2025-2026学年人教版八年级数学下学期3月学情自测卷【河北专用测试范围：第19~20章】（全解全析）

八年级数学下学期3月学情自测卷（河北专用）全

解全析

（考试时间：120分钟，分值：120分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：新教材人教版八年级下册第19〜2（）章。

第I卷

一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合

题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）

1.已知x为任意实数，下列各式中，在实数范围内一定有意义的是O

A.瓜B.4+1C.y/5+^D.7x2+l

X

【答案】D

【详解】解：对选项A：要使必有意义，需2x20,即XN0,当x<0时无意义，不符合题意

对选项B：分母工工0,当x=0时式子无意义，虽分子中2/+121>0，但x为任意实数包含x=0‘不符合

题意

对选项C：要使j5+x有意义,需5+x20,即xN-5,当x<-5时无意义，不符合题意

对选项D：为任意实数，被开方数始终为正，二正有在实数范围内一定有意义，

符合题意

故选:D.

2.以下三个数字不是勾股数的是（）

A.3、4、5B.6、8、10C.1,72,VJD.5、12、13

【答案】C

【详解】解：•.•勾股数的核心要求是三个数均为正整数，H满足较小两数的平方和等干最大数的平方.

•••对选项分析如下：

A选项：3、4、5均为正整数，且3?+不=52,是勾股数.

B选项：6、8、10均为正整数，且62+8?=10"是勾股数.

C选项：夜、W不是正整数，不满足勾股数的定义，不是勾股数.

D选项：5、12、13均为正整数，且52+122=132,是勾股数.

综上，不是勾股数的是C选项.

故选：C.

3.下列计算正确的是（）

A.&+6=逐B.712+72=6

C.2V2-2=V2D.>/18=3

【答案】D

【详解】解：A.&与百不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意;

B.收=26与正不是同类二次根式，不能直接相加，原计算不正确，不符合题意：

C.2正与2不能直接相减，原计算不正确，不符合题意；

D.^|xV18=^d8=V9=3,原计算正确，符合题意.

故选：D.

4.实数。，6在数轴上的位置如图所示，则化简后后'—Ba+ZH的结果为（）

，■I■I»

a-10b1

A.2a—2bB.—2a+2bC.2。+2/）D.—2（1—21）

【答案】c

【详解】解：由图可知：^<0<A,\a\>b,

3。+2b<0,

>/a^-\3a+2b\=-a+3a+2b=2a+2b

故选：C.

5.为直角三角形的三边，且。为斜边，人为斜边上的高，有下列说法正确结论的个数是（）

①,c?能组成二角形；

②后，跖八能组成三角形：

（3）c+h,a+bJi能组成直角三角形；

④/，后，/能组成直角三角形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【详解】解：丁。也c是Rt"8C的三边，c为斜边，〃为斜边上的高

.../+〃=/'S：=；ab=；ch,

ab=ch,

@a2+b2=c2,不满足三角形两边之和大于第三边的条件，

.••①错误；

@v+>/b^=-a+b+2>/ab»（丘）=c,

又能组成三角形，

:.a+h>c,

：.a+b+2\fab>c，

叫笈+甸，

丁、万,均为正数，

：.\a+y[b>y/c

・••能组成三角形，②正确；

③,.,（4+Z>）2+/r="+2ab+b2+h2,

乂va2+b2=c2,2ab=2ch,

:.（a+b）1+h2=c2+2ch+h1=（c+/?）2

根据勾股定理逆定理，能组成直角三角形，

..•③正确;

°v7+F="?p-=7F,

又屋ab=ch,

，crbz=c2h2»

2

C_C=\

,,而二所亍’

即

•••穴满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，

@）错误；

综上，正确的结论有2个.

故选：B.

6.在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1,A,B,C三点均在正方形格点（网格线的交点）上,

则下列结论错误的是（）

A.AB=2y[5B.NBAC=9（）。

C.S2BC=10D.点力到直线4c的距离是2

【答案】C

【详解】解：JC=Vl2+22=y[s，AB=yj22+42=275>BC=，3,+4,=5,

AB1+AC2=BC2>

：.ZBAC=90°,故A,B选项的结论止确，不符合题意；

S△.=g/A=若x2遥=5,故C选项的结论错误，符合题意；

设点力到直线8c的距离是d,则S）Bc=；BCd=5,

•・4=%5x2-=2,故D选项的结论正确，不符合题意.

故选：C.

7.如图，在长方形48CQ中，BD=5,CD=3,将△力8E沿8E折叠，使点力恰好落在对角线8。上的点尸

处，则。E的长是（）

-25C或

A.2

.T•32

【答案】D

【详解】解：•••四边形48。为长方形,

，N84D=90。，AB=CD=3,

•••AD=dBD2-AB2=>/52-324-

由折叠可知，NEFB=NB4E=90°,AE=EF,AB=BF=3,

:.DF=BD-BF=5-3=2、

i^EF=AE=x,则EQ=/iQ—/E=4—x,

在RtZ\OE/中，EF2+FD1=ED2.

B|JX2+22=(4-X)-,

解得：x=g，

DE=4--=-

22

故选：D.

8.有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其口三个正方形

围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示.如果继续“生长”下去，它将变

得“枝繁叶茂”，若“生长”了2026次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（）

图2

B.2027D.22026-1

【答案】B

【详解】解：如图，由题怠得，正方形力的面积为1,

由勾股定理得，正方形8的面积+正方形。的面积=正方形4的面积=1，

.•产生长''了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2,

同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3,

.*生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4,

“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2027,

故选：B.

9.如图铁路上4、8两点相距40千米，C、。为铁路两边的两个村庄，DA1AB,CB上4B,垂足分别

为<和8，。4=24千米，C8=16千米，现在要在铁路旁修建一个候车点E,使得C、。两村到该候车点

的距离相等.则候车点£应距力点（）

D

\\

\\

\、

\\

\\

A°-----7X----------

E、、、

、

、、

、、

、、

xJc

A.12千米B.16千米C.20千米D.24千米

【答案】B

【详解】解：设NE=xkm,则B£=（40-x）km,

-DAVAB,CB工AB,C,。两村到候车点的距离相等，

AD2+AE2=DE\BE2+BC1=CE2,

AD2+AE2=BE2+BC2，

/.242+X2=（40-X）2+162,

解得：A=16,

则候车点E应距4点16km.

故选：B.

10.如图，是由四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，得到正方形/出CO与正方形£FG〃，连结。尸并

延长，交BC于点、M,若S正方物*〃=9,E为4F中点,则8M的长为（)

【答案】B

【详解】解：•・•£为/4中点,

EF=—AF=AE,

2

又•：/AED=/FED=90。，DE=DE,

:A4ED%FED(SAS),

/.DF=AD,

5正方形/sc。=9,

：.DF=AD=3,

DE\\BGt

Z.EDF=NDFG,

ZFBM-NEDF,/DFG-NBFM,

NFBM=NBFM,

/.BM=FM,

-DM2=CM2+CD2,

:.(DF+BM)?=CD2+(BC-BM)2,

(3+BM)2=32+(3-BM)2,

3

4

故选：B.

11.如图，在平面直角坐标系中有4(1,3),8(4,2)两点，尸为/轴上一动点.连接4P,8尸，则彳P+8P的

最小值为()

【答案】D

【详解】解：如图所示，作点力关于x轴的对称点4,连接43交x轴于点P，

A

：.AP=A'P

^AP+BP=A,P+BP>A,B

・•・当点H,P,8三点共线时，力尸+BP有最小值，即W8的长度

・••由对称得,H(L-3),

・・•8(4,2)

•••AB=^/(1-4)2+(-3-2)2=V34

8P的最小值为南.

故选：D.

12.如图，第1个正方形(设边长为2)的边为第一个等腰直角三角形的斜边，第一个等腰直角三角形的直

角边是第2个正方形的边，第2个正方形的边是第2个等腰直角三角形的斜边，依此不断连接下去，通过

观察与研究，写出第2021个正方形的边长%)2i为()

r「

;1

/厂、202。//-\2021

二azm\=2I1c-=2[-T1

4

A.a2mx=I1I

/i-\2020

D.%=2苧

【答案】D

【详解】解：由题意可得，

第一个正方形的边民是2,设笫二个的边长是.x，贝U2d=22,贝晨=加,即第二个的边长是:

设第三个的边长是乃则2/=/,则y=（孝

J12J

同理可以得到第四个正方形的边长是2（正］,

12J

则第"个是：2（孝），

/厂、2020

.••第2021个正方形的边长％。21=2苧，

故选：D.

第n卷

二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分,共12分）

13.当x=3时，二次根式，13-3x的值为一.

【答案】2

【详解】解：当x=3时，713-3x=713-3x3=2,

故答案为：2.

14.《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸

齐.问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇48生长在它

的中央，高出水面部分8。为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部8恰好

碰到岸边的"（如图）.则芦苇长一尺.

【答案】13

【详解】解：根据题意可得"C=；xlO=5（尺）,

设水深x尺，则芦芾氏（""）尺，

在必△C48'中，AC?+B'C?=AB",

UPX2+52=（X+1）2,

解得x=12,

.”+1=13,即芦苇长13尺.

故答案为：13.

15.如图，在。中，已知NC=90‘，BC=6,46=10,分别以点力和点4为圆心，大于;力8的长为

半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M,N两点,直线MN分别与边力8,4。相交于点

D,E,连接8E.则线段CE的长为—.

【详解】解：•.・NC=90。，BC=6,48=10,

:.AC=ylAB2-BC2=V102-62=8-

由作图可知，A/N是月B的垂直平分线，

/.AE=BE.

设CE=X,贝!j8E=/£1=8-x.

在RSBCE中，由勾股定理得。炉+8。2=8/2,

X24-62=(8-x)2,

.V+36=64-16A+X2,

16.r=28,

7

x=—.

4

7

故答案为：—.

4

16.如图，在△/4C中，CA=CB=5,AB=S,。是48边上的一个动点，连结CO,将沿C。折叠

得到△EC。，点力的对应点为E.当△力QE为直角三角形时，的长为.

【答案】1或7

【详解】解：过点C作CH_L/18「点”，延长。交4E「点尸.

-CA=CB=5,48=8,

AH=BH=-AB=4,

2

CH7AC2-AH?=5/52—42=3'

由折叠可得力E，。/7，AC=CE,AD=DE.

当〉OE为直角三角形时，只能/4)E=90°,

：.NDAE=NDEA=45。，

当点E在4C上方时:

ZJDF=45°,

CH1AB,

：.DH=CH=3,

AD=AH+DH=4+3=1；

壬点、E在BC卜方时：

vAELCF,ZDJE=45°,

?.ZCDH=ZADF=45°,

•/CH1AB,

:.DH=CH=3,

AD=AH-DH=4-3=\；

综上所述，力。的长为1或7,

故答案为：1或7.

三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.（7分）计算：

（l）y^xV6+J1-V18

⑵即+础3a/_(|一厨

【答案】(1)6-3&

(2)9+2石

【详解】（I）解：巫X«+，E-M

3V3

=旦+3_3衣

33

=毡+且_3夜

33

=yj3-3\/2；

（2）解：（3&+司（3&-6）-（1-石『

=（3码〔（同〔（1一2"+5）

=B-3-l+2V5-5

18.(8分)运动不息，健康常在.如图，为了满足市民健身需求，市政部门在某公园内沿湖边修建了四边

形,48(?。环湖步道，已知力6=16km,AD=20km,8。=13km，点8在点。的正西方向，点C在点。的

正北方向5km处.

(1)求证：AB1BD；

(2)修建完成后，市政部门派出无人机进行环境检测，无人机从点力飞到点C处，求无人机飞行的直线距离.

【答案】(1)证明见解析

(2)无人机飞行的直线距离为3屈＜m

【详解】(1)解：•••点〃在点。的正西方向，点。在点力的正北方向5km处.

BDLCD,CO=5km,

BC=13km,

.-.^D=V132-52=12（km）,

vAB=16km,AD=20km,

•••AB2+BD2=\62+\22=202=AD2,

•••△月6。是直角三角形，乙46。=90-

:.ABLBD.

(2)解：如图作4P_LC。，交CD延长线于点〃，则四边形是长方形,

.­.ZP=90o,。尸=18=16km,4P=8O=12km,

...CP=5+16=21(km),

AC=V212+122=3病(km)

.♦.线段力。的长度为35/65km.

・••无人机飞行的直线距离为3而km.

19.(8分)如图，李明家有一块长方形空地48CQ,长8c为亚m,宽AB为底m.现要在空地中挖一

个长方形的水池(图中阴影部分)，其余部分种植草莓.其中长方形水池的长为(J记+l)m,宽为

(VlO-l)m.

⑴求长方形空地ABCD的周长.

(2)已知李明家种植的草莓售价为8元/kg,且可产草莓15kg/n?.若李明家将所种的草莓全部销售完，则销

售收入为多少元？

【答案】(1)200m

(2)4680元

【分析】本题考查的是二次根式的应用，最简二次根式，熟练掌握上述知识点是解题的关键.

(1)根据长方形的周长公式列式计算即可；

(2)先计算出种草莓的面积，再计算销售收入即可.

【详解】⑴解：长方形空地"CO的周长为2x(后+屈)

=2x(6V2+4x/2)

=2()V2(m).

答：长方形空地”CO的周长为20拉m.

(2)解：由题意，得种草莓的面积为亦'辰+

=48-(10-1)

=39(m2),

•••销售收入为39x15x8=4680(元).

答：销售收入为4680元.

20.(8分)如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心

正以10km/h的速度由东向西移动,距台风中心300km的圆形区域(包括边界)都属台风影响区,当这艘轮

船接到台风警报时，它与台风中心移动路线的最近距离400km,此时台风中心与轮船既定航线的最近距离

也是400km.

北

(1)如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？

(2)假设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，求它至少需要停止航

行多少小时？

【答案】(1)如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区

170

⑵彳

【详解】(1)解：由题意得：。/=。6=400,OA1OB,

方法一：

北

八

M八*

一^//力A东

X

N'

A

设I小时后,当台风中心在M点时,轮船在N点，此时MM=300,则。M=400-10/,ON=400-30/,

YOM'ON=MN"

••.(90-10/『+(400-30/『二300。

整理得=26,

解得，=16±5/26»

当E=16-而时，30/=480-30向<400,此时轮船还没有经过。，

如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；

方法二：当台风中心移动到距0300km时，移动时间/二竺展”=10小时，

此时轮船航行距离10x30=300<400,即还没有通过点O,如果不改变航向，后续必定会进入台风影响区,

・••圻果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区；

(2)解：如图，取点G、E,使OE=OG=300,

二匕

」卜

GH—O白方》东

E

A'

当轮船运动到警戒线的点E时，此时台风中心移动到点“处，运动时间/二卷=4。。1：（）（）=日,此时

华

轮船从E点运动到。点用时"黑=10（小时）,

设台风中心10小时从，移动到G：则G〃=10xl0=100,

・•・当轮船重:新开始移动到点。时，此时台风中心距离。刚好300km,此后都不再受台风影响，

•••在轮船停止航行时间段，台风从F移动到点〃，HF=OB+OG-GH-BF=300+400-100-^=早，

•••轮船停止航行时间为篝二与（小时），

・•・设轮船航向不变，航行速度不变，航行到受台风影响的警戒线外立即停止航行，它至少需要停止航行170三

小时.

21.（9分）观察下列各式：

OF,11,1

VI222122

、门三口讣―

V2232236

ACuT=1+i-i=i1.

V32423412

请你根据上面三个等式提供的信息，猜想:

⑴卜卜1-----

（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用〃（〃为正整数）表示的等式.

（3）利用上述规律计算：J—+—（仿照上式写出过程）.

V4964

【答案】（1）$

fii-,ii

~Vn-（〃+1）“nn+l

⑶W

【详解】（1）解：①,11+4+4=1+--—=i-=i+—

VI22211+121x2

小1

1।+1+1=,।+11=,1=.,+

②VFFriT762x3

故答案为：.

按照上面各等式反映的规律，第〃个等式（〃为正整数）为品…k+

(3)解:

22.（9分）勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的最重要工具之

一，也是数形结合的纽带之一.它不但因证明方法层出不穷吸引着人们，更因为应用广泛而使人入迷.

（1）证明勾股定理

取4个与RtZ\/8C（图1）全等的三角形，其中NC=90。，AB=c,BC=a,=〃，把它们拼成边长为。+人

的正方形OEFG,其中四边形MNOP是边长为。的正方形，如图2,请你利用以上图形验证勾股定理.

（2）应用勾股定理

①应用场景1：在数轴上画出表示无理数的点.如图3,在数轴上找出表示1的点。和表示4的点力，过点

力作宜线/垂直于。4,在/上取点/使力8=2,以点。为圆心，为半径作弧，则弧与数轮在点。右侧

的交点。表示的数是；

②应用场景2：解决实际问题.如图4,某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度8E=0.5m,

将它往前推至C处时，水平距离C0=2m,踏板离•地的垂直高度C"=1.5m,它的绳索始终拉直，求绳索4C

的长.

【答案】（1）见解析:

(2)©V13+1；②绳索的长为2.5m

【详解】(1)解：由图可得，正方形Q£bG的边长为力，则面枳为(。+劝2,

又正方形OEFG由正方形MN。尸刃4个全等的三角形组成，故面积为C2+4X；M=C2+2M,

：.(a+by=c2+2ab,

BPa2+lab+>'=<?+lab，

.•4=Q2+62

即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.

(2)解：①•.•在Rt△。助中，4)=4-1=3,AB=2,

•*-DB=y/DA2+AB2=V?+F=V13，

•••DC=DB=岳,

•••点C表示的数是布+1,

答案为：V13+1；

@vCF=1.5m,BE=0.5m,

DB=Im.

设秋千的绳索长为xm,即48=/C=xm,

AD=48-8Z)=x—l(m),

222

•.•在RtZkXC。中，AD+CD=ACf

222

.-.(J-1)+2=X,

解得：x=2.5.

二绳索力。的长为2.5m.

23.(11分)综合与实践

勾股定理是几何学中的一颗璀璨明珠，被誉为“几何学的基石千百年来，人们对它的证明趋之若鹫，其中

有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至还有国家总

统(如美国前总统加菲尔德).

某数学兴趣小组对勾股定理的证明方法也非常感兴趣，对勾股定理的证明进行了以下探究活动：

探究活动一：

（1）如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成|。＜与，用它可以证明勾股定理，思路是大

正方形的面积有两种求法，一种是等于°2,另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即

（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论/+/=。2.

如图2是美国前总统加菲尔德的证法的图形，梯形面积可以等于或、

（答案不需要整理），从而得到等式并化简得出结论。2+/=°2.

探究活动二：

（2）受总统证法的启发，数学兴趣小组发现把总统证法中其中一个直角三角形进行平移后拼戌一个新的图

形（如图3）,也可以证明.梯形48C。面积，i种等于,另一种等于直角三角形和四边形

力长。的面积和，即（其中四边形4ECQ的面枳用仅含。的代数式表示）（答案不需要整理），

从而得到等式并化简得出结论/+〃=c?.

数学兴趣小组发现利用两个全等的直角三角形拼成一个合适的图形就可以完成证明，「是想到把赵爽弦图

中的四个全等直角三角形中只取其中Rt△4BC和Rf/OE拼出四边形/1C0E（如图4）尝试证明，请你帮

助完成证明（简要说理）.

探究活动三：

（3）数学兴趣小组通过上述探究活动发现了所拼成的图形中两个直角三角形的两条斜边的位置关系是

；请你设计一个利用两个全等的直角三角形拼成的合适的图形（与以上如图形不重复），画出

图形并简要说理.

【答案】（1）c2=4x^cih+（h-a）~：+〃）~或Zxgab+gc?或方（q+6）—，力一a）（力+"）：（2）+b）：

；a（8-a）+gc2；见解析；（3）两斜边力相垂直；见解析

【详解】解：⑴/=4x；副+优-疗；

梯形面积为：+或+或b（a+6）-;他一a）（/）+qj,

22

故答案为：c=4x；ab+（b-a『：L^a+［）y^2x^ah+^c^b（a+h）-^（b-a）（b+a）：

（2）一种等于:〃a+〃），另一种等于;〃（b—a）+；c2；

乙乙乙

=+=C+

则S四边J^ACDE\ACD+S“D£=56+］或S四边^ACDE=S4^ESgx~'\cD£,

VCBLAB,EDVAB,

CB//DE,

：.SsCDE=SgEB=；a(b-a),

即$四边形皿E=5。+50(6-。)，

—b1+-ab=—c2+—a(b-a),

2222v7

222

b+ab=c+ah-a»即/+〃=c>2.

（3）两斜边互相垂直，理由如下：

如图，拼成△CQE,延长C4交OE于”，连接8DCE,

设BH=m，

则S〃