平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、投影向量运算（含坐标运算）（6大重点题型）解析版-高一数学下学期（人教A版必修第二册）

平面向量线性运算、数量积、模长、夹角、平行垂直、

投影向量运算（含坐标运算）（6大重点题型）

--------------目-------------------

A■对i很却・

A题型建模,专项突破］

题型一、平面向量线性运算........................................................................1

题型二、数量积运算（重点）.....................................................................5

题型三、模长运算................................................................................8

题型四、夹角运算...............................................................................12

题型五、投影向量运算（难点）..................................................................17

题型六、含平行、垂直关系运算（常考点）.......................................................20

B综合攻坚•能力跃升..............................................................22

题型建模•专项突破

题型一、平面向量线性运算

1.（24-25高一下•福建•期末）AB-AD+BC-7）C=（）

A.2BDB.0C.BDD.0

【答案】D

【分析】利用向量加减法法则求解即得.

【详解】AB-'AD+BC-DC=AB+BC-（AD+DC）=AC-AC=b.

故选：D

2.（2025高一下•江苏南京•专题练习）已知点M（-2,7）,N（10,-2）,且标=2而，则点尸的坐标为

（）

A.（6,1）B.（2,4）C.（-14,16）D.（22,-11）

【答案】B

【分析】利用平面向量的坐标运算即可求解.

【详解】设P（xj）,则而二（x-10,y+2）,PM=（-2-x,l-y）.

_____x_10=2i—2—x）[x=2

因为标=2同7，所以《、、，解得《.

[y+2=2（7-y）卜=4

所以点。的坐标为（2,4）.

故选：B.

3.（23-24高一下•四川成都・期中）已知平行四边形48CQ的三个顶点力，B,C的坐标分别为（-1,2）,

（4,5）,（-2,3）,则顶点。的坐标为（）

A.（3,6）B.（-7,0）C.（5,4）D.（-5,-1）

【答案】B

【分析】设。（X/），表示出布，BC，依题意可得而=比，即可得到方程组，解得即可.

【详解】设。（xj）,则赤=（x+l,y—2）,册=（—6,-2）,

在平行四边形ABCD中万=比，

所以（x+lj-2）=（—6,-2）,则《解得《,

y—2=—2=U

所以。（一7,0）.

故选：B

4.（24-25高一下•全国•课后作业）在四边形力8。。中，AC=AB+AD^则一定有（）

A.四边形4BCO是矩形B.四边形/8CO是菱形

C.四边形/8CO是梯形D.四边形48CO是平行四边形

【答案】D

【分析】由就=而+而得到力O=8C且4O//8C,根据平行四边形的判定得到四边形48CQ是平行四边

形.

【详解】因为祝=而+而，所以而=太一茄=尤，即40=8c且4D//8C,

所以四边形48co的一组对边平行且相等，所以四边形/出是平行四边形，

故选：D.

5.（24-25高一下•黑龙江双鸭山期中）如图，已知方E,~AC=b»BC=4BD，CA=3CE则方=

（）

【答案】A

【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.

【详解】因为瑟=4而，CA=3CE^

——3———1—

所以。C=—8C,CE=—CA,

43

所以诙=反+豆=3就+功=。阮-祠-=-。而+上衣,

434、)3412

乂AB=a»AC=b»

所以瓦=-匕+与.

412

故选:A.

6.在平面直角坐标系X。)，中，已知4(1,2),8(4,2),C(3,3),则()

A.OC=OA+-dBB.dC=-OA^OB

22

C.OA=-OB+OCD.OA=OB+-dC

22

【答案】A

【分析】由题可得以=（1,2）,砺=（4,2）,反=（3,3）.设反+y丽，通过向量的坐标运算解得x和V

的值即可判断选项A,B；同理可判断选项C,D.

【详解】由题可得况=。,2),丽=(4,2),反=(3,3).

x=1

x+4y=3：故选项A正

设0C=xOA+yOB=（x+4y,2x+2y）=（3,3）,解得1，.OC=OA+^OB,

确，选项B错误;

42+3〃=14=——1——

设方=4历+〃方=（44+3从2/1+34）=（1,2），解得2,：.OA=——OB+OC,故选

22+3//=22

〃=1

项C错误，选项D错误.

故选:A.

7.已知力(-3,0),8(-1,2),。(1,1)。(-2,-2),则四边形48。。的形状为()

A.平行四边形B.正方形或菱形

C.直角梯形D.等腰梯形

【答案】D

【分析】先利用题给条件求得茄〃岚旦阿卜|明，再由|用=|明即可判定四边形力8。的形状为等腰

梯形.

【详解】因为而=（2,2）,反=（3,3）,所以而〃反且同冈,

则44〃8,且48土CQ,则四边形力8C。的形状为梯形；

又沅=（2,-1）,而=（1,-2）,所以周=画=石,

则四边形48co为等腰梯形.

故选:D.

8.（24-25高一下•江苏扬州•月考）在平行四边形力4c。中，E为CO的中点，BE与对角线力C相交于点片

记=〃，则，耳=（）

A.-9+孑B.2G+33C.D.2a-3b

JJ

【答案】D

【分析】结合图形，根据向量的线性运算即可得到答案.

【详解】由题意得，AECFS.F,所以言=9=7,所以而=9而，

FBAB23

所以而=g（而+函=笠而［荏卜g标・；刀，

所以赤=2而一3而二2"3几

故选:D.

DEC

AB

9.（24-25高一下•广东•期中）（多选题）2025年2月7日，第九届亚洲冬运会开幕式在哈尔滨举行.图是

第九届亚洲冬运会会徽，适当选择四个点作四边形力8C。，就可以覆盖会徽的主图案.在四边形48CO中，

E，厂分别是4C,CQ的中点，丽=2而，~AG=2GD＞则下列等式一定成立的是（）

ASIANWINTERGAMES

A.衣=而+而B.AB+BC=JD^DC

_____________3___

C.HG+GD=AD-AHD.EF=-HG

4

【答案】BCD

【分析】根据给定条件，利用向量的线性运算法则，逐项计算判断即可得解.

【详解】对于A,因为四边形488不一定是平行四边形，所以抚=在+而不一定成立，故A错误;

4/34

对于B,AB+BC=AC^AD+DC=AC所以益+前=而+反，故B正确：

对「C，~HG+GD=~HD^万一通=而，所以南+而二万一而，故C正确;

对于。，连接“。，因为，尸分别是AC,C。的中点，所以丽=g前，

___---2——3---

乂~Xff=2HB，AG=2GD-所以HG=^BD,所以后/二:〃G，故D正确.

34

故选:BCD.

题型二、数量积运算(重点)

1.(24-25高一下•天津•月考)若向量£,否满足M=W=i,［与3的夹角为60。，则等于()

3

A1B

A.2-1D.2

【答案】A

【分析】借助数量积公式计算即可得.

=d'cos(ql)=lxlx；=J

【详解】ab

故选：A.

2.(24-25高一下•重庆渝北•期中)已知向量值=(1,-1)/=(-2,3),?=(1,1),则(1+5)1=()

A.1B.0C.-1D.-2

【答案】A

【分析】由向量线性运算及数量积的坐标表示可解.

【详解】•••£+B=(—1,2),

+==-lx1+2x1=1.

故选：A.

3.(24-25高一下•北京西城期末)已知向量石满足£+5=(2］)，Z-5=((),-1),则［%=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【分析】由题可求向量£,B，再利用向量数量积的坐标公式求解.

【详解】因为£+3=(2/)，力=(0,-1),所以2l=(2,0)n£=(l,0),

26=(2,2)=>S=(1,1),所以75=(1,0).(1,1)=1.

故选:D.

4.(24-25高一下•广东湛江•月考)在边长为3正方形力灰?。中，£为线段8C上靠近8的三等分点，计算

EC~ED=()

A.4B.7C.8D.9

【答案】A

【分析】以8为原点建立直角坐标系，写出相关坐标，得到比，而，代入计算即可.

【详解】以8为原点建立如图所示直角坐标系，七是8。上靠近3点的三等分点，且边长为3,

所以/(0,3),七(1,0),。(3,0),。(3,3),所以或=(2,0),而=(2,3)

所以反•丽=4.

故选:A.

——1—

5.(24-25高一下•辽宁丹东•期末)在中，N/C〃=90。，AC=2,AB=4,点D满足CD=-,4B,

2

则而•通=()

A.6B.8C.8旧D.12

【答案】D

【分析】由题意可得而•万=(Z+g刘)•君，结合向量的运算律及数量积定义求解即可.

【详解】解：由题意可得而=衣+而=次+3而，

6/34

所以赤•方=（配+■!■福•方=正方+,君宿=4+8=12.

222

故选：D.

6.（24-25高一下•河北•期末）已知圆。为△48C的外接圆，且而+抚=2而，4（用=g40=2,则

BABC=（）

A.1B.2C.2石D.4

【答案】D

【分析】由题可知△48。为直角三角形，然后结合直角三角形和数量积的定义即可得到初.瑟.

【详解】•.•存+衣=2割，「.O为8c中点，则4BC=2AO=4,

又土AOB=±Jr,所以=7EZABC=-7E,AB=BCcosZABC=4cos7-E=2,

3633

所以亦胫=网|网cos/48c=2x4x；=4.

故逃；D.

7.（24-25高一下•广东河源•期末）如图,在梯形力8c。中，AB//CD,A8=3,AD=CD=1,

/相。=],a7=2总，则就•丽二（)

23D

T-I

【答案】D

【分析】采用坐标法建系，写出坐标，再用数量积的坐标运算求解即可.

【详解】

7/34

如图以力为坐标原点建立平面直角坐标系，・•・力（0,0）,

vZBAD^^AB=\AD=CD=\t:.D,8(3,0),

3=2(-x,-y),解得x=_L,y=",

设M（xj）,•.•两=2说，，x，y

~2~26

M,/.JC项卷4，，"砺=酒-冬

故选：D.

8.（24・25高一下•黑龙江哈尔滨•期末）如图，已知平行四边形力8C。中，AB=3,AD=2f/BAD、

2

M,P分别是力8,8C的中点、，N是DC上一点,且。N=]OC,则万•加二（）

727

BD.—

A.5-T4

【答案】D

【分析】根据向量的线性表示及向量的数量积运算律计算求解.

【详解】平行四边形48CZ）中，第=3,AD=2,NBAD.

2

M，P分别是48,8。的中点，N是。C上一点，且QN=§。。,

113—•1—・：

则布丽=--m+—AB++—+-ABAD+-AD

232咨122

62122244

故选：D.

题型三、模长运算

1.（24-25高一下•北京延庆•期中）已知同=2,W=l,(5,5)=120°,则卜+21=()

A.4B.2C.12D.13

【答案】B

【分析】对辰2司两边平方可得答案.

【详解】因为同=2,忖=1,5^=120\

所以卜+2.=32+4鼠5+4户=j4+4x2xlx(-g)+4=2.

故选：B.

2.(23-24高一下•北京•期末)已知向量G,B满足|£|=1,^=(-1,0),且|)一2向=1,则1=()

A.(1,0)B.(-1,0)C.(0,1)D.(0,-1)

【答案】B

【分析】设Z=(x/)，利用向量的坐标运算，及模的坐标表示列出方程组求解即得.

【详解】设a=(x,y),而1=(-1,0),则a-2-=(x+2,y),又|a-2M=1」L|a|=l,

xl2+F—1

因此,22」解得x=T，y=o，

(x+2)'+尸=1

所以£=(-1,0).

故选：D

3.已知是单位向量，且它们的夹角是60。.若3=1+2［万=/1录-或，且|引=向，则2=()

A.2B.-2C.2或-3D.3或一2

【答案】D

【分析】根据条件将国+2司=砥一司两边平方，然后利用数量积的运算律计算即可.

【详解】•.,!a\=\h\,即卜i+26卜卜q一司，

一2———*2)—2———2

：.e+4e}-e2+4e2=-2Ae,-e2+e2

l+4xlxlx-+4=22-2Axlxlx—+1

22

解得4=3或4=-2.

故选：D.

4.已知向量£［满足同=1,(41+孙1=2&=(1,2),则忸+4=()

A.yB.1C.y/2D.2

【答案】B

【分析】根据已知条件，先求出行石=-2，小将|2万+很|平方，并开方，即可求解.

【详解】因为(45+W。=2,

则4万2+万石=2，即4+万万=2,解得万石=-2，5=。,2),

则|可=巧下=有,

9/34

\2a+b\=yl(2a+b)2="/+升+4小B=74+5-8=1.

故选:B.

5.(24-25高一下•贵州遵义•期末)已知向量"=1,E=(cos*,sin。)，且满足,+4=卜-囚，则a+2「=

()

A.1B.y[2C.V3D.6

【答案】D

【分析】根据模长的坐标公式以及数量积的运算律，可得答案.

【详解】由坂=(cos(p,sin(p),在，卜Jcos?e+sin。中=1,

由日+q=F一阳则/+21行+^=/一21B+片，即彳=0，

所以卜+="\a+4a-b+4b^=y/s.

故选：D.

6.已知向量a,方满足|a|=|5|=|G-5|=2,则小5=()

A.0B.2C.272D.26

【答案】B

【分析】把两边同时平方，结合向量的模长可得结果.

【详解】由|G-B|=2得，片-2相B+庐=4，

•••|d|=|B|=2,•••4-2展8+4=4，即。石=2.

故选：R.

7.(23-24高一下•浙江杭州•期中)已知平面向量£二(2,0),B=且M-4=产+2年则加=(

A.-1B.C.D.0

22

【答案】B

【分析】因为弧方-可=卜+力|，所以两边平方即可得到关于刑的一元二次方程，解出用即可.

【详解】a=(2,0),B=,•.同=2，W=0ZB=-2,

\^a-b\=\a+2b\f两边平方得：”/-2〃»片=蓝+4»4片，

化简得到，阳2+加一1=0,则加=二生叵.

22

故选：B.

8.(24-25高一下・贵州贵阳•月考)已知向量ZB1满足G+B与^互为相反向量，同=2,同=1"云=1,则W

()

10/34

A.GB.3C.y/1D.7

【答案】C

【分析】根据1+5与3互为相反向量得出5与G、的关系，再对5的模进行平方，结合已知条件求出|很『,

最后开方得到|才

【详解】因为n+B与5互为相反向量，则它们的和为零向量，可得伍+&+3=0.

移项可得5=-2-小两边平方可得：b2=(-a-c)2

可得:b2=a2+2a-c+c2

已知I划=2,则严=|开=22=4；

已知I了1=1,则12=m|2=[2=].

则历『=4+2xl+l=4+2+1=7

因为历F=7,且向量的模是非负的，所以|5|=".

故选：C.

9.(24-25高一下•重庆•期中)若平面向量。，b,"两两的夹角相等，且同=恸=1,同=3,则忸+5+2日=

()

A.5B.8C.7或8D.5或8

【答案】D

【分析】根据给定条件，利用向量运算律计算即得.

【详解】由向曷K,b,己两两的夹角相等，

——————1111—•—•2TT

得〈。力〉=(jbyc)=(a,c)=0或①向=S,。〉=〈a,G-—,

当值母=区")=6心=0时，m+万+2己|=8,

2

当〈£[〉=区)〉=&1〉=$时，M|=&+万+232

故选：D

10.(24-25局一1下•浙江宁波・期末)已知同=2,〃.B=0，c=a+bac=4b-c»则k-2.=()

A.1B.2C.x/5D.2石

【答案】C

【分析】利用向量数量积的运算律以及模长计算公式，计算可得解.

【详解】由题意，,卜2,a-b=0»c=a+b

所以=即[(£+5)=4研Z+耳，可得7=4片=4,则片=1，

11/34

所以*2*|£+[-2相*=\『-外="2-2工石+片=内=石.

故选：C.

题型四、夹角运算

1.（24-25高一下•天津南开•期末）已知向量”满足）=（；，亭石=（2,-2折，则〈万万〉=

)

71_2兀3兀57r

A.C.D.

3.T4~6

【答案】B

【分析】根据给定条件，利用向量夹角求解即得.

【详解】由]=（；4）/=（2,—2回得2.B=gx2+等x（—2向=一2,

|圳二?+(-2扬2=4,

则侬♦犷“瑞=高=1,

B0<<5^）<TC,故〈瓦和卜.

故选:B

2.（24-25高一下•北京石景山•期末）已知f和j是夹角为60。的单位向量，a=l-2j,b=，则G与石的

夹角的余弦值为（）

A.一好B.正C.0D.立

553

【答案】C

【分析】利用两个向量的夹角公式即可求得结果.

L详解】ab=(i-2J).⑵)=2升一4,.j=2|/|2-4|/|-|y|cos60=2-2=0.

所以G/B，G与B的夹角的余弦值为o.

故选:C

3.（23-24高一下•黑龙江哈尔滨月考）已知用=（3,6）,万=（-3/）,若（而+方㈤=120。，=()

D6

A.B.-273C.-3

2

【答案】A

【分析】根据数量积的坐标表示，建立方程，可得答案.

12/34

m+n]n

【详解】由cos(〃?+〃,〃)w+/?=(0,6+A),+〃卜Jo+(6+/)"=|6+2|,

小胴'

6/i+A

则cos120’=整理可得3万-9=0,解得几=土石，经检验，4=-石符合题意.

|6+2|V9+r，

故选：A.

4.已知向量@=卜1,@,W=G,a\a-2b）=]0,则向量。与5的夹角是（）

2n

A.-CD.—

3-T3

【答案】C

【分析】利用向量的模长公式求出同=2,结合小伍-2q二10求出口，二一3,再利用向量数量积的定义求

解夹角余弦值，最后结合夹角范围求出夹角即可.

【详解】因为万二卜1,6），所以由向量的模长公式得同=J（一I）?+（JJ）2=2,

因为小向-25）=10,所以12一2•万石=10,即同2-2•一石=10,

得到4一2刀石=10,解得口/=-3，设向量方与1的夹角为夕,

—二—=_正

ab-3

而问=石，故cosQ=

|a|.p|-2-V3~2，

因为小e[0,可，所以夕=多，故c正确.

6

故选：C

5.（24-25高一下•云南保山•期末）已知k二百，网=2,且卜+可=,一2母，则cos（a,B）=（）

A2V2c百2V2

A.---------BD.

3--T3—

【答案】C

【分析】两边平方展开后化简得到关于cos«））的方程，解方程即可.

【详解】由归+耳=归一2q两边平方得，+r=/_筋$+4片,所以4.坂=2.

3，

故选：C.

6.（24-25高一下•全国•课后作业）设点力（4,2）,8（q,8）,C（2,a）,。为坐标原点，若四边形048C是平

行四边形，则向量方与无的夹角为（）

A色

Di

•3c?，

13/34

【答案】B

【分析】根据题意，先求参数口再利用夹角公式即可求解.

【详解】因为四边形OABC是平行四边形，所以厉=无.

即(4-0,2-0)=(q-2,8-a),所以a=6.

设方与质的夹角为仇

因为方二(4,2),反=(2,6),

八OAOC4x2+2x6&

所以3*斫、*2~"+6「不

又。«0,句，所以On?,即次与l的夹角为

故选：B.

7.向量,卜忖=1,卜卜&,且£+5+工=0，则cos("c1-c)=()

A.——B.——■C.—D.

555

【答案】D

【分析】根据已知条件求出«-斗伍-@、*4、斤目的值,再根据向量夹角余弦值公式。。55,。=前

计算即可.

【详解】解析：因为工+料"=0,所以£+

所以(£+4=(可,即二+27B+片=3

即1+215+1=2，所以75=0

义。一。=2〃+办，h-c=a+2b»

所以("<?).伍-c)=(2a+B)(4+2B)=2a"+5“3+2刃”=2+0+2=4,

|14=/(2泊2=病+4ab+b~=J4+0+1=亚，

|S-c|=J(a+2.)=y/a2+4ab+4b=Ji+0+4=小»

所以8sseI”上*「行TG

故选：D.

8.(24・25高一下•重庆•月考)己知向量万与B,若同=1,方=(&,&),且向量万与B的夹角为:，则5=

)

14/34

A.(1,-0B.(0,1)C.(1,0)D.(0,1)或(LO)

【答案】D

【分析】设G=(x,y)，先计算数量积小方=|司W|cos：,利用数量积的坐标运算得x+J=l,又同=历了=1，

即可求解.

【详解】设1=(1/)，W="i/=2,所以2石=同间(^：=以2乂孝=收，

所以。•很=J5x+J5j，=&,即x+y=l,乂同=J./+y?=1,l；|Jx~+=1,

Y+y=1fJV=0丫=|

所以2；I，解得一|或‘一八，所以]=(0,l)或(1,0),

x+y=}[y=1y=0

故选:D.

9.已知向量,石满足同=|可=1,人征=(1,1),则"6与，的夹角为()

7T-兀-兀c3兀

A.-B.-C.D.——

6734

【答案】B

【分析】首先求出忸-可，再根据数量枳的运算律求出即日求出归+可、(1+可/，最后由夹角公式

计算可得.

【详解】因为万—5=(1/)，所以,一可=々+12=&,

又忸_可=J("盯=yla2-2ah+h2=yl\-2ab+\=42,

所以万万=0,

所以B+E卜#+E)2=y/a2+2ab+h2=>/2,

所以。好+砌二篇审美考，

又9+瓦)闫0,可，所以G+方㈤=%

即方+5与万的夹角为三.

4

故选：B

10.(24-25高一下•天津和平・期末)已知向量。=(1,-3),B=(x,-1),若方_坂与B的夹角为锐角，则x的

取值范围为()

A.(—2,1)B.(T2)

15/34

CEM宗)D.卜扑刖

【答案】C

【分析】根据向量夹角余弦公式和向量数量积的坐标公式可求出参数的范围.

【详解】因为万=(1,-3)石=(x,-l),所以”B=(l-x,-2).

由于向量值-另与B的夹角为锐角，所以(。-很)•万>0,并去掉两者同向共线的情况，

pliJ(l-x)x+2>0,且一2XHX—1,解得；,2,

则工的取值范围为(-1］小停2).

故选：C.

11.(24-25高一下•重庆•期中)如图，矩形48CO的长为3,宽为2,E是8C边的中点，尸是44边上靠近

点4的三等分点，4E与。尸交于点历，则NEM/的余弦值为()

人飞C,近D.一也

1055

【答案】A

【分析】根据图形的特点建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，再利用而与近共线，而与而共

线，求出点M的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式进行求解即可.

【详解】

以n为坐标原点，荏，而所在方向分别为x轴和y轴建立平直直角坐标系,

则4(0,0),8(3,0),£>(0,2),£(3,1),尸(1,0),设

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.•.寂=(苍歹)，荏=(3,1),丽=(x,y-2),而=(1,-2),

•.♦而与近共线，设病=4荏，・'•《一？，即

y=/t

•.•丽与而共线，设丽=〃而,，厂一：、，即“（〃,2-2〃），

[y=2-2ju

3%=〃,解得a=g,A=y

/=2—2//

MEMF=

______5

MEMF为41

阿阿5VI0^/510-

7XT

故选：A.

题型五、投影向量运算（难点）

1.（24-25高一下・甘肃・期末）已知向量2=（61）,否=（1,0）,则Z在右上的投影长为（）

A.gB.1C.V3D.2

【答案】C

【分析】求出在£在3上的投影向量的坐标，进而求得投影向量的模即可.

【详解】因为＞=（6,1）花=（1,0）・

所以=（屈1）.（1,0）=A/JX1+1x0=6，W=JF+0?=1,

所以々在坂上的投影向量为竽,二¥.（1，°）=（6，0）,所以鬻*=JJ,

W14

所以[在办上的投影长为6.

故选：C.

2.（24-25高一下•贵州•月考）已知忖=2,且3在£上的投影向量的模为收，则£与3的夹角为（）

A.45°B.60°C.120°D.45°或135。

17/34

【答案】D

【分析】根据题意，阵冏鹏）卜应，进而得到卜os（“）卜日,再求夹角即可.

【详解】否在）上的投影向量的模等于Wcos^,今卜0,

又W=2，所以cos（a,卜,

因为卜月式。，九]，

所以但今=45。或135。.

故选：D.

3.（24-25高一下•浙江杭州•期中）已知aB是夹角为120。的两个单位向量，则向量1-6行在向量d上的投

影向量为（）

A.B.-aC.-2aD.4不

【答案】D

—1

【分析】利用向量数量积的定义求得。小=-5,再根据投影向量的概念计算即可.

【详解】依题意，a-^=lxlxcosl23=-1,

则（，―6另）•a=Q--6a•B=]_6x（_；）=4,

于是，向量61在向量方上的投影向量为空潦四二二4人

故选：D.

4.己知向量值=（1,6）出在。上的投影向量为-2G,且|在卜6,则cos伍B）=（）

A.一,B.-立C.-1D.1

3223

【答案】A

【分析】利用投影向量的定义及向量夹角公式计算得解.

—♦—•一—

【详解】依题意，向量B在G上的投影向量为誓£=-22,则空二-2,

1叶|叶

由，=(1,石)，注|〃|二+(6)，=2，:是a7=-2|a「=-8,乂|方|=6,

—（2•h一82

所以烟仇外二点卷=三二-9

|a||b|2x63

故选：A

5.<24-25A下•福建福州•期木）已知向量2，万满足|a|=l,历1=2,\a-b\-y[7,贝UZ+各在5方向上的

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投影向量是（）

I.3r]—3-

A.-bB.—bC.—bD.—b

4444

【答案】B

【分析】利用投影向量的定义，结合向量的运算求解即可.

【详解】由于向量2,1满足|a|=l,历|=2,|。一3|=J7»

所以|]一6/=万2—2不5+后=1-2无5+4=7,解得万5=7，

故选:B

6.在中，点。是8c的中点，且力。=!8。，则心在市上的投影向量为（）

A.-ABB.--~ABC.-ABD.AB

22

【答案】C

【分析】判断三角形为直角三角形，根据投影向量的定义，即可求得答案.

【详解】由题意知在△力8c中，点。是8c的中点，且4O=；8C,

则方在:而上的投影向量为18cleos（兀-8）7=7=-|5c|cosB尚

故选:C

7.（24-25高一下•江苏徐州•期末）在梯形/18C。中，AB〃CD,AD=\,AB=2,ZBAD=60°,若配

在:正上的投影向量为则》=（）

B.AB+-'AD

2

C.+ADD.~AB+-~AD

4

【答案】c

【分析】设反=4而，则就=/在+而，利用投影向量可得就.方=2,利用向曷的数量积的定义及运

算律可■求解.

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【详解】依题意，设反=4而，则祝=而+觉=2万+而，

I__AC•AB-1

因为X在在上的投影向最为大招，所以|力278=5”,又/8=2,

2\AB\z

所以衣•在=4x；=2,所以（/C历+而）•益=2,即义万。万.而=2，

1—1——

因40=1,AB=2,NB力力=60。,则4/t+2xlxcos600=2,解得义二一，所以4。=一48+力。.

44

题型六、含平行、垂直关系运算（常考点）

1.已知向量3=（2,-1）,^=（3,2）,c=（2,4）,若2G-B与B+3^共线，则实数/的值为.

【答案】-3

【分析】根据平面向量共线的坐标表示公式，结合平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.

【详解】因为向量5=（2,-1）,5=（3,.5=（2,4）,

所以21—5=（1,—2—义），石+31=|：9,%十12）,

因为2万一5与1+3己共线,

所以lx（/l+12）=（-2—/l）x9,解得2=—3.

故答案为：-3

2.（24-25高一下•广东汕头•期末）已知向量G,囚满足同=1,恸=2,且四+可,仅很一万），则力

【答案】-1

【分析】根据向量垂直的数量积表示，求出向量的数量积即可.

【详解】由（3万+9，（25-1）得，（31+5）3-万）=0,

化简得_37+573+27=0,因为同=1,忖=2,

所以一3+5〃•B+8=0，解得ab=-\-

故答案为：-1.

3.（24-25高一下•黑龙江双鸭山月考）已知平面向量G,