2026届新高考数学考前冲刺最后一课圆锥曲线的定点、定值、探究性问题

2026届新高考数学考前冲刺最后一课圆锥曲线的定点、定值、探究性问题题型解构定点问题[解析]

(1)设圆心为(a,0)，则半径为r＝|a＋4|，所以圆的方程为：(x－a)2＋y2＝(a＋4)2，令x＝0得y2＝(a＋4)2－a2＝8(a＋2)，令y＝0得(x－a)2＝(a＋4)2⇒x＝2(a＋2)或x＝－4(舍去)，所以y2＝4x，所以E的方程为y2＝4x.(2)由题意有直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程为y＝k(x－3)＋2，(1)求抛物线E的方程；(2)过点M(－3,0)的直线l与抛物线E相交于A，B两点，B关于x轴的对称点为B′，证明：直线AB′必过定点．(2)证明：设直线AB的方程为x＝my－3，联立y2＝8x，消x得，y2－8my＋24＝0，方程y2－8my＋24＝0的判别式Δ＝64m2－96>0，即2m2－3>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝8m，y1y2＝24，设B关于x轴的对称点为B′(x2，－y2)，定直线问题(1)求C的方程；(2)记C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(－4,0)的直线与C的左支交于M，N两点，M在第二象限，直线MA1与NA2交于点P.证明：点P在定直线上．名师点拨：求解定点、定直线问题常用的方法1．“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明．2．“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标．3．求证直线过定点(x0，y0)，常利用直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)来证明．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点Q(0,6)的直线(非y轴)交椭圆于A，B两点，过点A作y轴的垂线与直线BP相交于点D，求证：线段AD的中点在定直线上．(2)证明：易知直线AB斜率存在，设直线AB的方程为y＝kx＋6，并设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(xD，yD)，AD的中点坐标设为(x0，y0)．定值问题(1)当直线l倾斜角为135°时，求直线l的方程；(2)求证：△AOB的面积为定值．名师点拨：圆锥曲线中定值问题的特点及解法1．特点：待证几何量不受动点或动线的影响而有固定的值．2．解法(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；(2)引进变量法：其解题流程为【变式训练】(2026·四川成都郫都区阶段检测)在圆O：x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．(1)当点P在圆上运动时，求线段PD的中点Q的轨迹方程．(当点P经过圆与x轴的交点时，规定点Q与点P重合)探究型问题名师点拨：存在性问题的解题策略存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．1．当条件和结论不唯一时要分类讨论．2．当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．存在性问题的答题模版(1)求椭圆C的焦距；(2)试探究是否存在过点(0，－5)，且与椭圆C交于不同的两点M，N，并满足|AM|＝|AN|的直线l？若不存在，说明理由；若存在，求出直线l的方程．(2)假设存在该直线l，分情况讨论：当直线l的斜率不存在时，显然|AM|＝|AN|不成立；当直线l的斜率存在时，设直线l：y＝kx－5(k≠0)，(1)求抛物线C的方程；(2)过点E的直线l交抛物线C于A，B点，直线AF与C相交于另一点M，直线BF与C相交于另一点N.(ⅰ)求证：OA⊥OB；(ⅱ)求证：直线MN经过定点．[解析]

(1)如图，作出符合题意的图形，由题意得E(4,0)，则|OE|＝4，(2)(ⅰ)如图，设直线l的方程为x＝my＋4，并记点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)求椭圆G的方程；(2)设A，B为椭圆G的左右顶点，过右焦点F的直线l交椭圆G于M，N两点，直线AM，BN交于点P.(ⅰ)求证点P在定直线上；3．(2026·江苏南京调研)已知双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝4.过F2的直线l与C交于A，B两点．(1)求C的方程；如图：因为F2(2,0)，设直线l：x＝