2026年初中数学中考复习：相似三角形（含位似）

微专题22相似三角形（含位似）

考点精讲

构建知识体系

「比例的性质

（平行线分线段成比例卜

L黄金分割

,相似多边形）

「定义

相似图形-边

-角

q相似三角形卜-性质--周长

-面积

区别、联系

「边

匚判定一角

I边+角

位似图形］一-位似作图

考点梳理

1.比例

⑴比例线段

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即那么

比例线段bd

这四条线段小〃，的d叫做成比例线段，简称比例线段

比例中项如果。：：c或或①，那么〃叫做。和c的比例中项

（2）比例的性质

性质1（基本

如果三=：,那么②=hc（bdWO）（反之也成立）

baf

性质）

性质2（合比

如缺=3那么看=③3,k0）

性质）

性质3（等比

如果詈=詈=・・=詈，且6+岳+…+瓦¥0,那么…2：丁二詈

性质）

2.平行线分线段成比例

⑴定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例（基本事实）.

（2）推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成④

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3.黄金分割比例(2023.6)

图示I—E

如图，点C把线段48分成两条线段AC和8C,且哼=⑤______,那么线段A8被点

AB

定义C黄金分割，点C叫做线段A8的黄金分割点，AC与A8的比叫黄金比，即堂=

AC入4B

—^0.618,—^0.382,简记为"=”=走二

2AB全k2

【满分技法】一条线段上有两个黄金分割点

4.相似三角形的性质与判定(6年11考)

(1)相似三角形的对应角⑥,对应边⑦；

性质(2)相似三角形中的所有对应线段(高、中线、角平分线)成比例，且等于相似比；

(3)相似三角形的周长比等于⑧，面积比等于⑨

两角分别相等的两个三角两边成比例且⑩相等三边⑪的两个三角

⑴定义：两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似

图形，这个点叫做位似中心

(2)性质：①位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

②在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，相似比为A,那么位似图形上的时应点的坐

标的比等于女或一女

练考点

L已知户，占I，则

2.如图是五条等距离的平行线，同一条直线上的二个点A,B,C'都在横线上，若线段A8=4,

则线段BC的长为

第2题图

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3.如图，若线段A5=2,点C为AB的黄金分割点，且AO3C,则AC的长为.

III

ACB

第3题图

4.若两个相似三角形的边长之比为1:2,则它们的面积比是.

5.如图，.与C。交于点0.若黑磊带则导-------------•

K

D人

第5题图

6.如图，zMBC与△OEF是位似图形，且位似中心为0,OB：OE=2：3,若△八BC的周长

为4,则尸的周长为.

第6题图

高频考点

考点1平行线分线段成比例

例1（北师九上习题改编）如图，直线4〃b〃C,分别交直线〃于点4,C,E,B,D,F,

下列结论正确的是（）

Ann

A.—AC=—BDB.—AC=—BF—ACBDD.—AC=一CE

CEBFAEDFc.——=——

变式1（人教九下习题改编）如图，直线A。，BC交于点O,AB//EF//C。.若A0=2,OF

=1,FD=2,则普的值为.

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AB,

EF

'CD

变式1题图

考点2相似三角形的性质与判定（6年9考）

模型一A字型

[2023.15,2023.22(2)②，2021.21(2),2020.22(2),2019.24(3)]

模型分析

类型正正”字型斜“A”字型

模型展示

模型特点有共用的一组角/A,并且有另外一组角相等，形似“字母A”

解题思路找同侧的一组相等角找异侧的一组相等角

.八八

▲n—ADAEDE,八八A4八心力0'EDE

结论A

ABACBCACABCB

例2（人教九下练习改编）如图，D,E分别是△A3C边A8,AC上的点，NAED=NABC,若

AQ=2,30=4,AE=3,则CE的长为.

例2题图

变式2如图，在△ABC中，NACB=90°,CQ为斜边A8上的高，若AC=6,BD=5,则

sinB的值为.

A

工

CB

变式2题图

变式3如图，在aABC中，3。平分NA8C交4。于点。，过点。作交A8于点E,

若BE=2,BC=3,则包迪=

StaA8c

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变式3题图

模型二8字型

[2021.23,2019.10③]

模型分析

类型

模型展示

模型特点有一组角为对顶角，并且有另外一组角相等，形似“数字8”

解题思路找对顶角之外的另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例

4八cAc八-AOBOAB

结论△AOBs/\DOC=—=—=—△AOB^/\COD^—=—=—

DOCODCCODOCD

例3如图，线段AE,B。交于点C,连接AB,DE,若AC=9,CE=4,BC=CD=6,DE=

3,则AB=

例3题图

变式4如图，正方形48CD的边长为5,正方形EFGC的边长为3,点8,C,G在一条直

线上，连接3F,交。于点儿则图中阴影部分的面积为

变式4题图

模型三手拉手型

[2024.22(2)]

模型分析

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模型展示:

AA

模型特点：1.如图①，DE//BC,NBAC=NDAE；

2.如图②，将△ADE绕点A旋转一定角度后，连接BZ),CE,延长8。交CE于点尸

结论：@AADE^/XABC；②若AQ=AE,AB=AC,则△A以运△ACE

例4在△ABC中，D,£分别是A8,AC的中点，连接。E,将△ADE绕点A逆时针旋转到

如图所示的位置，连接8D,CE',若4D=|A£;80=4,则C?的长为.

变式5如图，在△ABC和△AOE中，点。在3c边上，ZB=ZADE=30°,ZBAC=ZDAE

=90。，则黑的值为.

riD

变式5题图

模型四一线三垂直型

[2021.23]

模型分析

类型类型一类型二

模型特点Zl,22,N3的顶点在同一条直线上，Zl=Z2=Z3=90°

模型展示

结论AABDsACEB

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例5如图，在矩形A3C。中，AB=6,点、E,尸分别在边A3,8C上，且EFLDF.若CF=

2BE,则的长为.

例5题图

变式6如图，在△ABC中，/B4C=9(T,点A的坐标为(0,2),顶点C在反比例函数y=gx

>0)的图象上.若A8=2AC,且。4=。8,则攵的值为________.

变式6题图

考点3位似

例6如图，线段48的两个端点的坐标分别为A(l,2),4(2,()),以原点为位似中心，将线

段A3放大得到线段C。，若点。的坐标为(5,0),则点。的坐标为.

0BI)X

例6题图

真题及变式

命题点1黄金分割数(2023.6)

1.(2023广东6题3分)我国著名数学家华罗庚曾为普及优选法作出重要贡献.优选法中有一种

0.618法应用了()

A.黄金分割数B.平均数C.众数D.中位数

拓展训练

2.(2024东莞一模)宽与长的比是等(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的

美学价值，给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形

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ABCD,分别取AQ,BC的中点E,F,连接EB以点尸为圆心，以尸。为半径画弧，交.BC

的延长线于点G；作GHLAD交的延长线于点H,则图中下列矩形是黄金矩形的是（）

AEDAEDH

RFC.RFC.

第2题图

A.矩形A8FEB.矩形衣CDC.矩形EFGHD.矩形。CG"

命题点2相似三角形的性质与判定（6年11考）

拓展训练

3.（2024梅州一模改编）如图，在ZkABC中，CQ_LAB于点。，于点E,与CO相交于

点F.若NABE=30。，差=%则寞的值为

CE4EF--------

第3题图

4.如图，在aABC与AAOE中，ZBAC=ZDAE,ZABC=AADE,连接30,CE.若

SAADB：SA4EC=16：9,4AOB的周长为2,求△AEC的周长.

第4题图

5.如图为两个全等的等腰直角△A5C和△ADE,已知NB4C=NAED=90°,AD,AE分别

交BC边于点、F,G,BC=5yj2.

（1）求证：AG2=BGFG；

（2）求证：△A3Gs△尸CA；

⑶设8G=x,CF=y,求），与x之间的函数表达式，并写出x的取值范围.

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A

第5题图

新考法

6.［数学文化］（2024佛山二模）《墨子・天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆”.度方知圆,

感悟数学之美.如图，以面积为1的正方形4BCO的对角线的交点为位似中心，作它的位似图

形ABC。，若A8：AB=1：2,则四边形ABC'。'的面积为（）

A.9B.6C.4D.3

A'

第6题图

7.［数学文化］四分仪是一种百老的测量工具，可以追溯到公元2世纪的托勒密时代.如图就是

一种四分仪在距离测量上的应用，该四分仪是在边长为1米的正方形ABCO的一个顶点处安

装一根方向杆.若将该四分仪的方向杆对准远处的目标物E,在四分仪上读出。尸的长度为20

犀米.已知点B.CE在同一条直线卜,则目标物E与点A之间的距离月町为（）

第7题图

A.1米B.4米C.5米D.6米

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8.［跨物理学科］（2024山西）黄金分割是汉字结构最基本的规律.借助如图的正方形习字格书写

的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观.已知一条分割线的端点A,5分别在习字格的边MN,PQ

上，且“晋”字的笔画的位置在A8的黄金分割点。处，且器=与1.若NP

AB2

=2cm,则5c的长为cm（结果保留根号）.

第8题图

9.［结合网格］如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为1,则阴影部分的面积为.

第9题图

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考点精讲

®b2=ac②ad③亨④比例或⑥相等

⑦成比例⑧相似比⑨相似比的平方⑩夹角

⑩戈比例

练考点

1I2.23,V5-14,1：45.16.6

高频考点

例1D【解析】・・・Q〃〃〃C,・噂=崇，瞳=祟蔡=知・••选项A，B,C错误，不符合

题意；D正确，符合题意.

变式1-【解析】・・・AB〃七/〃CO,・,・丝=竺="土丝，・・山。=2,OF=1,FD=2,：.—=

2ECFDFDEC

2+13

—

例【解析】・・：

21•NAEO=NA8C,ZDAE=ZCAB,.^ADE^AACB,ACABA—3+CE

=工，解得CE=1.

2+4

变式2-【解析】VZA=ZA,ZADC=ZACB=9(.r,A△

3ACAB

即当解得，AO|=一9(舍去)，A£>2=4,则sinNB=^=言=:.

o/1/xiAD4+53

变式3三【解析】,・・8。平分NABC,/.ZABD=ZCBD.*：DE//BC,：.ZEDB=ZCBD=

ZABD,:・DE=BE=2.•:DE〃BC,：・>AEDs/\ABC,)2=(-)2=-.

SMBCBC39

例【解析】

3-2ECCE2V4C=9,CE=4,BC=CD=6,VZACB=ZDCE,

：

AACBs4DCE,DEDC2VDE=3,.AB=~2,

变式4-【解析】・；NFEH=N3CH,/EHF=/CHB,：・AEHFsACHB,小驾=三,

16CBCH5

3gIio27

:.EH=-CE=~.・・・SAEFH=-EHEF=-'X-X3=—.

8822816

例46【解析】・・・。，E分别是AB,AC的中点，・・・QE〃8C,・・・当=翌，由旋转得，ZDAE

ABAC

1：1

=/D'AE‘,AD=AD\AE=AE\ABACZDAD^/D'AE=ZD'AE-^ZCAE\.ZDAD

=/CAE,：.^ABD^/\ACE\?.^=^=—=-,V^D,=4,：.CE'=6.

CE'AE'AE3

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变式5—【解析】NBAC=NOAE=90°,/.tanZ/3=—,tanZADE=—NB=NADE

3ABADf

=30°,A—=—=tan30°=3.又：NB4c=NOAE,I.NBA。-N£UC=NDAE—NZX4C,

ABAD3

即/8AQ=NC4E,：.^ABD^/\ACE

fBDAB3

例53【解析】'：EFA.DF,：.ZEFD=90°,即NBQE+N677)=90°;N8FE+N8E/7

=90°,：.ZBEF=ZCFD,又。N8=NC=90°，工ABEFsACFD,；•导弟°：CF=2BE,

AB=CD=6,工2需BE=6%解得8/=3.

变式63【解析】如解图，过点C作CH_L)轴于点H.・・・A(0,2),OA=OB,：,OA=OB=

2,VZBAC=90°,・・・NOA8+NCAH=9()°，;NA3。+N048=9()°,：.ZAB()=ZCAH,

又・・・：：：

NAOB=NA”C=90°,.LABO^^CAH,HCHACA=2,.CH=AH=\,.OH

=Q4+A〃=3,.\C(1,3),I点。在y=§的图象上，.'.2=1X3=3.

变式6题解图

例6€，5)【解析】由题意得，△048与△OC。为位似图形，・•・△0A8s/\0C。，・.•点

RQ,0),0(5.0).：.OR=2,OD=5.J△OAA与△。。/)的相似比为2：5,二,点4坐标为

(1,2),・••点C的坐标为(IX京2X|),即弓，5).

真题及变式

1.A

2.D【解析】设正方形的边长为2,则CD=2,CF=\在直角三角形OC/中，DF=®：.CG

=花一1,・・・黑=更三，・・・短形QCGH为黄金矩形.

【解析】・；：：

3.2-,.CO_LAB,BELAC,.NBDF=NCEF=90°,.LDFB^/\EFC,.ZDBF

=ZECF=30°,在RlZkEC/中，ZECF=30°,：.EF=-CF,A—=#^=2X—

CECF42EF-CFCF

4.解：'：ZBAC=ZDAE1ZABC=AADE,

“ABCSAADE,

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ADAEACAE

,."BAC=/DAE,

・•・/BAC—NCAD=ZDAE-ZCAD,即ZBAD=NC4E,

：.^ADB^/\AEC；

•：SAADB：SAAEC-16:9,

CAADBCAAEC=4：3.

,**CAADB=2,

CAAEC=~-

5.(1)证明：由题意可知，ZFAG=ZABG=45°,

・・•/AGF=NBGA,

.\A

.AG_RG

・*7G~~