2025-2026学年山东省青岛市某中学九年级（下）期初数学试卷（含答案）

2025-2026学年山东省青岛市国开中学九年级（下）期初数学试卷

一、选择题：本题共9小题，每小题3分，共27分。在每小题绐出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.下列实数中是无理数的为（）

A.-B.2C.=D.0.9

Ji

2.中国青岛作为北方第三大经济城市，某年第四季度财政收入为41.76亿元，将数据“41.76亿”用科学记

数法（结果保留两个有效数字）表示为（）

A.41X10*B.4.1X109C.4.2X109D.41.7X10x

3.如图是四个完全相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图为（）/一71

4.下列计算正确的是（）

A.43+02=/B.a3-a2=a（＞

C.2"-2""=2"」（〃22）D.a3^a4=a（启0）

5.《孙子算经》记载：“今有木，不知长短.引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？”

（尺、寸是长度单位，1尺=10寸）.意思是，现有一根长木，不知道其长短用一根绳子去度量长木，绳子

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还剩余4.5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为

)

A.x+4.5=2(x-1)B.x+4.5=2(x+1)C.x-4,5=2(x+1)D..r-4,5=2(x-1)

6.如图，在中，4/=7()°,点。为4c中点，过点。作5c的垂线，交力4于

点E,连接CE,作41CE的平分线，与OE的延长线交于点八则立尸的度数为()

A.30°

B.35°

C.40°

D.55°

7.如图，把图中的△/14C经过一定的变换得到△力7TC,如果图中△力4c上的点尸

的坐标为3),那么它的对应点P的坐标为()

A.(。-3,h)

B.(a+3,0)

C.(3-a,-6)

D.(a-3,-b)

8.如图，矩形纸片⑷98中，，4C=4,BC=8,将纸片折叠，使点C与点

折痕为EF,点。的对应点为G,连接OG,则图中阴影部分面积是(

A.5

B.3

C.

八第

D.—

5

9.二次函数尸加+加+c(“wo)图象如图所示，它的对称轴为上=一？，下列结论

中正确的有()

①曲c>0；

②/fcVO；

@4a-2b+c<0；

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④2b+cV0；

⑤若（X[,y\）和（X2»J，2）是这条抛物线上的两点，则当I1II：时，yiVj，2

A.I个

B.2个

C.3个

D.4个

二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分,

部分选对的得2分，有选错的得0分。

10.近几年，青岛汽车产业已经崛起为青岛工业当中第一大产业，2024年全市预计整车产能约125万辆.如

图是4种常见的汽车轮胎的样式，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

…"…v/3"…'"'

12.若一组数据G，…，。“的平均数为4,方差为3,那么数据2苗+3,2内+3,…，2如+3的平均数和方

差分别是,.

13.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用

了15分钟，现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍.若设乘公交车

平均每小时走x千米，根据题意可列方程为

14.若关于x的一元二次方程4产+（卜2）/+号；U有两个不相等的实数根，则〃的取值范围___

1

15.数学家刘徽首创割圆术，用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求出D

圆周率.如图，正六边形48CZ）物的边长为2,现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖

落在阴影区域的概率为.

第3页，共15页O

16.如图，四边形力8（?。是边长为的正方形，点£在边CO上，QE=lcm,作

EFWC,分别交力C,AB于点、G、F,M,N分别是力G,的中点，则下列5

个结论中：

--

①点AN、C共线；②V.V,〃；③/UL8E；④△MNC的面积为:

⑤/ME8=45°.正确的是（填写所有正确结论的序号）.

四、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题4分）

已知：如图△W8C.求作：APAB,使得且乙。=乙”8.

18.（本小题10分）

仙的（।一八.a2-4a+4

（1）化.同：（4-,）-----------

a—1a-1

'4N23（N-1）

（2）求不等式组《z-3的整数解.

l2^--<5

19.（本小题8分）

如图①是位于青岛的山东省内最大的海景摩天轮“琴岛之眼”，游客可以在碧海蓝天之间领略大青岛的磅

礴气势.图②是它的简化示意图，点。是摩天轮的圆心，48是摩天轮垂史地面的直径，小红在£处测得摩

天轮顶端/的仰角为24°,她沿水平方向向左行走122机到达点。，再沿着坡度/.=（）.75的斜坡走了20米到

达点C,然后再沿水平方向向左行走40/〃到达摩天轮最低点4处（4B,C,D,E均在同一平面内），求

摩天轮48的高度.（结

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果保留整数）（参考数据：sin24°^0.4,cos24°^0.9btan24°^0.45）

20.（本小题10分）

为鼓励学生加强锻炼，增强体质，某校准备购买若干套健身器材供学生使用.经调查，某公司有48两种

健身器材可供选择，每套4型健身器材售价比〃型健身器材售价低04万元，用16万元购买/型健身器材

和用20万元购买B型健身器材购得的器材数量相同.

（1）求48两种健身器材每套的售价分别为多少万元？

（2）经协商，该公司承诺：每套力型健身器材在售价的基础上减免0.2力兀：每套8型健身帮材在售价的

基础上打七五折，若学校购进的80套健身器材中，3型健身器材的数量不少于1型健身器材数量的2倍，

学校应如何购买才能使总费用最少？

21.（本小题10分）

某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽

取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图.

（1）这次被调查的学生共有多少名？

（2）请将条形统计图补充完整；

（3）若该校有3000名学生，估A全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？

（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图

或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率.

22.（本小题8分）

如图，是。O的直径，点C是。。上的一点，C。与的延长线交于点。，AC=CD,乙4=30°.

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(1)求证：C。是。。的切线;

(2)过点8作8E1CO于点E,若。。的半径为4,求图中阴影部分的面积.

23.(本小题10分)

如图，点尸在四边形48C。的边,48上,

(1)如图①，当四边形力〃CZ)是正方形时，过点、B作BE1CF,垂足为O,殳AD于点E.求证：BE=CF；

(2)当四边形/"CO是矩形，40=6,48=8时，

nc

①如图②，点P是8C上的一点，过点尸作PE1CR垂足为。，点。恰好落在对角线8。上，求、，、的值；

②如图③，点「是8C上的一点，过点p作QEJLC/,垂足为0,点。恰好落在对角线8。上，延长EP、力3

交于点G,当4G=2时，DE=______.

图①图②图③

24.体小题12分)

如图，在矩形力8CQ中，48=6“乩8。=8口〃,点尸从点力出发沿力。方向匀速运动，速度为lc〃而；同时，线

段MN从4C出发沿C8方向匀速运动，速度为2c〃?/s,交力〃于点E,交。力延长线于点M；连接尸N交4c

于点0，连接七Q，设运动时间为/(s)(0«4).解答下列问题：

(1)当,为何值时，四边形PNCD为矩形？

(2)设四边形4ENP的面积为y("/),求y与，的函数关系式；

(3)在运动的过程中，是否存在某一时刻/，使E。平分乙1EN?若存在，请求出/的值；若不存在，请说明

理由.

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1.【答案】A

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】A

6.【答案】B

7.【答案】C

8.【答案】D

9.【答案】B

10.【答案】BC

11.【答案】®

12.【答案】11

12

13.【答案】一=一+

x2.514

14.【答案】k<\且左K0

15.【答案】:

4

16.【答案】④⑤

17.【答案】解：如图，APAB和4P'彳8为所作.

18.【答案】解：（1）原式；

(«+2)(«-2)(l-1

~iTu((二2)，

a+2

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Lr>3(N-1)0

由①得：x2・3,

由②得：xV；,

•5

该不等式组的解集为：-3Wx<[

不等式组的整数解为-3,-2,-1,0,1,2.

19.【答案】解：如图，作8W1EQ交的延长线于"，CN1DM于N,

则MN=8C=40"，BM=CN,

CN3

在白△CON中，/=--=0.75=-,

DN4

:•设CN=3xm(x>0),则。N=4.w?,

-CD=y/c\0.\"=5尸20,

解得：x=4,

•••CV=12〃?，DN=16/M>

:.BM=\2m,EM=A4N+DN+DE=40+l6+122=178(/〃),

A\f

在RfZk/EM中，tan24°=^j^0.45,

178

.•M8=178X0.45・12比68(小)，

答：摩天轮力8的高度约为68n

20.【答案】解：(1)设/种健身器材每套的售价为x万元，则4种健身器材每套的售价为(.r+0.4)万元,

—1620

由胭意得：一=——；

x工+0.4

解得：x=1.6»

经检验，x=L6是原方程的解，且符合题意，

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二户0.4=1.6+0.4=2,

答：4种健身器材每套的售价为L6万元，8种健身器材每套的售价为2万元;

(2)设学校购买力型健身器材〃，套，则购买8型健身器材(8G・〃?)套，

由题意得:8()-/〃，2〃?，

解得：〃W26)

•••/??为正整数，

的最大值为26,

设总费用为“，万元，

由题意得:w=(1.6-0.2)/"+2X0.75(80-w)=-0.1〃什120,

v-0,1<0,

随机的增大而减小，

:.=/»=26时，卬有最小值，

此时，8(”加=80-26=54,

答：学校购买力型健身器材26套，〃型健身器材54套才能使总费用最少.

21.【答案】解：(I)这次被调查的学生人数为154-30%=50(名)；

(2)喜爱“体育”的人数为50-(4+15+18+3)=10(名)，

补全图形如下：

=600(名)：

(4)列表如下:

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甲乙丙T

甲—（乙，甲）（丙，甲）（丁，甲）

乙（甲，乙）—（丙，乙）（丁，乙）

丙（甲，丙）（乙，丙）—（丁，丙）

T（甲，丁）（乙，丁）（丙，丁）—

所有等可能的结果为12利i,恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果,

所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为小：.

:•乙OCA=^OAC=30°,

-AC=CD,

山DC=cOAC=3。'，

在中，由三角形内角和得：

乙08=180°-Z-CAD-Z-ACO-/-ADC=\^0-30°-30°-30°=90°,

•••OC1CO,

•.♦OC是半径，

.•.CD是。。的切线：

(2)解：由(1)得OULCQ,

•••△OCD为直角三角形,

•••OC=4,4力OC=30°,

••00=8,CD=4>/3»乙COA600,

•••8D=OQ-O8=8-4=4,

•••8E1EQ,Z-ADC=30°,

'-BE=2»ED-2v?3，

s阴影=S&OC/LSC8月/尸S“彤OBC

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.4x4^_2x2偌_60x7Tx42

12360

=6'/3—7T,

.••区中阴影部分的面积为6v8-1万.

«)

23.【答案】解：(1)证明:如图①,

•.•匹切形力8。。是正方形，

••心4=£FBC=90°，

•：BE上CF于点、O,

“OC=90°,

"BE=90°-乙OBC=cBCF,

•:AB=BC,

:.△ABE94BCF(JSJ),

:.BE=CF.

(2)①如图②，作0M1力。于点M,ONLCD于点N,

图②

则/OMO=NON力=90°,

•・叫边形ABCD是矩形，

:,乙MDN=U=乙BCD=9Q°,

.•.匹边形。A/DV是矩形，

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:/MON=90°,

•••PE1CE于点O,

."OE=90°，

:.乙CON=LEOM=9Q0-/.EON,

•:乙ONC=LOME=90°，

:AONCS^OME,

OCON

'OE~而‘

•:(OND=(BCD,

•••0MI8C,

:ADONs^DBC,

ONDO

：，~BC丽，

ONOM

•••,

BCAB

ONBC

'而=丽’

OC_BC

：0E=而‘

'-BC=AD=6,AB=CD=*,

OCBC63

'OEABiV

崂

24.【答案】解：(1)由题意得：AP=icni,CN=2tcm,

•••匹边形力4c。为矩形，

；/D=BC=8cm々DC=4CD=90°.

­•PD=AD-AP=(8-r)cm,

：.当PD=CN时,四边形PNC。为矩形，

••-8-z=2/,

当片QS时，四边形PNC。为矩形;

■5

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(2)由题意得：AM=CN=2tcm,AP=tcm,

:.BN=BC-CN=(8-2/)cm,

•:AB=6cm,BC=8cm/B=9()0,

•.dc=/l/r+/?C=10(cm).

-ADUBC,

:AAMEs^BNE,

AMAE