2026年高考数学复习：一元函数的导数及其应用解析版

第1讲一元函数的导数及其应用（一）

考情

本讲为重要知识点，也是高中的难点。题型主要围绕导数的几何意义结合函数的思想考察。

基本会考察一题关于函数本身的基础题和一道导数大题，第一问对于几何意义的考察属于

基础知识，必须掌握，第二问的题型相对较多，需要对于导数的应用和函数的思想相结合

去理解其中的变形目的。

⑥考点梳理

考点一导数的概念及运算

1.导数的概念

一般地，函数y=f（x）在x=&）处的瞬时变化率lim竺=lim/（/十八丫）—/。。）为函数y=f（x）

—AvAir。Ax

在x=Xo处的导数，记作f'（Xo）或y'仅=玉）即f'（Xo）=lim"=lim-.

ADAvAt-＞。Ar

称函数f'（x）=lim八凡'"）―/（%）为f（x）的导函数.

—加-

2.导数的几何意义

函数f（x）在点选处的导数十（x。）的几何意义是在曲线y=f（x）上点P（x。，f（x。））处的切线的

斜率.相应地,切线方程为y—f（x°）=f'（x°）（x—x。）.

3.基本初等函数的导数公式

基本初等函数导函数

f（x）=c（c为常数）f7(x)=0

f(x)=sinxff(x)=cos_x

f(x)=exf'(x)=ex

fz(x)=l

f(x)=lnx

X

f(x)=xu(aWQ")fz(x)=axa_l

f(x)=COSXf'(x)=-sin_x

f(x)=a'(a〉0,aWl)ff(x)=axln_a

f(x)=logx(a>0,aWl)「(x)=L

rtx\nx

4.导数的运算法则

rz

(iHf(x)±g(x)r=t(x)±g(X)；

⑵[f(x)・g(x)]‘=f'(x)g(x)+f(x)gz(x)；

⑶「生斗(g(x)WO).

[_gM]IsMf

5.常用结论

Lf,(x。)代表函数f(x)在x=x。处的导数值;(f(x。))「是函数值f(x。)的导数，且(f(x。)”=

0.

211——广⑴

・J⑹[/«12/

3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共

・占、、、•

4.函数y=f(x)的导数1(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向,

其大小(x)|反映了变化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

考点二利用导数研究函数的单调性

1.函数的单调性与导数的关系

函数y=f(x)在区间(a,b)内可导，

⑴若f'(x)>0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递增函数；

⑵若伊(x)<0,则f(x)在区间(a,b)内是单调递减函数;

⑶若恒有f'(x)=0,则f(x)在区间(a,b)内是常数函数.

~~讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式，求解时，要坚持“定义域优

先”原则.

2.常用结论汇总一一规律多一点

⑴在某区间内广(x)>0(#(x)<0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件.

⑵可导函数f(x)在(a,b)上是增(减)函数的充要条件是对Vx£(a,b),都有

f/(x)20(f‘(x)W0)且f'(x)在(a,b)上的任何子区间内都不恒为零.

考点三利用导数解决函数的极值最值

1.函数的极值

⑴函数的极小值：

函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f'(a)=0；

而且在点x=a附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点,

f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.

⑵函数的极大值：

函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f'(b)=0；

而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点,

f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.

极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.

"""①函数f(x)在X。处有极值的必要不充分条件是f'(x0)=0,极值点是f'(x)=0的根，但

f'(x)=0的根不都是极值点(例如f(x)=x\f'(0)=0,但x=0不是极值点).

②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在

区间内部的点，不会是端点.

2.函数的最值

⑴在闭区间［a,b］上连续的函数f(x)在［a,b］上必有最大值与最小值.

⑵若函数f(x)在［a,b］上单调递增,则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数

f(x)在［a,b］上单调递减，则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.

3常用结论

L对于可导函数f(x),"f’于。)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.

2.求最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认

为极值就是最值.

3.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大

小关系.

考点四利用导数研究生活中的优化问题

1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题.

2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.

3.解决优化问题的基本思路是什么？

答案

上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程.

4.对于优化问题，建立模型之后需要对模型进行最大值最小值的求解，从而转化为导数求极值

最值问题.

隹]题型剖析

高频考点一导数的概念及其意义

例1、函数的图象如图所示，/4、)是函数/")的导函数，则下列数值排序正确的是

A.2/(3)</(5)-/{3)<2/(5)B.2八3)<2"5)<〃5)-八3)

C./(5)-/(3)<2/(3)<2/(5)D.2/(3)<2/(5)</(5)-/(3)

【答案】A

【详解】由图知：/'⑶<[⑶/45),即2r(3)</(5)-/(3)<2/(5).

故选：A

【变式训练】

1、若函数/(x)=alnx-2在点(1,y(i))

处的切线的斜率为1,则/+〃的最小值为()

X

A.yB.也C.4唱

22

【答案】A

【详解】由已知r@)，+七，所以八1)=。+〃=1,

XX

/+/之小包1」，当且仅当45二时等号成立.

222

故选：A.

高频考点二导数的运算

例1、已知〃已=ln“-3八e)x,求/(e)=()

A.-3B.--3C.1-eD.[

e4

【答案】D

(详解】由fM=lnx-3尸(e)x得f(x)=--3r(e),将x=e代入/(%)=-!--3/(e)得

XX

r(e)」-3/'(e)n/'(e)=l，

e4e

3771

i^f(x)=\nx-^-x,|^|jlk/(e)=lnc-^-xe=l-Y=-，

4e4e44

故选：D

【变式训练】

1、函数f(x)=Wn(.・l)的图像在点(2,0)处的切线方程为()

A."2x-4B.3,=2x+l

C.y=2x-3D.y=2x-\

【答案】A

【详解】对函数/(x)=Hn(x-i)求导，得

x-1

所以r(2)=Inl+>2,即函数〃x)=En(%-l)的图像在点(2,0)处的切线斜率为2,

所以函数/(M=gn(x-1)的图像在点(2,0)处的切线方程为y=2(x-2),即y=2x-4.

故选：A

高频考点三导数在研究函数中的应用

例1、已知函数/(x)=ge、，直线)，=依与函数/(用的图象有两个交点，则实数k的取值范围为

)

,、(1A

当过原点的直线)，=奴与函数，(x)的图象相切时，设切点为尸也3屋，

由尸(x)=；e)可得过点P的切线方程为叫x-M，

代入点(0,0)可得-3'=—3一解得加=1,此时切线的斜率为:e,

由函数的图