平面与平面平行练习题

平面与平面平行练习题在立体几何的学习中，平面与平面的平行关系是极为重要的构成部分。它不仅是空间想象力的直接体现，也是后续解决复杂几何问题的基础。掌握平面与平面平行的判定与性质，能够帮助我们更深刻地理解空间中点、线、面之间的内在联系。下面，我们将通过一系列有针对性的练习题，从基础概念到综合应用，逐步深化对这一知识点的理解与运用。一、基础判断题（请判断下列说法的正误，并简述理由）1.如果一个平面内有一条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行。2.如果一个平面内有两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。3.平行于同一条直线的两个平面一定平行。4.若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行。5.如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。思路点拨：此类问题主要考察对平面与平面平行判定定理及性质定理的准确理解。尤其要注意判定定理中“两条相交直线”这一核心条件，以及性质定理的单向性与双向性。二、核心证明题类型一：直接利用判定定理证明面面平行例1：已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AA₁、CC₁的中点。求证：平面EB₁D₁平行于平面FBD。思路分析：要证明两个平面平行，根据判定定理，需在其中一个平面内找到两条相交直线分别平行于另一个平面。在正方体中，利用中点性质和棱与棱的平行关系是常用手段。可以考虑连接一些辅助线，构造出这样的相交直线。例如，B₁D₁与BD的位置关系如何？能否找到平面EB₁D₁内的两条相交直线分别平行于平面FBD内的两条相交直线？证明简述：（此处应详细写出辅助线作法、线线平行的证明过程，最终归结到线面平行，再由“两条相交直线”的条件得出面面平行。例如，可证B₁D₁∥BD，进而B₁D₁∥平面FBD；再证EF∥AD，AD∥BC，从而EF∥BC，且EF=BC，得到四边形EFBC为平行四边形，得出EB₁∥FC，进而EB₁∥平面FBD。因为B₁D₁与EB₁相交，所以平面EB₁D₁∥平面FBD。）类型二：结合线面平行证明面面平行例2：已知平面α外的一条直线a平行于平面α，过直线a的平面β与平面α相交于直线b，直线c在平面α内，且c∥b。求证：平面β平行于过直线a和直线c的平面γ。思路分析：题目中已经给出了线面平行（a∥α）和线线平行（c∥b）。根据线面平行的性质定理，a与b的位置关系如何？再结合c∥b，能否得到a与c的位置关系？要证明平面β∥平面γ，需要在平面β内找到两条相交直线平行于平面γ，或者反之。直线a同时在平面β和平面γ内，这是一个关键的连接点。证明简述：（首先由a∥α及α∩β=b，可得a∥b。又因为c∥b，所以a∥c。由于c在平面γ内，a不在平面γ内，可得a∥平面γ。又因为平面γ过直线a和c，思考平面β内除了a之外，是否还有直线与平面γ平行？或者，平面γ内有两条相交直线平行于平面β？）三、性质应用题类型一：利用面面平行证线线平行例3：已知平面α∥平面β，直线m在平面α内，直线n在平面β内。若直线m和直线n是两条异面直线，直线l与m平行，且l与n相交于点P。求证：直线l与平面β平行。思路分析：已知α∥β，m在α内，则m与β的关系是什么？l∥m，那么l与α的关系又如何？要证l∥β，已知α∥β，能否通过构造一个与α、β都相交的平面，或者利用l与β内某条直线平行来证明？点P的位置是n与l的交点，n在β内，这提示我们可以过点P和直线m作一个平面，与β相交，从而找到联系。类型二：利用面面平行求距离或角度例4：已知平面α∥平面β，点A、B在平面α内，点C、D在平面β内。若AC与BD是异面直线，且AC的长度为a，BD的长度为b，AC与BD所成的角为θ，求平面α与平面β之间的距离（用含a、b、θ的式子表示，不必化简）。思路分析：两平行平面间的距离是指夹在它们之间的公垂线段的长度。直接求公垂线段可能较困难。但利用面面平行的性质，我们可以将异面直线AC、BD所成的角及长度关系，转化为在一个平面内的问题。例如，过点A作直线AE平行于BD，交平面β于点E，那么AE与AC所成的角即为θ，AE的长度等于BD的长度b。此时，A、C、E构成一个三角形，平面α与β的距离即为点C到平面ABE的距离，或者说是这个三角形中某条边上的高？四、综合提升题例5：在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是棱BC、B₁C₁的中点。若平面A₁EB平行于平面ADC₁，求证：三棱柱ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱。思路分析：这是一道将面面平行与棱柱性质相结合的题目。已知平面A₁EB∥平面ADC₁，我们需要从中推导出侧棱与底面垂直的关系。首先，应回顾三棱柱的结构特征，以及直三棱柱的定义。D、E分别为中点，提示我们可能需要构造中位线，利用平行关系。例如，A₁E与AD的位置关系？BE与DC₁的位置关系？由面面平行的性质定理，它们应该是平行的。再结合棱柱的性质，逐步分析侧棱AA₁与底面ABC的关系。证明提示：（可先证明A₁E∥AD，BE∥DC₁。由E是B₁C₁中点，D是BC中点，且B₁C₁∥BC，B₁C₁=BC，可得EC₁∥BD且EC₁=BD，从而四边形BDC₁E为平行四边形，故BE∥DC₁。对于A₁E∥AD，可连接DE，证明A₁ADE为平行四边形。得到A₁A∥DE且A₁A=DE。若能证明DE⊥BC，则A₁A⊥BC，类似地可证A₁A⊥AC或AB，从而得证。）总结与提示解决平面与平面平行的相关问题，关键在于深刻理解并灵活运用其判定定理和性质定理。1.判定面面平行：核心在于找到“一个平面内的两条相交直线”分别平行于另一个平面。常需结合线面平行的判定来实现。2.应用面面平行性质：主要用于证明线线平行（通过第三个平面的交线）或线面平行，也可用于解决空间中的距离和角度问题，其本质是将空间问题转化为平面问题。3.辅助线与辅助面：在复杂问题中，构造恰当的辅助线或辅助面是沟通已知与未知的桥梁，特别是中点、中位线、平行四边形等元素的运用。4.