2026年高考数学复习（全国）重难点01 利用基本不等式求最值8大题型（解析版）

重难点01利用基本不等式求最值8大题型

【全国通用】

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。题型2配凑法求最值

一题型3巧用“「的代换求最值

一题型4消元法求最值

J题型5齐次化求最值

一题型6多次使用基本不等式求最值

一题型7基本不等式的实际应用

J题型8与其他知识交汇的最值问题

J课后提升练（19题）

基本不等式是历年高考的重点和热点内容，是常考常新的内容.从近几年的高考情况来看，高考题型通

常为选择题或填空题，但它的应用范围很广，涉及到函数、三角函数、平面向量、立体几何、解析几何、

导数等内容，它在高考中常用于大小判断、求最值、求最值范围等.在高考中经常考查运用基本不等式求函

数或代数式的最值，具有灵活多变、应用广泛、技巧性强等特点.在高考复习中切忌生搬硬套，在应用时一

定耍紧扣“一正二定三相等”这三个条件灵活运用.

知识梳理

知识点1利用基本不等式求

1.基本不等式与最值

已知x,y都是正数，

⑴如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值2P；

（2）如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积孙有最大值32.

4

温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值时，必须有：（1卜、y>0,（2）和（积）为定值，（3）存在取

等号的条件.

2.常见的求最值模型

(1)模型一：nix+—>2y/mn(m>0,n>0),当且仅当x=｛己时等号成立；

(2)模型二：mx+—-—=m(x-«)+—--+ma>2y/nin+ma(m>(),/?>0)>当且仅当x-a=J—时等号成立；

x-ax-aVm

(3)模型三：———=—!—<—^=—(a>0,c>0),当且仅当x-E时等号成立；

ax~+bx+c£2y/ac+bVa

X

(4)模型四：x(，L="色二㈣4_j_(如十〃〃、2=《(m>0,〃)0,0<x<2),当且仅些x=J-时等

mm24mm2tn

号成立.

3.利用基本不等式求最值的几种方法

(1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值.

(2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

⑶邕数代换法：主要解决形如“己知x+jr”为常数)，求子+a的最值”的问题，先将?+；转化为

(5+2)•三"‘再用基本不等式求最值.

(4)消元法:当所求最值的代数式口的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常

数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

⑸构造不等式法:构建H标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基

本不等式，构造目标式的不等式求解.

知识点2基本不等式的实际应用

1.基本不等式的实际应用的解题策略

(1)根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

(2)解应用题时，•定要注意变曷的实际意义及其取值范围.

(3)在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

举一反三

【题型1直接法求最值】

【例1】(2025•河北保定•二模)已知x,y是非零实数，则3+茨的最小值为()

A.6B.12C.2D.4

【答案】A

【解题思路】由基本不等式即可求解.

【解答过程】《+苓〉2哥孽=6,

当且仅当5=I,

BP|y|=V3|x|>0,等号成立，

所以9+奈的最小值为6，

故选：A.

【变式1-1］（25・26高二上•北京海淀•月考）若%>0,则函数y=：+%的最小值为（）

A.2B.3C.2&D.4

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式即可求得答案.

【解答过程】由题意知%>0,则函数y=++xN2g^=4,

当且仅当q=》,即％=2时取得等号，

X

故函数y=：+%的最小值为4,

故选:D.

【变式1-2】（2025・甘肃定西•一模）马+夜的最小值为（）

XT

A.2V7B.3V7C.4V7D.5夕

【答案】B

【解题思路】利用基本不等式即可得解.

【解答过程】由题意知”工0,所以%2>0,5>0,

所以%2+，+夕22卜.热+夕=377.

当且仅当=*,即％2-V7时，等号成立.

故选:B.

【变式1-3］（24-25高一上•江苏淮安•阶段练习）如果m>0,那么当m十竺取得最小值时〃i的值为（）

m

A.-4B.4C.8D.16

【答案】B

【解题思路】根据基本不等式等号成立的条件即可求解.

【解答过程】由于m>0,故m+竺22日1^=8,当且仅当加=竺，即m=4时取等号，

m7mm

故选：B.

【题型2配凑法求最值】

【例2】(2025•新疆省直辖县级单位•模拟预测)已知％W(0,+8),则y=2x+品■的最小值为()

A.3B.4C.3V2D.6

【答案】A

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由%€(0,+8),得2x+l>l,

y=2x4--^-=2x+l+-^--l>2/(2x+l)--^--l=3,

,2x+l2x+l972x+l

当且仅当2x+l=匕，即X=3时取等号，

2x+l2

所以y=2x+W的最小值为3.

2x+l

故选：A.

【变式2・1】(2025•四川德阳•二模)若%>1,则函数y=2x+£的最小值为()

A.8B.9C.10D.11

【答案】C

【解题思路】利用基本不等式可得答案.

【解答过程】若4>1,则

所以函数y=2(x-1)+言+222小2(工-1)含+2=10,

当且仅当2(x-1)=士即％=3时等号成立.

故选：C.

【变式2-2](25-26高一上•全国•课后作业)若a>1,则4。十二的最小值为()

a-l

A.4B.6C.8D.无最小值

【答案】C

【解题思路】将式子配凑成,4(a-l)+=+4,然后利用基本不等式求解即可.

【解答过程】若。>1»则4a+——=4(a—1)4——-+4>2/4(ci—1)■——-+4=8,

a-la-lyja-l

当且仅当49-1)=」7,即a=；时，等号成立，所以4a+乙的最小值为8.

a-12a-1

故选：c.

【变式2-3]（2025•江西赣州•二模）已知y>x>0,则上一产的最小值为.

【答案w

【解题思路】依据条件结构特征利用分离常数法和配凑法思想对上-三进行变形配凑，再结合基本不等式

y-x2x+y

即可求解最小值.

【解答过程】由题y>%>0,所以

y4xy4x4-2y-2yy2y

------------=------------------=------1--------2

y-x2x+yy-x2x+yy-x2x+y

=，（力+高）-2=y（^l^+高）-2

3，，（2y-2x+2x+y）-2

"（2+=+学）-2

3\2y-2x2x+y/

A2，？4?I2x+y2y-2x\n_n—?

-A2+2际~2-3~2-3f

当且仅当黑二转，即2%+y=2y—2x,即y=4x时等号成立.

故答案为：|.

【题型3巧用“1”的代换求最值】

【例3】（2025•贵州遵义•模拟预测）已知。>0/>0,且a+2b=l,贝上+：的最小值为（）

ab

A.；B.4C.3D.2

2

【答案】B

【解题思路】利用I的代换，结合基本不等式可求最小值.

【解答过程】因为aI26=1,所以bII蜉6=b|]2^:212=4,

ahabahyjah

当且仅当2=%即a=b=；时取等号，所以2+]的最小值为生

ah3ah

故选：B.

【变式3-1】（2025•广东梅州•模拟预测）已知Q>0/>0,且Qb-28+1=0,则1+9b的最小值是（）

a

A.4B.6C.7D.8

【答案】D

【解题思路】将已知等式变形为Q+<=2,然后使用常数代换法，结合基本不等式可得.

D

【解答过程】由ab-2b+1=0得Q-2+：=0,即a+：=2,

ob

所以3+助=塞+9b）（a+3=Xl+3+9ab+9）*（10+2V5）=8,

Q+：=212

当且仅当•1卜，即Q=匕b时，等号成立，

4=9ad23

ab

所以工+9b的最小值为8.

a

故选:D.

【变式3-2］（2025•河南信阳•模拟预测）己知Q+b=1（出?>0）,则工+：的最小值为（）

ab

9

A.1B.2C.4D.-

4

t答案】c

【解题思路】利用“1”的代换结合基本不等式求解即可.

【解答过程】因为Q+8=1（。力>0）,

所以G+3（Q+b）=2+：+£N2+2J肝=4.其中：,挂匀正数•

当且仅当一二%即a=b=：时取等号.

故选:C.

【变式3-3］（2025・河南•三模）若Q>0,b>0,且a+b=l,则一工一9的最大值为（）

ab

A.-9B.-7C.-5D.-3

【答案】A

【解题思路】根据“1”的代换，结合基本不等式求出工+：的最小值，即可得出答案.

ab

【解答过程】因为Q>0,b>0,且Q+b=l,

所以3+h（HB（Q+b）=5+）,N5+2唇=9，

当且仅当合*a>0,b>0,即Q=g,b=g时等号成立，

所以」的最大值为-9.

ab

故选：A.

【题型4消元法求最值】

【例4】（24-25高三上•河南溪河•期末）设正实数以y、z满足公一孙+y2-z=0,则号的最大值为（）

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【解题思路】由已知条件可得出2=±，利用基本不等式可求得"的最大值.

zZ

y-+x-1

【解答过程】因为正实数％、y、Z满足必一盯+y2_z=0,则Z=%2+y2一盯，

所以，=士工4=1,

22

zx+y-xy2LLj

当且仅当）=3%>0,丫>0）时，即当％=y时，等号成立，

故？的最大值为1.

Z

故选：D.

【变式4-1]（24-25高一上•广东肇庆•期末）已知a>0,b>l,a+±=1,则士+b的最小值为（）

6-1a

A.15B.16C.17D.18

【答案】C

【解题思路】根据条件等式有：+匕=的-5）+瑞+9且匕>5,再应用基本不等式求最值.

【解答过程】由题设1一±=汽>0且匕>1,则b>5,

b-Xb-1

所听+仁曙+仁（〜5）+匿+91心-5）.氏+9=17

当且仅当b-5=£即b=9时取等号.

D—5

故选：C.

【变式4-2]（2025•浙江绍兴•三模）若x,y,z>0,且无？++2xz+2yz=4,则2%+y+22的最小值

是.

【答案】4

【解题思路】由题意可借助％、y表示出z,从而消去z,再计算化筒后结合基本不等式计算即可得.

【解答过程】由％2+专，+2次+2/=4,则22二上会，

即2无+y+2z=2=+y+=（2/刃（>+），）+"/.n.

x+yx+y

2x2+3xy+y24-4-x2-xyx2+2xy4-y2+4(%+y)24-4

x+yx+yx+y

4I

=>r+^+—>2j(x+y).—=4,

当且仅当％+,即％+y=2时，等号成立.

故答案为：4.

【变式4-31(2025•四川德阳•模拟预测)已知正实数》,y,z满足/++yz+%z+%+z=6,则3x+2y+z

的最小值是.

【答案】4百-2

【解题思路】因式分解得到3+2=高，变形后得到3x+2y+z=2(X+y)+&M，利用基本不等式求

出最小值.

【解答过程】因为x,y,z为正实数，

故，+xy+yz+xz+乃+z=6=>+Xz)+(xy+yz)+(x+z)=6,

即x(x+z)+y(x+z)+(x+z)=6n(%+y+l)(x+z)=6=x+z="；1,

6

3x-f-2y+z=2(x+y)+(%+z)=2(x+y)+.+丫十】

=2(x+y4-l)4-^T-2>2j2(x+y+l).^T-2=4V3-2.

当且仅当2(x+y+1)=丁*,即x+y=g-l,此时％+z=总工=2百，

所以3x+2y+z的最小值为4V3-2.

故答案为：4V3-2.

【题型5齐次化求最值】

【例5】(25-26高一上•江西・月考)已知“<-1,则今上的最大值是()

x+l

A.-11B.-8C.5D.8

【答案】A

【解题思路】化简变形利用基本不等式计算即可.

【解答过程】易知年?二如此当里H竺=%+1+=-3.

x+lx+lX+1

因为％<—1»所以％+1<0,所以—(％+1)>0,

则为+1+拼=一卜a+D+(*)£8,

当且仅当一（%+1）=-含，即％=-5时，等号成立，

故x+l+=-311,则三卫的最大值是—11.

x+lX+1

故选：A.

【变式5-1]（24・25高一下•重庆沙坪坝•月考）已知正数％y满足％+2y=1,则黑的最小值为（）

八•由bC.备D.2V2+1

【答案】D

【解题思路】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果.

【解答过程】也=立四型=皿血=工+之+1,因为x>0,y>0,故E>0,空>0,

xyxyxyyxyx

M-+^+l>2/-x^+1=2V2+I,当且仅当±=2,x+2y=1,也即％=/一1/=1一1取得等号,

yxylyxyx2

故乜的最小值为2V2+1.

xy

故选：D.

【变式5・2】（2025•全国•模拟预测）已知x,y为正数，则也叱的最小值为（）

xy

A.4B.3V2C.3D.2V6

【答案】D

【解题思路】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值.

【解答过程】由x,y均为正数，则也空=2+222及五=2几，

xyyx7yx

当且仅当4=%即"枭时取等号，

yx,3

故丝里的最小值为2V6.

xy

故选:D.

【变式5-3]（2025・山东•模拟预测）设正实数a,b满足a+2b=1,则”产的最小值为（）

ab

A.yB.17C.8+4西D.16

【答案】C

【解题思路】代入Q+2b=1,再由基本不等式即可求解.；

【解答过程】由题意知妇毕《=妇空警贮=至生警=F+2+8工2钎+8=8+4通，

abababbayba

当且仅当竽=a,即。=与二安时，等号成立.

ba211

因此，叫生的最小值为8+4遥.

ah

故选：C.

【题型6多次使用基本不等式求最值】

【例6】（24-25高二下•河北保定•月考）已知%>0,y>-1,z>0,2y+3z=2-x,则:+£^+3的最小

值为（）

A."6B.廿C.*D.1+V6

2222

【答案】A

【解题思路】结合条件可得4©+±+3=[x+2（y+l）+3z]（|+;lT+^）,展开等式右侧，结合基本不

等式求其最小值即可.

【解答过程】因为x+2y+3z=2,所以x+2（y+l）+3z=4,

所以4（；+/+3=反+23+1）+3於+*+3,

所以40+々+9=2+3+―+=+3+%+上+土+3,

\xy+17jzxy+1xy+1z

又处由+冬22后,当且仅当y+l=^z时等号成立，

zy+12

四2+二722通,当且仅当丫+1=枭时等号成立，

-+->2V9=6,当且仅当x=3z时等号成立，

XZ

三个等号可同时成立，所以kG+*+9]=14+4V6,

当且仅当％=工誉,y=号,2=上湃时等号成立，

所以之+2L的最小值为:+瓜

xy+1z2

故选:A.

【变式6-1]（2025•天津红桥•一模）已知Q>0,8>0,则工+嗅+b的最小值为（）

a4b4

A.4V2B.2V2C.4D.2

【答案】D

【解题思路】两次利用基本不等式，即可得解.

【解答过程】因为a>0,b>0,

所以"亲+62底+b=b+处2m=2,

当且仅当｝=急，且5=%即a=2,b=l时，取等号,

所以打指+b的最小值为2.

故选：D.

【变式6-2］（24-25高三上・安徽六安•阶段练习）已知正数x,J,z满足d+y2+z2=i,则5=墨的最小

值为（）

A.3B.3（"）C.4D.2（V2+1）

【答案】C

【解题思路】由基本不等式可得z（l-z）由题意整理可得卢24,即可得产之不工之4.

42xy1-zZxyzz（l-z）

【解答过程】由题意可得，0<z<l,0<l—zVl

则z（l-z）&（牛）2=3当且仅当Z=1—Z,即Z=T时，等号成立，

又因为%2+y2+z2=1,

则1-z2=%2+y222xy,当且仅当％=y时，等号成立，

可得三之1,即（~）（i+z）1,

2xy2xy

又因为l-z>0,则出之出,

2xyl-z

可毋步,当且仅当x=y=*=妙等号成立,

所以S=詈的最小值4.

故选：C.

【变式6-3］（2025山东淄博二模）记11^（0，丫,2｝表示工,％2中最大为数.已知》,丫均为正实数，则max^Ax2+

4y2｝的最小值为（）

A.1B.IC.2D.4

【答案】C

【解题思路】J,/+4y2｝,得3MN：+：+x2+4y2,两次应用基本不等式求最小值，注意等

号成立的条件即可.

【解答过程】设/W=max{2J,%2+4y2},则用之三>0,M>->0,M>x2+4y2>0,

xyxy

/.3M>14-4-x2+4y2>14-+4xy,当且仅当％=2y时取等号，

又j+；+以丫-3，.；4%y=6,当且仅当:=；=4xyf即x=2y=1时取等号，

所以MN2,当且仅当x=2y=1时取等号，

所以M的最小值是2,

故选：C.

【题型7基本不等式的实际应用】

【例7】（2025,广西,一模）现使用一架两臂不等长的天平称中装，操作方法如下：先将100g的硅码放在天

平左盘中，取出一些中药放在天平右盘中，使得天平平衡；再将100g的跌码放在天平右盘中，再取出一些

中药放在天平左盘中，使得天平平衡.则两次实际称得的药品总宜量（）

A.等于200gB.大于200gC.小于200gD.以上都有可能

【答案】B

【解题思路】用平衡条件得出工的表达式，结合基本不等式可得答案.

【解答过程】设天平左臂长为血，右臂长为九，m,7Z>0且771。%左盘放的药品为勺克，右盘放的药品为必

克，

[100m=nx_IOOH_lOOzn

叫吟=lOOn2'解得一一年户2一丁，

%=与+次=%+咄22户工通=200,

mnymn

当且仅当m="时，取到等号，而mon,所以x>200.

故选:B.

【变式7-1】（2024•黑龙江哈尔滨•一模）已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周的该商品的单

价分别为/〃元和〃元（m不九），甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购

买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为由,税，则（）

A.=&B.at<a2C.ax>a2D.即,勾的大小无法确定

【答案】B

【解题思路】由题意求出力,牝的表达式，利用基本不等式，比较大小，即得答案.

【解答过程】由题意得。1=翳=黑，。2=警詈=等，

因为m>0,71>0,mH71,故詈>师，黑<瑞=师，

即为<a2»

故选：B.

【变式7-2】（2025•贵州遵义•模拟预测）某学校社团举办“灯笼装饰校园”的活动比赛，要求用彩带制作/!、B

两种类型的灯笼，其中4型灯笼每个需要0.5米彩带，8型灯笼每个需要1米彩带.活动规定：两种灯笼数

量的乘积越大，评分越高.已知某同学用60米长的彩帝制作A型灯笼m个，8型灯笼几个.若要使该同学的

得分最高，则实数m,n的值分别为（）

A.m=60,n=30B.TH=50,n=35

C.m=40,n=40D.m=30,n=45

【答案】A

【解题思路】依题意可得0.5血+九=60,再利用基本不等式计算可得

【解答过程】依题意m6N*,n6N*且0.5m+n=60,即?n+2〃=120,

又120=m+2n>2,2nm,所以irm<1800,当且仅当m=2九时取等号，由｛“肾三,，？。，解得｛:二，

故当m=60,九=30时该同学的得分最高.

故选:A.

【变式7-3］（2024•贵州遵义•模拟预测）如图所示的“大方图”称为赵爽弦图，它是由中国数学家赵爽于公元

3世纪在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时给出的一种几何平面图，记载于赵爽“负薪余口.聊观《周》”

一书之中.他用数学符号语言将其表示为“若直角三角形两直角边为a,b斜边为c（a、b,c均为E数）.则（a+

b）2=4ab+（b-a）2,（a+b）2=2c2-（b-a）2”.某同学读到此书中的“赵爽弦图”时，出于好奇，想用软钢

丝制作此图，他用一段长6cm的软钢丝作为Q+匕的长度（制作其它边长的软钢丝足够用），请你给他算一

算，他能制作出来的“赵爽弦图''的最小面积为（）

A.9B.18C.27D.36

【答案】B

【解题思路】根据题意可得a+b=6,a>03>0,结合基本不等式即可得/+房的最小值.

【解答过程】由题可知a+b=6,a>0,b>0,

则a+即622V^,所以abW9,当且仅当Q=b=3时，等号成立

2

又“赵爽弦图”的面积为。2+b=(a+b)2-2ab=36-2ab>36-2x9=18,

所以当a=b=3时，“赵爽弦图”的最小面积为18.

故选：B.

【题型8与其他知识交汇的最值问题】

【例8】(2025•广东深圳•模拟预测)若a,b均为正实数，则“abWl”是总+：?2”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解题思路】由基本不等式得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立，得到答案.

【解答过程】若a,b均为正实数，且ab£l,由基本不等式得

当且仅当a=6=1时，等号成立，故充分性成立，

若工+；Z2,不妨设a=0.5,匕=6,满足1+：>2,但ab=3>1,必要性不成立，

ahah

故“出?<「是足+；之2”的充分不必要条件.

ab

故选：A.

【变式8-1](2025・山东日照•一模)点4(2,1)在直线2：m%+几y=1上，且77m>0,则工+'的最小值为()

mn

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解题思路】由题意求得2m+n=l,再利用常值代换法和基本不等式即可求得最小值.

【解答过程】因为点4(2,1)在直线，:mx+=1上，可得2m+n=l.

则工+2=(-+-)(27n+n)=2+-+—+2=4+-+—

mnmnzmnmn

因加九>0,则巳+如22回花=2"=4,当且仅当2=幼时等号成立.

771n\lmnmn

即当m；时，工+3取得最小值为8.

42mn

故选：C.

【变式8-2］(2025•湖南•三模)已知点(犯")是函数y=》T在第一象限内的图象上的一点，则工+士的最小值

mn

为()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解题思路】由题意得出m>0,九>0且n=L利用基本不等式可求得工+士的最小值.

mmn

【解答过程】由题意可知，m>0,n>0且有几=mT=1,所以工+±=工+4加工2但=4,

mmnmyjm

当且仅当［4机=5时,

即当771=断九等号成立故工+士的最小值为4.

mn

.m>0

故选：A.

【变式8・3】(2025•黑龙江齐齐哈尔•二模)早在西元前6世纪，毕达哥拉斯学派已经知道算术中项，几何中

项以及调和中项，毕达哥拉斯学派哲学家阿契塔在《论音乐》中定义了上述三类中项，其中算术中项，几

何中项的定义与今天大致相同.若2。+2b=1,则(4。+1)(4)+1)的最小值为()

A.至B.C.2D.々

416416

【答案】D

【解题思路】令机=2。，n=2b,结合基本不等式可得0<mnW%化简(4。+1)(#+1)可得(4。+1)(#+

1)=(mn)2-2mn+2,转化为求关于nm的二次函数在区间(0,；］上的最小值即可.

【解答过程】不妨设m=2。，n=2b,则m>0,n>0,

所以1=TH+八工2y/mn,当且仅当m=n=；时取等号，

即0VnmW当且仅当m=n=；时取等号，

42

所以(4。+l)(4h+1)=(m2+l)(n2+1)=(mn)2+m2+n2+1=(mn)2+(m+ri)2—2mn+1

=(mn)2—2mn+2=(mn-l)z+1»(0<mn<-)

4

所以当nm=［时，(mn)2-2mn+2取得最小值得

故选：D.

课局是升练

一、单选题

1.(2025•山西吕梁•模拟预测)若Q/ER+且2a+b=4,则ab的最大值为()

A.1B.2C.4D.16

【答案】B

【解题思路】利用基本不等式求解即可.

【解答过程】由基本不等式可得：2Q•力工（等）2=6）2=%

所以QbW2,当且仅当Q=l,b=2时等号成立；

所以Qb的最大值为2：

故选：B.

2.（2025・四川绵阳•模拟预测）若Q>0,b>0,且Q+4b=5,贝壮+：的最小值是（）

ab

A.16B.25C.4D.5

【答案】D

【解题思路】利用常数代换，结合基本不等式可得.

【解答过程】因为a>0,b>0,且a+4b=5,

^w；+；=K；+D（a+4d）=K1+T+T+16）-l（17+2JF?）=5,

4b_4a

7=T,即a=b=l时等号成立，所以L+：的最小值是5.

{a+4b=5ab

故选：D.

3.（2025・湖北黄冈•一模）已知x,y为正实数，且3+y=l,则上处的最小值为（）

A.12B.16C.18D.20

【答案】B

【解题思路】由题可得署=Q+y）G+3,然后由基本不等式可得答案.

【解答过程】2=2+1=a+y）（2+3=10+殳+三10+2[^-=16.

xyxy\xy/xyylxy

当且仅当曳=二即乃=]y=J时取等号.

xy4,4

故选:B.

4.（2025•广东揭阳•三模）”物竞天择，适者生存''是大自然环境卜选择的结果，森林中某些昆虫会通过向

后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌羟某生物小组研究表明某类昆旦在水平速度为'，（单位：分米/秒）时的跳

跃高度〃（单位：米）近似满足心法的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（）

A.0.2米B.0.25米C.0.45米D.0.7米

【答案】B

【解题思路】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度.

【解答过程】由庐=卷7可知/—=故"=右工一片=；,

z4

1-Hvv+42V4P44

当且仅当v2=2时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米.

故选：B.

5.（2025・湖北孝感・模拟预测）已知。>0,匕>0,且。+匕=上+9+4,则a+b的最小值为（）

ah

A.2V5-2B.2V5-1C.1+2V5D.2+2V5

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式可得到《+3（。+匕）=10+，与之16,再代换，令$=。+瓦解一元二次

不等式可得答案.

［解答过程】因为。>0,b>0,

所以&+3（a+b）=10+^4-y>104-2J"=16,

当且仅当"与时，取等号.

令$=。+6得：（~+^］s>16,

\abj

由a+b=1+：+4得：-4-7=S-4,

abab

所以：（s-4）s>16,即s2-4s-16NO,

解得：542-2次或$之2+2通，

又因为Q>0,6>0,所以s=Q+b>0,

'b_9a

故$=。+力22+2花，当且仅当］，即b=3a=嘤时，取等号.

b=-+7+42

a+ab

故选：D.

6.（2025•浙江台州•一模）已知G,bE（—1,+8）,且Q+1=2,则b+2的最小值为（）

6+1T。+2

95

A.2B.：C.1D.3

【答案】D

【解题思路】可利用配凑法与T的妙用“，结合基本不等式进行求解.

【解答过程】由题可知，。+2+±=4,又因为a+2>0,b+1>0.

财+1+总=如+2+言)S+1+言)

=>+2)(8+1)++1。噂*6+10)=4,

当且仅当(a+2)(6+1)=3时，即当a=l,b=0时，等号成立.

因此b+1+2的最小值为4,

a+2

故力+白的最小值为3.

a+2

故选:D.

7.(2025•安徽合肥•三模)已知正数a、b满a足b则Q+2b的最小值为()

A.4B.6C.8D.9

【答案】D

【解题思路】利用基本不等式的乘T'法即可得解.

【解答过程】由题意得a+2b=(a+2b)(，+：)=1+半+弓+4工5+2,=9»

2b2a

7=T

工+2=1时，即a=3,b=3时，a+2b取得最小值9.

ab

!a>0,b>0

故选:D.

8.(2025•山西•三模)已知正实数a,力满足a十力=1,贝畤+々十2的最小值为()

baba

A.2+2V2B.4+2V2C.4D.7

【答案】D

【解题思路】对于3+2+2=”产，利用以值代参，求解基本不等式.

babaab

【解答过程”+_L+±=a+l+，=*a+b)+(a+b)2+b2=2b」+3ab+2a」=2++3

「babaababab\abJ

>4J"£+3=4+3=7,

当且仅当3=2即a=b=：取等号.

Da2

故选：D.

二、多选题

9.(2025•福建漳州•模拟预测)已知正实数%,y满足％+2y=l,贝1J()

A.xy<\B.x2+y>|

o，

C.-+->34-2V2D.x+^->2

xy1-2y

【答案】ACD

【解题思路】对于A,直接利用基本不等式即可判断；对于B,消元法可求出d+y的范围，即可判断；对

于C,利用常值代换法，利用基木不等式即可求解；对于D,消元后利用基本不等式求得》+占的范围即

1-2.V

可判断.

【解答过程】对于A,lilx>0,y>0,则1=x+2yr2d2xy,即得xyW/当且仅当x=2y=决寸，等号

成立，故A正确；

对于B,因%2+y=%2+y=Q一»2+看，由｛岂0可得0<X<1,故d+y在”即寸取得最小值看

5<],故B错误：

104

对于C,由(：+；)a+2y)=3+G+j)Z3+2产1=3+2值当且仅当％=由=&-1时，等号

成立，故C正确；

对于D,因％>0,y>0,由％+丁？=无+1之2,当且仅当无=1时等号成立，由上分析故有x+

'l-2yx

V>2,即D正确.

7l-2y

故选：ACD.

10.(2025•全国•模拟预测)已知a,b>0,且Q+b=l,则()

A.ab的最大值是:

4

B.小+浜的最大值是T

C.：的最小值是4

ab

D.VH+VF的最小值是近

【答案】AC

【解题思路】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可.

【解答过程】由均值不等式知：ab<(^)2=当且仅当a=8=g时，等号成立，选项A正确；

因为(手丫工噌，故小+炉吟当且仅当。=匕=5寸，等号成立，

即/+按最小值是g,选项B错误；

"/（*以。+坊=2+*台2+2辰=4,

当且仅当，=£且a+b=1，即a=b=g时，等号成立，选项C正确;

(y/a4-Vb)2=14-2Vab<l+2x1=2,