2026年高二数学人教A版练习：一元函数的导数及其应用（含答案解析）

2026学年高二人教A版《一元函数的导数及其应用》

一,单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的,

1.若lim⑶=3,则((3)=()

A.-3B.-1C.1D.3

2.已知函数/(%)=In%,导函数为「(x),那么尸(2)等于()

A.-；B,-iC.1D.l

3.直线y=5%+b是曲线y=/+2%+1的一条切线，则实数b=()

人.一1或1B.-1或3C.-1D.3

4.已知函数/(X)=/一2瓶/+7n2%在％=1处取得极大值，则7九的值为()

A.1B.3C.1或3D.2或一2

5.设函数/(x)在R上可导，其导函数为/'(x),且函数>=(1一%)((无)的

图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()

AJQ)有极大值/'(-2)

BJQ)有极小值/'(一2)

C/Q)有极大值/(I)

D.f(%)有极小值/'(1)

6.若函数/。)=空(%>1)有最大值一4,则实数Q的值是()

A.1B.-1C.4D.-4

7.已知函数/(x)=靖一"Q/+3在(0,+8)上单调递增，贝必的最大值是()

A.1B.2C.eD.3

8.已知函数/(无)的定义域为R,且/(%)>尸(%)+1,/(0)=3,则不等式/0)>2靖+1的解集为()

A.(—8,0)B.(0,十8)C.(—8,1)D.(1,十8)

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.下列计算正确的是()

A.(e-xy=-e-xB.(»二9

C.(sin2x)z=2cos2xD.(lgx)z=:

10.函数f(x)=x3—3/,下列说法正确的是()

A.f(x)在区间［1,3］上是增函数

8./。+1)+2是奇函数

C.f(%)在区间［-1,1］上的值域为［-4,-2］

D.若方程/■(%)-m=0在R上有三个不同实根，则实数血的取值范围为(一4,0)

11.已知函数/(x)=(x-2)3+4r-8,若实数TH,九满足不等式/(2m-n)+/(4-n)>0,则()

A.sinm>sinnB.m+em>n+enC.Inm>InnD.m3>n3

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.函数/'(%)=e*cos2x的导函数f'(x)=.

13.函数/'(%)=/一在口,3］上的最小值为.

14.设函数/(%)=—,g(x)=三,则函数g(x)=^(x>0)的最大值为；若对任意与，x2G

(0,+8),不等式当12w缜恒成立，则正数k的取值范围是_____.

KK十］

四,解答题：本题共5小题，共77分°解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)

求下列函数的导数：

4

(%=F+1

(2)y=xsinx+cos2x；

X

(3)y=log2x+2

16.(本小题15分)

已知函数/t(x)=2x3-ax2+4,x=1是函数/(%)的一个极值点.

(1)求函数/(%)的增区间；

(2)当％e［-1,2］时,求函数fQ)的最小值.

17.(本小题15分)

己知函数f(x)=ex+x2-x+1.

(1)求函数/(外的极值；

(II)证明：f(x)>3x.

18.(本小题17分)

己知x=3是函数/(x)=aln(l+x)+x2-10%的一个极值点.

(1)求实数a的值；

(2)求函数/(%)的单调区间；

(3)若直线y=b与函数y=/(x)的图象有3个交点，求实数b的取值范围.

19.(本小题17分)

函数/'(x)=Inx-mx+2.

(1)求函数y=f(x)的单调区间；

(2)若/(x)<(2-xXex+m-1)在xG(0,2］恒成立，求实数m的取值范围.

2026学年高二寒假预习人教A版《一元函数的导数及其应用》

答案和解析

1.【答案】0【解析】解：根据导数的定义，f<3)=limf(3+))—f(3)=3.

dX-»04X

2.【答案】C解：函数/(%)=lnxf则广(%)=i,所以尸(2)=

3.【答案】8解：设切点y1=3x24-2,则3m2+2=5,解得m=1或m=—1；

若m=1,则九=5+b=l34-2xl+l=4=i>b=-1；

若m=-1,则九=—5+b=(—I)，+2x(―1)+1=—2=匕=3；

综上所述，b=-l或3,

故选：B.

4.【答案】B

解：=x3-2mx2+m2x,f'(x)-3x2-4mx4-m2,

•••函数f(x)在x=1处取得极大值，•••/'(I)=3-4m+m?=o,解得m=l或3,

m=1时，:.f(x)=3x2-4x+1=(3x—l)(x—1),

可得x=1是函数/'(%)的极小值点，舍去；

m—3时»:.f'(x)—3x2—12x+9=3(x—l)(x—3),

可得x=1是函数/(x)的极大值点.

则m=3.

故答案选：B.

5.【答案】A

解:由函数y=(l-％)/'(%)的图象可知,

%>1时,(l-x)f(x)>0,1-x<0,则>(x)V0；

-2VXV1时，(1-x)f(x)<0,l-x>0,f(x)<0；

%<-2时,(1-x)f(x)>0,l-x>0,f(x)>0.

.•・函数r(x)在(-8,-2)上单调递增，在(一2,1)上单调递减，在(1,+8)上单调递减.

•・•/(%)有极大值/(一2).

故选：A.

6.【答案】B

解：由函数/(、)=誓则⑴J言会严二等,

当Q=0时，显然不合题意;

当Q>0时，

则当X6(1,2)时,f(x)<0,函数/(%)在(1,2)上单调递减,

当X6(2,+8)时，f(x)>0,函数f(x)在(2,+8)上单调递增，

此时函数没有最大值；

当QV0时，

则当口€(1,2)时,f(x)>0,函数f(%)在(1,2)上单调递增,

当KW(2,+8)时，f(x)<0,函数f(x)在(2,+8)上单调递减，

所以当％=2时，函数/(%)取得最大值，即/(x)max=f(2)=若"=-4,解得。=一1,满足题意，故选

B.

7.【答案】C

解：因为/(%)=e*—+3,所以尸(%)=e，-ax.

因为f(x)在(0.+8)上单调递增，

所以对任意的％e(0,+co),f'(x)=ex-ax>0恒成立，

即对任意的xe(0,+8),a<^.

设9(x)=：x>0,则g'(x)=(x-2)eX-

由g'(%)>0，得％>1，由g'(x)<0，得Ovxvl，

从而g(x)在(0,1)上单调递减，在［1,+8)上单调递增，

故g(x)之g(l)min=e,BPa<e.

所以a的最大值是e.

故选C

8.【答案】A

解:令痔)=里二，求导得娟出=但坐江=小中”

Cv

因为/(%)>f(x)+1,所以g'(x)=/'叫一八幻<0在R上恒成立，

所以。(乃=写匚在R上单调递减，又因为f(x)>2ex+1,

所以号」>2=3—1=写匚，即g(x)>g(0),所以XV0,

所以不等式/(%)>2ex+1的解集为(一8,0).

9.【答案】AC

解：A.0-号=-6-3故A正魂；8.(》'二一也故8错误；

C.(sin2x)/=2cos2%,故C正确；D.(lgx)z=招行，故。错误.

10.【答案】BD

【蟀析】解：对于/，由/''(%)=3/-6x=3x(%—2),

当f'(x)=3x(%—2)>。，得XV。或%>2，即/(%)二7一3炉在(一8,0),(2,+8)上单调递增,

当「(%)=3x(%-2)<0,得0VxV2，即/'(%)=x3-3M在。<“<2上单调递减，

从而可得八%)在区间［1,2］上单调递减，在区间［2,3］上单调递增，故A错误；

对于B,由/(X)=/(x4-1)4-2=(x+I)3-3(x+I)24-2=x?-3x,

F(-x)=(-x)3-3(-x)=-(x3-3x)=-F(x),所以f(%+1)+2是奇函数，故8正确;

对于C,由f(x)在区间［—1,0］上单调递增，在区间［0,1］上单调递减，

且/'(T)=-1-3=-4,/(0)=0J(l)=1-3=-2,

所以/'(X)在区间上的值域为［一4,0］,故C错误；

对于D,由/•(%)="3—3/在(一8,0),(2,+8)上单调递增，在0vx<2上单调递减，

且/(0)=0,/(2)=8-12=-4,当x->-oo,/(x)->-oo,当x->4-oo,f(x)T+<X>,

所以方程/'(x)—m=0在R上有三个不同实根，则实数m的取值范围为(-4,0),故。正确；

故选:BD

11.【答案】BD

解：•••/O)=(%-2)3+4x-8的定义域为R,y=7+4x为奇函数，

函数y=x3+轨的图象向右平移两个单位可得/\x)的图象，

/(X)=(X-2)3+4x-8关于点(2,0)对称，

二/(4-x)+/(x)=0,；/'(%)=3(x-2/+4>0,

/(外=(x-2)3+4x-8在R上为增函数，

由f(2m-n)+/(4-ri)>0化为/'(2m-n)>-/(4-n)=f(ii),

等价于2m-n>zi,

m3>n3,TH4-em>n+”成立，

m>n不能推出sinm>sinn,tnm>Inn.

故选BD.

12.【答案】excos2x—2exsin2x

解：函数/(%)=e"cos2x的导函数/''(")=(ex>)'cos2x+ex(cos2xY=excos2x—2exsin2x.

故答案为:excos2x—2exsin2x.

13.【答案】-e2

解:f(x)=ex-e2,

令［(x)>0,解得：x>2；f(x)<0,解得：x<2,

・•./(%)在口,2)上单调递减，在(2,3］上单调递增，

•••fWmin=f(2)=-e2

故答案为：一。2.

14.【答案】9［七,+8)

解；••・。(》)=*。>0)，♦wa)=^?=宗，

由>0可得0<X<1,此时函数9(%)为增函数；

由g'(x)<0可得力>1,此时函数g(x)为减函数；

.••成乃的最大值为9(1)=；：

若对任意％i，x€(0,4-oo),不等式,恒成立,且々>0,

2K.化K十?1

则等价为噤与恒成立，

/92)k+1

f(x)==x+：>2J%=2,当口仅当为=［即x=1时等号成立，

即f(x)的最小值为2,且g(x)的最大值为g(l)=%

-1l

X_

2则由讦看得”(2e—1)之1,即k'*p

2e

所以k的取值范围为［£,+8)；

故答案为5年3,+8).

15.【答案】解：(l)・；y=g，

C八十JL

，(4)(ex+1)-4(ex+1)-4ex

**•y=2=7；

(ex+1)(ex+1)

(2)vy=xsinx+cos2x,

：•y'=(x)zsinx4-x(sinx)z+2(-sin2x)=sinx+x•cosx-2sin2x;

X

(3)y=log2X+2,

"'=焉+2'ln2.

16.【答案】解：=6x2-2ax,

因为x=1是函数/(%)的一个极值点.

所以/''(1)=0»即6—2a=0,解得Q=3,

所以/(%)=2炉—3x2+4,f'(x)=6x2-6x=6x(x—1),

当xw(-8,0)时，f(x)>0,/'(x)单调递增，

当XE(0,1)时，/'(%)<0,f(x)单调递减，

当X6(1,+8)时，f(x)>0,/'(©单调递增，

可得工=1是函数f(x)的一个极值点，满足题意，

所以/'(为的单调递增区间为(一8,0),(l,+oo).

(2)结合(1)可得，当“变化时，/(X),f'(x)的变化情况如卜表:

Xt-i.o)0(0,1)1(1,2］

f:W+0—0+

fW单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以当％=-1时，/(-I)=2x(-1)3-3x(-1)2+4=-1,

当x=0时，/(0)=4,

当x=l时，/(1)=2—3+4=3,

当x=2时，/(2)=2x(2)3-3x(2)2+4=8,

所以当%G［一1,2］时，函数f(%)的最小值为-1.

17.【答案】解：(1)函数/(尤)=/十42一工十1,xeRf

则广(%)=1+2%-1,

设9(%)=+2x-1,则g'(x)=ex+2>0

由g'(x)>0可知，/'(x)在R上单调递增，且((0)=0,

故当％W(—8,0)时，f(x)<0,

当K€(0,+8)时，f(x)>0,

故函数f(x)有极小值/'(0)=2,无极大值；

(II)证明：依题意对/«-3x>0,

即e*—4x4-x24-1>0»

设FQr)=e"—4%十%2十I,则=ex—4+2x,

设G(x)=Fz(x)=ex—4+2x,

因为1(%)=〃+2>0,所以GQ)在R上单调递增,

又因为G(0)=-3<0,G(l)=e-2>0,

所以G(x)=0在(0,1)内有唯一零点，记为几，

即e%o=4—2x0»

当<<%时，F'O)<0,F(x)单调递减；

当时，Ff(x)>0,F(x)单调递增；

x

所以F(》)min=F(XO)=e°一4々+北+1=瑶一6二+5,x0G(0,1).

设/i(x)=xz-6x+5=(x-3)z-4,xe(0,1),

则h(x)>h(l)=0,所以尸(工。)>0,

所以产(%)>0,即Vx€R,f(x)>3x.

18.【答案】解：(1)因为f(%)=至+2万—10,所以尸(3)=，+6-10=0,

因此a=16,则/(%)=16)(l+x)+/-10x,x6(-l,+oo),/⑺二2("1；+3)=2(y—3)

可得/'(%)在％=3两边异号，即3=3是函数/(x)=161n(l4-x)+%2-10%的■个极值点，

故a=16.

(2)由(1)知，/⑶=2(y3),、6(—1,+8),

当KW(-1J)U(3,+8)时，f(x)>0,

当(1,3)时,f(x)<0,

所以/'(%)的单调增区间是(一1,1),(3,+00),/(X)的单调减区间是(1,3)；

(3)由(2)知，/(%)在(一1,1)内单调递增，在(1,3)内单调递减，在(3,+8)上单调递增，且当％=1或%=3

时,f(x)=0,

所以/'(%)的极大值为/⑴=16/n2-9,极小值为/⑶=32ln2-21.

因为/'(16)>162-10xl6>16伍2-9=f⑴,f(e-2-1)<-32+11=-21<f(3),

所以要使直线y=与函数y=f(x)的图象有3个交点，

则在/(乃的三个单调区间(-1,1),(1,3),(3,+8)内，直线