①若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0.A.0B.1 C.2 D.3CA互动探究通道解析

(1)复数z1=1+3i的实部为1,复数z2=-1-ai的虚部为-a,则-a=1,解得a=-1.(2)①由于x,y∈C,所以x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,所以①是假命题.②由于两个虚数不能比较大小,所以②是假命题.③当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,所以③是假命题.故选A.互动探究通道(1)对于复数的实部、虚部,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实部、虚部.(2)虚数不能比较大小,但实数可以.若两个复数具有确定的大小关系(不含相等),则说明两个复数均为实数.互动探究通道

AB互动探究通道解析

(1)复数2-bi的实部为2,虚部为-b,由题意知2=-(-b),所以b=2.(2)对于A,-i2=(-1)×(-1)=1,故A错误;对于B,(-i)2=(-1)2×i2=-1,故B正确;对于C,两个虚数不能比较大小,故C错误;对于D,只有当a∈R,且a≠-3时,(a+3)i

才是纯虚数,故D错误.故选B.互动探究通道类型二

复数的分类【例2】

(苏教版教材必修第二册P120例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+(m-1)i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?解

(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.互动探究通道复数分类问题的求解方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.(3)下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),则①z为实数⇔b=0;②z为虚数⇔b≠0;③z为纯虚数⇔a=0且b≠0.互动探究通道[跟踪训练2]

若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则(

)A.a=-1

B.a≠-1且a≠2C.a≠-1

D.a≠2解析

由题意可得a2-a-2=0,且|a-1|-1≠0,所以a=-1.A互动探究通道类型三

复数相等的充要条件及应用【例3】

(苏教版教材必修第二册P121例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+

(3x+y)i,求实数x,y的值.

互动探究通道解决复数相等问题的基本步骤(1)等式两边整理为a+bi(a,b∈R)的形式;(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;(3)解方程组,求出相应的参数.互动探究通道[跟踪训练3]

(湘教版教材必修第二册P103例3)设x,y∈R,若复数(2x-4y)+

(3x+2)i=5+6i,求x,y.

互动探究通道[真题展示]

(2022·全国乙卷文T2改编)设a+b+2ai=2i,其中a,b为实数,则(

)A.a=1,b=-1 B.a=1,b=1C.a=-1,b=1 D.a=-1,b=-1

A互动探究通道教材原题(人教A版教材必修第二册P73习题7.1

T3)求适合下列方程的实数x与y的值:(1)(3x+2y)+(5x-y)i=17-2i;(2)(x+y-3)+(x-4)i=0.命题溯源高考题和教材习题考查角度完全一致,都是利用复数相等的条件求参数值,且其难度小于教材习题的难度.巩固提升通道当堂巩固

验收关键能力巩固提升通道巩固提升通道1.设复数z=3-4i,则z的虚部为(

)A.4

B.-4C.4i

D.-4iB解析

由题意复数z=3-4i,则z的虚部为-4.巩固提升通道2.若xi-i2=y+2i,x,y∈R,则复数x+yi等于(

)A.-2+i

B.2+iC.1-2i

D.1+2iB解析

由i2=-1,得xi-i2=1+xi,则由题意得1+xi=y+2i,根据复数相等的充要条件得x=2,y=1,故x+yi=2+i.巩固提升通道3.若复数z=m2-4+(m+2)i(i为虚数单位)是纯虚数,则实数m的值为____.

24.一个实部和虚部互为相反数的虚数是_______________.(写出一个即可)

1-i(答案不唯一)高效课堂课时作业123456789101112高效课时作业1.若复数z=3-5i,则复数z的虚部为(

)A.5i

B.-5C.5

D.-5iB解析

z=3-5i的虚部为-5.123456789101112高效课时作业

C

123456789101112高效课时作业

C

123456789101112高效课时作业4.若a,b∈R,i是虚数单位,a+2025i=2-bi,则a2+bi等于(

)A.2025+2i

B.2025+4iC.2+2025i

D.4-2025iD

123456789101112高效课时作业5.已知复数z=(k+1)i+k-1是纯虚数,则实数k=(

)A.0

B.2C.-1

D.1

D12346789101112高效课时作业56.(多选)对于复数a+bi(a,b∈R),下列说法正确的是(

)A.若a=0,则a+bi为纯虚数

B.若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1C.若b=0,则a+bi为实数

D.i的平方等于1解析

对于A,当a=0,b=0时,a+bi=0为实数,故A错误;对于B,若a+(b-1)i=3-2i,则a=3,b=-1,故B正确;对于C,若b=0,则a+bi=a为实数,故C正确;对于D,i的平方为-1,故D错误.BC12346789101112高效课时作业57.若m为实数,复数z=m-2+(m2-4)i≥0,则m=____.

212346789101112高效课时作业58.已知(x+y-3)+(x-2)i=0(x,y∈R),则x-y=_____.

1

12346789101112高效课时作业59.求满足下列条件的实数x与y的值.(1)(3x-4)+(2y+3)i=0;(2)(3x+2y)+(5x-y