上海八年级数学上册-一元二次方程求根公式（同步练习）

17.2.4一元二次方程求根公式

（夯实基础+能力提升）

【夯实基础】

一、填空题

1.（2020.上海市静安区实验中学八年级课时练习）方程（x-l）（x+3）=12的解为

二、解答题

2.（2（）21•上海市川沙中学南校八年级期中）解方程：（2x-l）（x十3）二1

3.（2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习）4x:-4V2x-l=0

4.（2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习）解方程：X2-2^X-2=0

5.（2021・上海.八年级期中）解方程：3X2-4X-1=0.

6.（2021・上海•八年级期中）解方程：X2+4A-3=0

7.（2019•上海市梅陇中学八年级期中）解方程：3X2-2=6X

8.（2019•上海市浦东新区建平中学南校八年级阶段练习）解方程：3/-461=0（用公式法）

9.（2021•上海普陀•八年级期末）解方程：x2-12x=4

10.（2021・上海•虹口实验学校八年级期中）解方程：（x+2）（x-3）=41+8；

11.（2021.上海市蒙山中学八年级期中）用公式法解方程：X2-2V2X-3=0.

12.（2021•上海市金山初级中学八年级期中）解方程：f_2&.厂3=0.

13.（2。22・上海•上外附中八年级期末）解方程…W=。.

14.（2022•上海•八年级期末）解方程：2/+4x-7=0.

15.（2022・上海•八年级期末）解方程：/一2氐-4=0.

【能力提升】

一、填空题

1.（2019•上海市南洋模范中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程

V—12x+31=0的一个根，则这个等腰三角形的腰长为.

2.（2022・上海•八年级专题练习）阅读理解：对于》7（〃2+1卜+〃这类特殊的代数式可以按下

面的方法分解因式：

+l\x+n=xi-n1x-x+n=x\Xl-u2）-（x-n）=x（x~n）（x+n）-（x-n）=（x-n）（x2+nx-1）理解运

用：如果+1卜+〃=0,那么*一〃）任+/比-1）=0,即有x—天=0或炉一1=0,因此,方

程x-〃=0和/+收_]=o的所有解就是方程/一（〃2+1卜+〃=（）的解.解决问题：求方程

/-1Ox+3=0的解为.

二、解答题

3.（2019•上海市松江区新桥中学八年级阶段练习）解方程：（x-2）2-10（X+2）+9=0

4.（2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习）9?-6V6x+1=0

5.（2020.上海浦东新.八年级阶段练习）解方程：2X2-4X-7=0.

6.（2019•上海市民办嘉一联合中学八年级阶段练习）解方程：3X2-6A+2=O（公式法）

7.（2019.上海市民办桃李园实验学校八年级阶段练习）解方程：20.1="，+［）

8.（2021・上海市培佳双语学校八年级期中）解方程：（x+5）（x-2）=1.

9.（2022・上海•八年级专题练习）设〃z是满足不等式13处50的正整数，关于x的二次方程

(%-2)2+(a-tn)2=2mx+a2-2am的两根都是正整数,求ni的值.

10.(2021・上海•八年级期中)阅读理解：小明同学进入初二以后，读书越发认真.在学习“用

因式分解法解方程''时，课后习题中有这样一个问题：

下列方程的解法对不对？为什么？(x+3)(x-10)=1

解：(x+3)=l或(10)=1.

解得、=-2或x=U.

所以芭=-2,x2=11.

同学们都认为不对，原因：有的说该题的因式分解是错误的；有的说将答案代入方程，方程

左右两边不成立，等等.

小明同学除了认为该解法不E确，还给出了一种因式分解的做法，小明同学的做法如下：

取(x+3)与(x-10)的平均值即将(x+3)与(一⑼柞加再除以2.

那么原方程可化为卜-£卜

左边用平方差公式可化为1-gj

再移项,开平方可得尸邛

请你认真阅读小明同学的方法，并用这个方法推导：

关于工的方程加+瓜+C=0("0)的求根公式(此时6-4优20).

17.2.4一元二次方程求根公式)(解析版)

(夯实基础+能力提升)

【夯实基础】

一、填空题

1.(2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习)方程(x-l)(x+3)=12的解为.

【答案】3或-5

【分析】首先把方程转化为一般形式，再利用公式法求解.

【详解】(x-1)(x+3)=12

x2+3x-x-3-I2=0

x2+2x-15=0

_-2±V4+4X15_-2±A/64_-2±8

222

x1=3,x2=-5

故答案是：3或-5.

【点睛】考查了学生解一元二次方程的能力，解决本题的关键是正确理解运用求根公式.

二、解答题

2.(2021•上海市川沙中学南校八年级期中)解方程：(2x-l)(x+3)=l

【答案】^=_5+V57

44

【分析】方程整理后，找出6,。的值，计算出根的判别式的值大于0,代入求根公式即

可求出解.

【详解】解：方程整理得：2/+5%-4=0,

这里。=2,b=5,c=Y,

A=/?2-4rtc=52-4x2x(-4)=57>0,

-5土质

・'X=-----,

2x2

-5+^7,-5-^7_

144

【点睛】此题考查了解一元二次方程的方法，本题适合公式法，熟练掌握求根公式是解本题

的关键.

3.(202()•上海市静安区实验中学八年级课时练习)41-4五r-1=0

【答案】.

22

【分析】利用公式法即可求解

【详解】解：:4=4,=,c=\.

AA=/r-4«c=(-4V2)2-4x4x|-l)=48,

A-2x4

【点睛】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法

是解题的关键.

4.(2020・上海市静安区实验中学八年级课时练习)解方程：/_2页・2=0

【答案】Xy=>/2+2,Xj=V2-2.

【分析】先计算根的判别式，再利用公式法解方程即可.

【详解】解：由题意得：a=\,b=-2y/2,c=-2,

.1=b2-4ac=(-2V2)2-4xlx(-2)=16>0,

…过血2,

2

/.X1=>/2+2,七=V2—2.

【点睹】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握利用公式法解一元二次方程是触题的关键.

5.(2021・上海•八年级期中)解方程：3X2-4X-1=0.

r梵安12+5/72—\fi

［合某JX)=---,x,=---.

3•3

【分析】根据公式法即可求解.

【详解】解：3X2-4A-1=O

a=3,b=-4,c=-1,

二△=〃2-4.c=(y)2-4x3x(-1)=28>0

方程有两个不相等的实数根

-b±yJb2-4ac

x=-----------

2a

=一(-4)土质_4±2近_2±y/l

2x3-6~~3

33

【点睛】此题主要考杳解一元二次方程，解题的关键是熟知公式法的应用.

6.（2021・上海•八年级期中）解方程：x2+4.t-3=O

【答案】内=-2+疗,$=-2-、行

【分析】根据公式法即可求解.

【详解】解：其中a=l,〃=4,c=-3,

/?2-4«C=42+4x1x3=28

得X_—b±y/b2—4ac_—4±-s/28_—4±2不

=-2±V7

22

即x=-2+V7或x=-2-V7

所以原方程的根是N=-2+方,电=-2-夕

【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用.

7.（2019.上海市梅陇中学八年级期中）解方程：3f—2=6x

【答案】玉=3+产小=3-产

3-3

【分析】首先将原方程移项，然后利用公式法直接求解即可.

【详解】原方程可化为：3X2-6X-2=0

6±J（-6）2-4X3X（-2）

x=-----------——-

2x3

3+V153-V15

百二二，*二二

【点睛】此题主要考查利用公式法解一元二次方程，熟练掌握，即可解题.

8.（2019•上海市浦东新区建平中学南校八年级阶段练习）解方程：3/-©-1=0（用公式法）

【答案】乂尸与女，*2=乎.

33

【分析】先确定出a、b、c的值，然后再求得。2_4〃c的值，再代入一元二次方程的求根公式

求出即可.

【详解】解：3/-4x7=0,

Z?2-4t7c=(-4)2-4x3x(-l)=28,

4+V28

x=

2x3

【点睛】本题考查解一元二次方程-公式法：把（〃-4wND叫做一元二次方

程ax?+bx+c=0(a/0)的求根公式：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.

9.(2021•上海普陀•八年级期末)解方程：x2-I2x=4

【答案】整=6+29，x,=6-2710

【分析】利用求根公式求解即可.

【详解】解:X2-12X=4,

X2-12X-4=O,

a—\,b——\2,c—7,

/.A=(-12)2-4xlx(-4)=160>0,

则户―-”=但叵=6±2而,

2a2x1

:.x[=6+2>/10,=6-2>/10.

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因

式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法.

10.(2021・上海・虹口实验学校八年级期中)解方程：(x+2)(X-3)=4x+8；

【答案】x/=7,X2=-2

【分析】方程整理为一般形式，利用公式法求出解即可.

【详解】解：方程整理得:^-5x-14=0,

则a=Lb=-5,c=-14,

・"2-44=25+56=81>0,

,5±9

•,x=-2-'

解得：x/=7,X2=-2.

【点睛】此题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键.

11.(2021•上海市蒙山中学八年级期中)用公式法解方程:f-2&-3=0.

【答案】X尸&+逐，X2=V2-\/5.

【分析】先确定4=1,Z?=-2>/2,c=-3,然后求A=bJ4ac=《2&)--4xlx《3)=8+12=20,代入公式

户但叵三化简计算即可.

2a

【详解】解：・・・/-2a43=0，

••a=1,b=-2x/2,c=—3♦

A=Z?2-4ac=/2a)-4xlx(-3)=8+12=20,

•x_-_20±2#-y/2+A/5

-27i-'

.*.x/=V2+V5,X2=5/2-V5.

【点睛】本题考查的是解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握公式法的一般步骤：①

一元二次方程化为一般式；②。、6C的值；③计算△；④代入公式.

12.（2021•上海市金山初级中学八年级期中）解方程：X2-2V2X-3=0.

【答案】N=0+6,占=0-石

【分析】方程利用求根公式计算即可求出解.

【详解】解：*.'«=!,b=-2>]2»c=-3,

/.b2-4ac=(-2>/2)2-4x|x(-3)=8+12=20,

-b±\Jb2-4ac2>/2±2V5

x=---------------------=-----------------=6士后,

2x1

即玉=&+石，—

【点睛】本题考查了解一元二次方程-公式法，解题的关键是熟练掌握求根公式.

13.（2022・上海•上外附中八年级期末）解方程：丁+!.：=（）.

63

12

【答案】A-=i

【分析】将方程整理为一般形式，找出出方及C的值，计算出根的判别式的值大于0,代入

求根公式即可求出解.

【详解】解：..«=1,/,=1c=-l

03

1149

•,­△=（7）2-4xlx（-T）=T7>°，

6336

._______1+7

则一任扬_4比6-6,

.一2a2x1

即玉=耳，X2=~~-

【点口青】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：

直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解

题的关键.

14.（2022•上海•八年级期末）解方程：2X2+4X-7=0.

【答案】玉=必芈，占=土芈

2•2

【分析】用公式法求解即可.

【详解】解：,.,。=2,b=4,c=-7,

△=〃_4ac=16+56=72>0,

,-4±6>/2-2±3夜

・・x=-----------=------------.

42

所以原方程的解为为=后亚，9=柠2.

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法一公式法，先求出△的值，然后根据工="区求解

2a

即可.

15.（2022・上海•八年级期末）解方程：X2-2V5X-4=O.

【答案】n=石+3,%=6-3.

【分析】直接利用公式法即可求出方程的解.

【详解】利用公式法求解，根据方程可知。=1,b=-2氏c=-4,

.・*_］士>/^右二_（_2如,（_2厨_4乂冈-4）=3,

~la_"~

X1=>/54-3,x,=-75-3.

【点睛】本题考查用公式法求一元二次方程的解，熟记解一元二次方程的公式法是解题的关

键.

【能力提升】

一、填空题

1.（2019•上海市南洋模范中学八年级阶段练习）已知等腰三角形的周长为20,腰长是方程

丁-121+31=0的一个根，则这个等腰三角形的腰长为.

【答案】6+亚

【分析】先求出方程的根，再根据三角形的三边关系分情况讨论求解即可.

【详解】X2-12.V+31=0

公式法解得：\=6+V5,=6-V5

（1）当腰长为6+石时，由周长可得，底边为20-2x（6+6）=8-2k，经检验，符合三角形的

三边关系（6+6+8-2石>6+6）；

（2）当腰长为6-6时，由周长可得，底边为20-2x（6-逐）=8+26，经检验，不符合三角形

的三边关系（6-石+6-行<8+2石）.

故答案为：6+75.

【点睛】本题考虑一元二次方程的解法、三角形的三边关系.求出方程的解后，结合周长利用

三角形的三功关系进行检验是解撅关键.

2.(2022・上海•八年级专题练习)阅读理解：对于丁-(〃，1卜+〃这类特殊的代数式可以按下

面的方法分解因式：

x3-(,22+l)x+/?=x3-n2x-x+n=x(x2-tt2)-(x-n)=x(xn)(.v+n)-(jr-/i)=(x-n)(jc2+nr-l)SWS

用：如果丁一(〃2+1卜+〃=0,那么(x-〃)y+，a_i)=o,即有x-〃=0或/+,d_i=o,因此，方

程％-〃=0和.一+九丫一1=。的所有解就是方程丁一卜/+1卜+〃=o的解.解决问题：求方程

V-1(卜+3=()的解为.

【答案】％=3田="叵，母士芈

-22

【分析】通过因式分解的方法把方程左边分解因式，这样把原方程转化为x-3=0或X2+3X-1

=0,然后解一次方程和一元二次方程即可.

【详解】解：・・・x3-10x+3=0,

.*.x3-9x-x+3=0»

x(x2-9)-(x-3)=0,

(x-3)(x2+3x-l)=0,

・・・x-3=()或X2+3X-1=0,

故答案为：百=3,x,=3或百=右叵.

【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解.所

以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程.也有的通过因式分解来解.也

考查了公式法解一元二次方程.

二、解答题

3.(2019•上海市松江区新桥中学八年级阶段练习)解方程：(X-2)2-10(.I+2)+9=0

【答案】％=7+2后;9=7-2而

【分析】用公式法解一元二次方程

【详解】解：(x-2f—10(x+2)+9=0

整理，得：X2-14X-7=0

a=\,b=-14,c=—7

O=b2-4uc=(-14)2—4x1x(-7)-224>0

.♦・方程有两个不相等的实数根

-h±y)b2-4ac_14±4>/14

=7±2V14

=7+2714;^=7-2A/14

【点睛】本题考查公式法解一元二次方程，掌握公式正确计算是本题的解题关键.

2

4.(202()•上海市静安区实验中学八年级课时练习)9X-6>/6X+1=()

【答案】芭一丝正

【分析】根据公式法可以解答本题.

[详解)解:「9x2-6nx+1=0,

/.a=9,b=-6\/6,c=l,

.,.△=(-6x/6)2-4x9xl=216-36=180>0,

・••方程有两个不相等的实数根，

,-6娓土网_戈土布

9•X=—1

2a183

.y/6+^5>/6->/5

■•>¥]=9X?,=■

【点睛】本题考查了解一元二次方程，解答本题的关键是明确解一元二次方程的方法.

5.(2020•上海浦东新•八年级阶段练习)解方程：2x2-4.t-7=0.

1合案」人I----,人,-----

2-2

【分析】首先通过判别式判断实数根的个数，然后应用公式法求解即可.

【详解】由题意可知：。=2,b=4c=-7

：.A=/?2-4ac=(-4)2-4X2X(-7)=72>0

・,•原方程有两个不相等的实数根

._-/?±\]b2-4ac_-(-4)±>/72

••X=------------=-----------

4±x/722±3x/2

解得人

所以原方程的解为苔=在乎，w=七芋

故答案为％="史，%="史.

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握并灵活应用二种解一元二次方程的方法是关键.

6.（2019•上海市民办嘉一联合中学八年级阶段练习）解方程：312一61+2=0（公式法）

【答案】=3+6=3-6

八口不：4人v］一〜，人，一~

3■3

【分析】先确定〃、b、C的值，求出〃2_4收=12,再代入公式计算即可.

【详解】解：V6Z=3,b=6,c=2,

b2—4ac=\2,

.v=6±Vi2=6±2^=3±V3

663

・•・原方程的解为x=三出3=上出.

3-3

【点睛】此题考查公式法解一元二次方程，熟记公式是解题的关键.

7.（2019•上海市民办桃李园实验学校八年级阶段练习）解方程：2氐=&/+］）

【答案】演=丝&,=维也

2-2

【分析】先化为一元二次方程一般式，利用求根公式求解即可.

【详解】解：2瓜=向+近,

旧-2瓜+6=0,

贝IJ可知从一4公、=12—8=4,

由公式法可知：］=独/=豆孚区=结回，

27242

•••原方程的解为内=书立;七=如衿.

【点睛】本题主要考查一元二次方程公式法，二次根式的除法，分母有理化，熟练掌握一元

二次方程公式法，二次根式的除法，分母有理化方法是解题的关键.

8.（2021•上海市培佳双语学校八年级期中）解方程：（x+5）（x-2）=1.

【答案】总=*叵，X2=土叵

22

【分析】先整理为一般式，再根据公式法解一元二次方程的步骤依次计算即可.

【详解】解：整理为一般式，得：/+3工・11=0,

1,b=3,c=-11,

.*.A=32-4xlx（-11）=53>0,

则尸-b土加-4ac=-3士后,

2a2

【点睛】本题考查解一元二次方程，熟练掌握公式法解一元二次方程的步骤是解答的关键.

9.(2022・上海•八年级专题练习)设机是满足不等式19匹50的正整数，关于x的二次方程

(x-2)2+(a-次)2=2对+/-2M的两根都是正整数，求m的值.

【答案】1.4.9.16.25.36.49

【分析[首先把方程进行整理，根据方程有两个正整数根，说明根的判别式△=岳-4々仑0,

由此可以求出血的取值范围，然后根据方程有两个正整数根确定的值.

【详解】将方程整理得：