2026年数字信号处理考试题及答案

2026年数字信号处理考试题及答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1.已知离散时间信号x[n]=δ[n]+2δ[n-1]，其Z变换X(z)为A.1+2zB.1+2z⁻¹C.1-2z⁻¹D.2+z⁻¹答案：B2.对连续信号x(t)=cos(2π·3kHz·t)以f_s=8kHz采样，所得序列x[n]的离散频率ω为A.π/2B.3π/4C.π/4D.2π/3答案：B3.下列关于线性时不变系统稳定性的说法正确的是A.冲激响应绝对可和B.系统函数极点均在单位圆外C.频率响应存在傅里叶逆变换D.输入有界则输出无界答案：A4.用窗函数法设计FIR低通滤波器，若要求过渡带宽度Δω=0.04π，则凯泽窗参数β≈A.2.12B.3.38C.5.65D.7.85答案：C5.对8点实序列x[n]做基2-FFT，所需复乘次数为A.12B.24C.48D.64答案：B6.已知系统函数H(z)=1/(1-0.5z⁻¹)，|z|>0.5，其差分方程为A.y[n]=x[n]+0.5y[n-1]B.y[n]=x[n]-0.5y[n-1]C.y[n]=x[n-1]+0.5y[n]D.y[n]=0.5x[n]+y[n-1]答案：A7.双线性变换将模拟极点s=-1映射到数字域的极点位置为A.z=1/3B.z=1/2C.z=0D.z=-1答案：A8.对周期序列x̃[n]（周期N=5）做DFS，其系数X̃[k]的周期为A.5B.10C.1D.无限答案：A9.采用均匀量化，若信号峰值±1V，量化级数L=256，则量化信噪比约A.44dBB.50dBC.56dBD.62dB答案：B10.对IIR滤波器H(z)=1/(1-1.2z⁻¹+0.36z⁻²)进行稳定性判断，其极点位于A.单位圆内B.单位圆外C.单位圆上D.z=0答案：A二、多项选择题（每题3分，共15分，多选少选均不得分）11.下列属于线性相位FIR滤波器充分必要条件的是A.单位冲激响应实值B.对称或反对称C.群延迟为常数D.零点共轭倒数成对答案：BCD12.关于DFT性质，正确的是A.循环卷积对应频域乘积B.实序列DFT满足共轭对称C.补零可提高频率分辨率D.频率采样定理要求N≥L答案：ABD13.下列算法可用于谱估计的是A.Welch法B.MUSICC.Levinson-DurbinD.Yule-Walker答案：ABD14.造成IIR滤波器有限字长效应对极点位置敏感的结构有A.直接Ⅰ型B.直接Ⅱ型C.级联型D.并联型答案：AB15.多速率系统内插环节包含A.上采样B.抗镜像滤波C.下采样D.抗混叠滤波答案：AB三、填空题（每空2分，共20分）16.序列x[n]=u[n]-u[n-4]的8点DFT中X[0]=________。答案：417.已知系统频率响应H(e^{jω})=e^{-j2ω}cosω，其群延迟τ_g(ω)=________。答案：218.用汉宁窗设计N=31的FIR低通，截止ω_c=0.3π，则过渡带宽度约________π。答案：0.219.信号x[n]=cos(0.5πn)通过系统H(z)=1+z⁻¹，输出稳态幅度为________。答案：√220.对模拟带通信号（带宽4kHz）以最小采样率采样，所需f_s=________kHz。答案：821.采用8bit定点补码，量化步长q=2⁻⁷，则溢出阈值为________。答案：122.若x[n]的Z变换X(z)=z/(z-0.25)，|z|>0.25，则x[∞]=________。答案：023.线性相位FIR类型Ⅲ的相位表达式为θ(ω)=________。答案：-ω(N-1)/2+π/224.对序列x[n]={1,2,3,4}做4点DIT-FFT，第二级输入顺序为________。答案：{1,3,2,4}25.已知功率谱估计Ŝ_x(e^{jω})=1/(1-0.81e^{-jω})，对应AR模型阶数p=________。答案：1四、简答题（每题6分，共18分）26.简述窗函数法设计FIR滤波器的步骤，并指出凯泽窗优于矩形窗的两点原因。答案：步骤：①确定理想频率响应H_d(e^{jω})；②求理想冲激响应h_d[n]=IDTFT{H_d}；③选窗w[n]并截断h[n]=h_d[n]w[n]；④验证指标，若不满足则调整窗长N或窗类型。优点：凯泽窗可通过β连续调节主瓣宽度与旁瓣衰减，旁瓣峰值低于矩形窗约40dB，且相同过渡带下所需阶数更低。27.说明双线性变换中频率预畸变的目的及公式，并给出实例计算。答案：目的：抵消非线性频率映射造成的截止频率偏移。公式：Ω_p=(2/T)tan(ω_p/2)。实例：设计数字低通ω_p=0.2π，T=0.1ms，则预畸变模拟截止Ω_p=2·10⁴·tan(0.1π)=6498.3rad/s。28.解释Gibbs现象产生原因，并给出两种抑制方法。答案：原因：对理想滤波器无限长h_d[n]直接截断导致频域收敛不一致，间断点处存在9%过冲。方法：①采用渐缩窗（如汉明、凯泽）平滑截断；②增加滤波器长度N以减小过渡带，使过冲能量分散。五、计算题（共45分）29.（8分）已知x[n]=0.8ⁿu[n]，求其通过系统H(z)=1/(1-0.5z⁻¹)的零状态响应y[n]，并给出闭合表达式。解：Y(z)=X(z)H(z)=1/[(1-0.8z⁻¹)(1-0.5z⁻¹)]，部分分式：Y(z)=A/(1-0.8z⁻¹)+B/(1-0.5z⁻¹)，A=[(1-0.8z⁻¹)Y(z)]|_{z⁻¹=1.25}=1/(1-0.5/0.8)=8/3，B=[(1-0.5z⁻¹)Y(z)]|_{z⁻¹=2}=1/(1-0.8·2)=-5/3，故y[n]=(8/3·0.8ⁿ-5/3·0.5ⁿ)u[n]。30.（10分）对实序列x[n]={1,2,3,4}做4点FFT，要求：（1）画出DIT流图并标注每级旋转因子；（2）给出频域结果X[k]；（3）利用结果计算循环卷积y[n]=x[n]④x[n]。解：（1）流图：第一级蝶形输入顺序{0,2,1,3}，旋转因子W₄⁰=1，W₄¹=-j；第二级W₄⁰=1，W₄²=-1。（2）X[k]={10,-2+2j,-2,-2-2j}。（3）Y[k]=X²[k]={100,-8j,4,8j}，IDFT得y[n]={30,28,22,20}。31.（12分）设计一阶巴特沃斯低通IIR滤波器，要求3dB截止频率f_c=1kHz，采样率f_s=8kHz，（1）给出模拟原型系统函数H_a(s)；（2）用双线性变换求H(z)；（3）画出直接Ⅱ型结构并写出差分方程；（4）计算量化系数至8bit定点时的最大极点偏移。解：（1）Ω_c=2π·1000=2000π，H_a(s)=Ω_c/(s+Ω_c)=2000π/(s+2000π)。（2）预畸变Ω_p=(2/T)tan(ω_c/2)=16000tan(π/8)=6627.4rad/s，H(z)=Ω_pT/(1+z⁻¹)/[1-z⁻¹+Ω_pT(1+z⁻¹)]=0.2929(1+z⁻¹)/(1-0.4142z⁻¹)。（3）直接Ⅱ型：w[n]=x[n]+0.4142w[n-1]，y[n]=0.2929w[n]+0.2929w[n-1]。（4）8bit量化步长q=2⁻⁷，系数0.4142量化误差±q/2，极点偏移Δp≈|∂p/∂a|·q/2=1·2⁻⁸=0.0039，相对偏移0.94%。32.（15分）多速率系统如图所示：x[n]→↑3→H(z)→↓2→y[m]，其中H(z)为FIR低通，通带0≤|ω|≤π/3，阻带π/2≤|ω|≤π，δ_p=0.01，δ_s=0.001。（1）给出H(z)的阶数估算公式及结果；（2）若采用多相分解实现，给出polyphase分量E_k(z)的表达式；（3）计算每秒乘法次数与直接实现相比的节省比例；（4）讨论若将H(z)换为半带滤波器，是否满足指标并说明原因。解：（1）凯泽窗公式N≈(A-7.95)/(2.286Δω)，A=-20log₁₀√(δ_pδ_s)=60，Δω=π/2-π/3=π/6，得N≈115。（2）三polyphase分量：E₀(z)=h[0]+h[3]z⁻¹+…，E₁(z)=h[1]+h[4]z⁻¹+…，E₂(z)=h[2]+h[5]z⁻¹+…，共39阶。（3）输入速率f_s，输出速率f_s/2，每输出点多相乘法39，直接实现115，节省比例(115-39)/115≈66%。（4）半带滤波器仅适合δ_p=δ_s，且通阻带对称，本例δ_p≠δ_s，故不满足。六、综合分析题（共22分）33.（22分）某16bit音频系统需对48kHz采样信号进行实时降噪，已知噪声为宽带白噪声，目标信噪比提升20dB，通带0~20kHz，过渡带20~22kHz，阻带22~24kHz，允许通带波纹0.05dB，阻带衰减80dB。（1）选择FIR或IIR方案并给出理由；（2）确定滤波器阶数与结构；（3）给出系数量化至16bit时的噪声增益估算；（4）设计基于重叠保留法的实时实现框图，计算每秒所需MAC数；（5）若改用子带自适应滤波，简述两级结构并比较计算量。解：（1）选FIR：线性相位无失真，稳定性好，适合音频相位保真。（2）凯泽窗：A=80dB，Δω=2π(2k/48k)=π/12，N≈(80-7.95)/(2.286·π/12)≈1201，采用对称直接型。（3）16bit量化噪声方差σ_q²=2⁻³²/12，噪声增益G