小学三年级数学下册期末复习数形结合思想专项突破教案

小学三年级数学下册期末复习数形结合思想专项突破教案

一、教学背景与设计理念

（一）学情分析

【基础】三年级学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们已掌握整数四则运算、长方形和正方形面积计算、简单的分数初步认识等知识，具备初步的识图能力。然而，面对复杂信息或抽象数量关系时，学生常出现“读不懂题”、“找不到数量关系”、“解题思路混乱”等问题。例如，在解决“和倍”、“差倍”或稍复杂的面积问题时，他们难以从文字中提取核心关系。因此，本课旨在搭建“图”与“数”之间的桥梁，引导学生用图形语言翻译文字信息，化抽象为具体，化复杂为简单。

（二）设计理念

基于“以生为本”和“核心素养导向”的课程改革理念，本节课摒弃机械刷题，转而聚焦数学思想方法的渗透。核心设计理念是“变教为探，以形助数”。通过创设富有挑战性的问题情境，引导学生自主经历“画图—说图—理图—用图”的全过程，使数形结合不仅是一种解题技巧，更成为一种主动的思维方式。同时，融入跨学科视野，如美术中的构图简洁性、科学中的模型建构，引导学生感悟数学思想在不同领域中的普适价值。

二、教学目标

1.知识与技能：

学生能根据题意，自主选择并准确画出线段图、面积模型图、点子图或示意图来分析数量关系。能熟练运用图示理解“倍数关系”、“周长与面积关系”、“分数意义”以及“两步计算应用题”的结构。

2.过程与方法：

通过“以形思数”的探究活动，经历将抽象的数学语言转化为直观图形，再从图形中抽象出数量关系的过程，培养几何直观、模型意识和逻辑推理能力。【非常重要】

3.情感态度与价值观：

在解决挑战性问题的过程中，体会数形结合的简洁美与力量感，增强学习数学的自信心。通过小组合作交流，养成乐于倾听、善于反思、严谨求实的科学态度。

三、教学重难点

4.教学重点：【高频考点】

学会用线段图和示意图表征“倍数问题”、“周长与面积关系问题”及“两步计算实际问题”中的数量关系。

5.教学难点：【难点】

灵活构造“形”来反映复杂的“数”量关系，尤其是当图形需要动态变化或需要借助辅助线来揭示隐含条件时，能够准确解读图形中的代数意义。

四、教学准备

多媒体课件（动态演示画图过程）、学习单（包含基础题、变式题、拓展题）、不同颜色的粉笔、学生尺子、铅笔、橡皮。

五、教学实施过程

（一）激活经验，初探“形”之美（约8分钟）

6.情境导入：【基础】

师：同学们，数学王国里有两位好朋友，一位是“数”，一位是“形”。当我们遇到难题时，把“数”的问题用“形”画出来，往往就能找到解题的金钥匙。今天，我们就一起来做一次思维的探险，看看谁最会用“图形”这个秘密武器来解决期末试卷中的难题。（板书课题：数形结合破难关——试卷难题专项突破）

7.热身挑战：【基础】【高频考点】

出示题目（无需图形）：“养殖场有鸡315只，鸭的只数比鸡的2倍少86只。鸭有多少只？”

师：先不动笔，闭上眼睛想一想，这道题里的数量关系是怎样的？你能用手比划一下“2倍少86”的意思吗？

（学生用手势比划，部分学生可能感到模糊）

师：看来光靠想还不够直观。请看老师用线段图来表示。（动态演示画图过程：先画一条线段表示鸡的315只，再画一条线段表示鸭，第一段与鸡相等，再画同样长的一段，然后缩短一点表示“少86只”。）

师：现在看着图，谁能列出算式？并说说先算什么，再算什么？（315×2-86）

【设计意图】通过热身题，让学生直观感受图形对理解题意的辅助作用，迅速唤醒已有经验，聚焦“数形结合”的核心价值。

（二）策略建模，精研“形”之妙（约22分钟）

本环节选取试卷中高频、易错的典型例题，引导学生深入探究数形结合的具体策略。

8.探究一：线段图——破解“倍数关系”的密码【非常重要】【高频考点】

（1）出示问题：【难点】

“哥哥和弟弟共有零花钱180元，哥哥的钱是弟弟的3倍还多20元。哥哥和弟弟各有多少元？”

（2）尝试画图：

师：这道题的数量关系比热身题复杂了，是“和倍问题”的变式。请同学们拿出学习单，试着用线段图来表示“哥哥的钱是弟弟的3倍还多20元”这个关系。要思考：先画谁？怎么画“3倍还多20”？总数180元应该标在哪里？

（学生独立画图，教师巡视，寻找典型的画法）

（3）展示交流：

展示学生作品1：用一条线段表示弟弟，用三条同样长的线段再加一小段（表示20）表示哥哥，并在右边大括号标出总数180。

师：这幅图画得怎么样？谁能评价一下？（引导学生关注：弟弟的标准量选取是否合适，是否清晰地表示了“3倍多20”，总数是否包含多出的20）

（4）深入分析：

师：看着这幅图，总数180元包含了哪些部分？（弟弟的1份、哥哥的3份，还有多出的20元）

师：如果从总数里去掉多出的20元，就变成了什么？（正好是弟弟的1份和哥哥的3份，也就是4份）

师：现在你能求出1份是多少吗？列出综合算式。

（学生列式：（180-20）÷（3+1）=40元弟弟40×3+20=140元哥哥）

（5）动态演示与归纳：

师：（利用课件将多出的20元部分变灰，并闪烁总数减少20的动态过程）这就是解题的关键！当总数与份数不匹配时，我们可以先通过“去多”或“补少”的方法，将复杂问题转化为标准的倍数问题。线段图能让我们清晰地看到这个转化过程。

【设计意图】从简单倍数关系到复杂倍数关系的跨越，是思维的一次进阶。通过引导学生画图、析图，尤其是抓住“总数”与“份数”的对应关系，深度剖析了“去多”的转化策略，凸显了线段图在理解复杂数量关系中的不可替代性。

9.探究二：示意图——打通“周长与面积”的通道【基础】【热点】

（1）出示问题：

“一个长方形花坛，长20米，宽15米。现在将花坛的宽增加3米，长不变。新花坛的面积比原来增加了多少平方米？”

（2）策略选择：

师：这道题是关于图形的。对于图形的变化问题，我们最好用什么“形”来帮助分析？（示意图）

（3）动手操作与说理：

请学生尝试在纸上画出变化前后的示意图。一种画法：画两个独立的长方形。另一种更优的画法：在原图基础上延长宽边，画出新图形。

师：展示第二种画法。（课件演示：在原长方形基础上，将宽边延长3米，补出一个小长方形）。现在，增加的部分是什么图形？（是一个小长方形，长就是原来的长20米，宽就是增加的3米）

师：看着这幅图，你能直接说出增加的面积怎么算吗？（20×3=60平方米）

师：如果不画图，直接列式可能会怎么做？可能会算出新面积减原面积：（20×18）-（20×15）=360-300=60。对比一下，哪种方法更直观、更简洁？

（4）变式提升：【难点】【高频考点】

师：如果条件改为“长和宽都增加3米”，新花坛的面积比原来增加了多少？

（学生尝试画图）

展示学生作品：在原图基础上，将长和宽分别延长3米，发现增加的部分不是一个规则的大长方形，而是由三个部分组成的：一个小长方形（长20，宽3）、一个小长方形（宽15，长3）和一个小正方形（边长3）。

师：看着图，谁能列出计算增加面积的算式？（20×3+15×3+3×3）

师：如果列成（20+3）×（15+3）-20×15，虽然结果一样，但通过示意图，我们更深刻地理解了增加面积的构成，这就是“数形结合”的魅力——它揭示了问题背后的空间结构。

【设计意图】针对几何问题，引导学生区分“局部变化”与“整体变化”，通过画示意图将抽象的“增加”转化为可视的“图形拼接”，帮助学生建立空间观念，掌握用图形分析几何量变化规律的方法。

10.探究三：面积模型——诠释“分数”的抽象意义【基础】【难点】

（1）出示问题：

“小红看一本故事书，第一天看了全书的2/5，第二天看了剩下的1/3，还剩下60页没看。这本书一共有多少页？”

（2）引导画图：

师：这道题只有文字，感觉比较绕。如果用图形来表示“全书的2/5”和“剩下的1/3”，你觉得用什么图形最合适？（长方形或线段）

（引导学生用长方形代表全书总量）

（3）分步建构：

第一步：把长方形平均分成5份，涂出其中的2份，表示第一天看的2/5。

师：剩下的是多少？（全书的3/5）

第二步：第二天看了“剩下的1/3”。注意，这里的1/3是把谁看作单位“1”？（第一天看完后剩下的部分）

师：现在我们在剩下的3份里，再平均分成3份（也就是把整个长方形细分成更小的格子），取其中的1份，这就是第二天看的。

（课件演示：将剩下的3/5这个部分，再细分为3小格，取其中1小格）

（4）观察与思考：

师：现在，我们通过长方形图，能清晰地看到书的页数被分成了几部分？（第一天看的，第二天看的，剩下的60页）

师：数一数，整本书被平均分成了多少个小格？（5×？实际上是将整体先分5份，其中3份又各分3小格，总共是5+？更直观的表述：将整本书看作单位“1”，通过图我们发现，第二天看了全书的几分之几？引导学生从图中看出：第二天看的是1小格，相当于整本书的1/5？因为总共被分成了5大格，其中第二大格又被分成了3小格？这里需要修正画法，更严谨的画法是将全书画成一个长条形，第一次分成5等份，取2份；再将剩余3份中的每一份都平均分成3小份，这样整本书就被分成了2+3*3=11份？不对，这样分份不统一。最佳策略是统一分数单位。）

（教师引导修正画法）：为了便于计算，我们可以在画图之初就考虑单位“1”的统一。既然第二天看的是剩下的1/3，而剩下的是全书的3/5，那么第二天看的就是全书的（3/5*1/3=1/5）。所以，我们可以直接把全书画成一个长方形，然后平均分成5份，第一天看2份，第二天看1份（因为1/5），剩下的是2份，对应60页。

师：通过画图和调整，我们找到了更简洁的关系：剩下2份是60页，1份就是30页，全书5份就是150页。图形帮助我们直观地理解了分数乘法的意义，发现了量率对应的关系。

【设计意图】分数应用题是三年级的难点。通过面积模型（或条形图）的逐层建构与修正，让学生直观看到“量”与“率”的对应关系，尤其是理解不同单位“1”的转化，将抽象的分数推理变成了直观的图形分割与组合。

（三）巩固内化，熟练“形”之用（约8分钟）

11.基础巩固：【基础】【高频考点】

学习单第二题：“果园里桃树的棵数是梨树的4倍，桃树比梨树多54棵。桃树和梨树各多少棵？”

要求：先画出线段图，再列式解答。

（学生独立完成，同桌互评。重点检查线段图是否准确表达了“多54棵”对应的份数，即多的部分正好是梨树的3倍。）

12.综合应用：【热点】

学习单第三题：“用一根长120厘米的铁丝围成一个长方形，已知长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？”

提示：先根据“铁丝长120厘米”思考，它对应的是长方形的什么？（周长）需要先画什么图？（先画长方形示意图，并标出长是宽的2倍的关系，再根据周长公式逆推。）

（四）拓展延伸，感悟“形”之魂（约5分钟）

13.思维拓展：【难点】

出示题目（无图）：“A、B、C、D四个数的和是270，A比B多10，B比C多10，C比D多10。这四个数各是多少？”

师：这有点像一串等差数列。你能用线段图来解决吗？

（引导学生画出以D为标准，依次累加10的线段图，将复杂问题直观化。）

14.跨学科链接：

师：同学们，你们今天用的“数形结合”，其实也是科学家、工程师常用的方法。比如，建筑师在盖房子前，先要画图纸（形），才能计算出需要多少砖块、多少水泥（数）；天文学家观测星星的运动，要先画出轨迹图（形），才能推算它们的位置和速度（数）。把复杂的信息变成可视的图形，从而发现规律、解决问题，这是一种非常重要的智慧。

（五）总结反思，升华“形”之道（约2分钟）

师：今天这节课，我们主要研究了哪几种“形”来帮助解题？（线段图、示意图、面积模型图）

师：什么时候用线段图？（遇到倍数、分数、和差问题等，需要清晰表示数量之间比较关系的时候）

师：什么时候用示意图或面积模型？（遇到图形变化、面积计算、分数意义等问题，需要表示空间结构或整体部分关系的时候）

师：最重要的，当你拿到一道难题，脑子里一片混乱时，记住我们今天学的——画个图试试看！让图形替你说话，让图形帮你思考。

六、板书设