核心素养导向下分数乘除混合运算的深度建构-小学六年级数学教学设计

核心素养导向下分数乘除混合运算的深度建构——小学六年级数学教学设计

  一、指导思想与理论依据

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》为根本遵循，深刻践行数学课程核心素养——运算能力、推理意识、模型意识、应用意识——在课堂教学中的落地生根。运算能力不仅指按照运算法则进行正确运算，更强调理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。分数乘除混合运算作为整数、小数四则混合运算在数系上的自然扩充，是运算能力培养的关键节点。本设计摒弃单纯技能训练的窠臼，依托建构主义学习理论，将学习过程视为学生在已有知识经验基础上主动建构意义的过程。通过创设具有挑战性的真实问题情境，引导学生在解决问题的全过程中，自主探索分数连除与乘除混合运算的算理与算法，理解其与整数运算规律的内在一致性，实现从“会算”到“懂理”，从“掌握技能”到“发展思维”的跃迁。同时，引入“多元表征”（实物、图形、符号、语言）理论，支持学生通过多种方式理解和表达运算规律，深化对分数除法意义和混合运算顺序本质的理解，为后续学习比、百分数及更复杂的实际问题奠定坚实的认知与能力基础。

  二、教学背景分析

  （一）教材内容分析

  分数乘除混合运算位于苏教版小学数学六年级上册“分数除法”单元的后段。在此之前，学生系统学习了分数乘法的意义与计算、倒数的认识、分数除以整数、整数除以分数以及分数除以分数的计算方法，并初步掌握了分数除法应用题的解题思路。本课内容“分数连除和乘除混合运算”是分数除法计算方法的综合应用与提升，它既是分数四则运算的重要组成部分，也是解决复杂分数实际问题的直接工具。教材通常编排为从简单的连除运算入手，过渡到乘除混合运算，并强调计算过程中的约分技巧以简化运算。然而，传统教材处理往往侧重于算法程序的传授，对“为什么可以这样算”、“其背后的数学原理如何与整数运算贯通”揭示不足。因此，本设计将着力于打通知识间的内在联系，引导学生发现分数混合运算的算理本质，构建完整、融通的计算认知结构。

  （二）学情分析

  小学六年级的学生正处于具体运算思维向形式运算思维过渡的关键期。他们的认知特点表现为：第一，具备了一定的抽象逻辑思维能力，但仍需具体情境和直观表象的支撑。对于分数这种相对抽象的概念，部分学生可能仍存在理解上的困难，尤其是在涉及多个分数关系的复杂情境中。第二，在知识储备上，学生已经牢固掌握了整数、小数的四则混合运算顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），并学习了分数乘法和除法的基本算法（除以一个数等于乘这个数的倒数）。这为本课学习提供了必要的正迁移基础。第三，在能力与习惯上，学生初步具备了自主探究、合作交流的经验，但面对新问题时，如何有效调动已有知识、进行策略性的思考和推理，仍存在较大差异。常见的认知误区可能包括：对运算顺序的机械记忆导致在复杂算式中出错；在将除法转化为乘法后，对“整体1”的变化理解不清；在解决实际问题时，难以从文字叙述中准确提炼出数量关系并转化为正确的算式。基于此，教学需提供足够的“脚手架”，引导学生在对比、转化、归纳中自主建构算法，并通过变式练习深化理解，克服思维定势。

  三、教学目标

  基于以上分析，确立如下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.理解分数连除和乘除混合运算的运算顺序，掌握其计算方法，能正确、熟练、合理地进行计算。

  2.能灵活运用运算律（主要是乘法交换律和结合律）对分数乘除混合运算进行简便计算，提升运算效率。

  3.能够将分数乘除混合运算的知识综合运用于解决两步及两步以上的稍复杂分数实际问题，准确分析数量关系并列式解答。

  （二）过程与方法

  1.经历从现实问题中抽象出数学问题、探索运算方法、总结运算规律的全过程，体会解决问题策略的多样性。

  2.通过独立探究、小组合作、全班交流等活动，发展观察、比较、分析、归纳、概括等数学思维能力以及有条理的表达能力。

  3.学会运用“转化”的数学思想，将未知的分数连除、乘除混合运算转化为已学的分数连乘进行计算，体会数学知识之间的内在联系。

  （三）情感态度与价值观

  1.在探索算理和算法的活动中获得成功的体验，增强学习数学的自信心和兴趣。

  2.感受数学逻辑的严谨性与简洁美，养成认真审题、细心计算、自觉验算的良好学习习惯。

  3.体会数学与生活的密切联系，认识到掌握运算能力对于解决实际问题的重要性。

  四、教学重难点

  （一）教学重点：理解并掌握分数连除和乘除混合运算的运算顺序及计算方法。

  （二）教学难点：理解分数连除和乘除混合运算的算理，特别是“为什么可以将除法转化为乘法并按顺序依次计算”；能灵活选择合理、简便的方法进行计算，并解决相关的复杂实际问题。

  五、教学准备

  （一）教师准备：多媒体课件（包含情境动画、动态演示、分层练习题组）、实物投影仪、板书设计框架图、学习任务单（探究单、练习单）。

  （二）学生准备：复习分数乘除法的计算法则、倒数的概念、整数混合运算顺序，准备好练习本和学习用具。

  六、教学过程设计

  （一）第一阶段：情境驱动，问题导入——唤醒旧知，聚焦新知

  1.活动一：创设认知冲突情境。

   教师利用多媒体呈现一个贴近学生生活的真实情境：“学校‘科创节’筹备组需要布置一个展台。他们有一根长9/10米的彩带，准备先剪下其中总长度的1/3用来做背景装饰，再用剩下的彩带平均截成4段用来捆绑展品。请问，用来捆绑展品的每一段彩带有多长？”

  2.活动二：自主尝试，暴露思维。

   教师引导学生：“请同学们独立思考，尝试用自己的方法解决这个问题，可以画图帮助理解，并把你的思路和算式记录下来。”学生独立尝试。预设学生可能出现多种解法：

   解法A：分步计算。先求装饰用去的长度：9/10×1/3=3/10（米）；再求剩下的长度：9/10-3/10=6/10=3/5（米）；最后求每段长度：3/5÷4=3/5×1/4=3/20（米）。

   解法B：列综合算式。(9/10-9/10×1/3)÷4。

   解法C：从“分率”角度思考。将整根彩带看作单位“1”，用去1/3，剩下（1-1/3）=2/3，剩下的2/3对应9/10米，但这9/10米是总量，此思路在此题分步中更优，或列式为：9/10×(1-1/3)÷4。

   教师巡视，选取具有代表性的解法（特别是综合算式）进行投影展示。

  3.活动三：聚焦核心，引出课题。

   教师引导学生观察解法B和C中的综合算式：“这些算式里包含了分数乘法、减法和除法，是我们之前学过的分数四则混合运算。如果我们把问题稍作改变——‘有一根9/10米的彩带，先用它的1/3做装饰，再把做装饰后剩下的部分，按照每段长度是原来总长度的几分之几来分（比如，每段是原总长的1/6）捆扎，能捆几段？’或者，我们再看一个更纯粹的数学问题：9/10÷1/3÷4，这该怎么计算？这就是我们今天要深入研究的‘分数连除和乘除混合运算’（板书课题）。它看似是新的组合，但与我们已有的知识有着千丝万缕的联系。”

  （二）第二阶段：合作探究，算法建模——贯通算理，归纳法则

  1.活动一：探究分数连除运算的算法与算理。

   出示核心探究问题1：计算9/10÷1/3÷4。

   （1）独立探究：学生尝试计算，教师鼓励学生用不同的方法（如分步、一次转化等）。

   （2）小组交流：在四人小组内分享自己的算法和理由。教师深入小组，倾听并引导讨论焦点。

   （3）全班分享与辩论：

    小组A（分步法）：先算9/10÷1/3=9/10×3=27/10，再算27/10÷4=27/10×1/4=27/40。

    小组B（一次转化法）：根据“除以一个数等于乘这个数的倒数”，把所有的除法一次都转化成乘法：9/10÷1/3÷4=9/10×3×1/4。然后计算：9/10×3×1/4=(9×3×1)/(10×1×4)=27/40。他们强调，这样可以利用乘法结合律先约分，更简便：9/10×3×1/4=(9×3×1)/(10×1×4)=(9与4无法约，3与10无法约，但9与3？不，此处应先明确运算顺序，按从左到右依次转化为乘法后，实为连乘，可任意结合，找出9与3？不，9与谁约？实际上更清晰的观察是：9/10×3×1/4=9×3×1/10×1×4=27/40，或先算9/10×3=27/10，再乘1/4）。

    小组C（画图解释法）：尝试用线段图解释每一步的意义，但对于连除两步的直观图示可能感到困难。

   （4）教师引导深度追问：

    追问1：小组B的方法中，把“÷1/3”变成“×3”，把“÷4”变成“×1/4”，依据是什么？（分数除法计算法则）

    追问2：这样转化之后，原来的连除算式变成了什么算式？（分数连乘算式）我们学过分数连乘的计算方法吗？（学过，可以一次相乘，也可以先约分）

    追问3：那么，分数连除的计算，我们可以总结出怎样的步骤？（先把所有除法运算转化成乘法运算，即“变除为乘”，同时除数变成它的倒数；然后按分数连乘的方法计算，能约分的先约分。）

    追问4（关键）：为什么可以按照从左往右的顺序依次计算？或者像小组B那样一次全部转化？这背后的道理能和整数连除联系起来吗？

    教师通过数形结合或举例进行算理阐释：例如，9/10÷1/3÷4，可以理解为先求9/10米里面包含多少个1/3米，得到的是一个倍数（或份数），再把这个结果平均分成4份，求一份是多少。从运算本质上讲，连续除以两个数，等于除以这两个数的积（a÷b÷c=a÷(b×c)）。验证：9/10÷(1/3×4)=9/10÷4/3=9/10×3/4=27/40。这与依次计算或转化后计算的结果一致。由此揭示，分数连除的运算顺序规定与整数、小数连除一致，且算理相通。

  2.活动二：探究分数乘除混合运算的算法与算理。

   出示核心探究问题2：计算8/9×3/4÷2/3。以及5/6÷10/9×3/5。

   （1）迁移尝试：学生运用刚才的探究经验，独立尝试计算这两个算式。

   （2）对比分析：教师将学生的不同做法（如严格从左到右依次计算、先将除法转化再整体按乘法运算律处理等）进行投影对比。

   （3）形成共识：

    首先明确：在没有括号的乘除混合运算中，运算顺序与整数、小数乘除混合运算顺序相同，即从左往右依次计算。

    具体计算策略：在计算每一步时，如果是除法，就依据法则转化为乘法。在全部转化为乘法后，整个算式就是一个分数连乘算式，此时可以灵活运用乘法交换律和结合律进行约分，使计算简便。

    以8/9×3/4÷2/3为例：

    法1（依次算）：先乘：8/9×3/4=(8×3)/(9×4)=(24/36)=2/3（约分后）；再除：2/3÷2/3=1。

    法2（转化后统算）：原式=8/9×3/4×3/2=(8×3×3)/(9×4×2)。先观察约分：8与4约（8÷4=2），3与9约（3÷3=1，9÷3=3），另一个3与分母中的3约？不，分子有3和3，分母有3？调整：分子是8×3×3，分母是9×4×2。8与4约（得2和1），一个3与9约（得1和3），另一个3与分母的3？分母现为3×1×2=6，分子为2×1×3=6，结果为1。法2更体现整体观和简便性。

   （4）教师提炼板书计算法则要点：

    分数连除、乘除混合运算计算法则：

    ①看顺序：无括号，从左向右依次计算。

    ②巧转化：遇到除法，转化为乘法（除数变倒数）。

    ③化连乘：算式最终变为分数连乘。

    ④简计算：先约分，后计算。

    ⑤可检验：用逆运算或估算检验结果合理性。

  （三）第三阶段：分层练习，巩固内化——技能形成，思维深化

  本环节设计由浅入深、形式多样的练习，旨在巩固技能、深化理解、发展思维。

  1.基础巩固层（技能形成）

   （1）直接写出得数（快速反应，巩固“变除为乘”的即时转化能力）：

    1/2÷3/4×2/3=4/5÷8÷1/2=2/3×9/10÷3/5=

   （2）计算下列各题（强调规范书写和过程，巩固基本算法）：

    ①15/16÷5÷3/4

    ②3/10×5/6÷9/10

    ③9÷3/4×5/12

    ④(1/2+1/3)÷5/6×3/4（引入小括号，为后续完整分数四则混合运算铺垫）

   学生独立完成，同桌互查，重点纠错在运算顺序、倒数找错、约分错误等方面。教师巡视，收集典型错误，进行针对性评讲。

  2.辨析明理层（算理深化）

   （1）火眼金睛：判断对错，并说明理由。

    ①5/7÷2/3÷4/5=5/7÷(2/3×4/5)。（）

    ②一个数除以分数，商一定大于这个数。（）（结合乘除混合，考虑被除数、除数与1的大小关系）

    ③计算4/9×3/8÷3/4时，可以先算3/8÷3/4，再乘4/9，结果不变。（）（讨论乘除混合中能否随意交换运算顺序，引出对“a×b÷c=a÷c×b”这种特定变形的探讨，与乘法交换律、结合律的关系）

   （2）优化策略：下列各题，怎样算更简便？说说你的想法。

    ①8/13÷4×5/6（引导学生发现8/13÷4=8/13×1/4，8与4可以先约分）

    ②5/9×3/10÷3/10（发现除以3/10等于乘10/3，与前面的3/10约分）

    ③3/4÷1/8×4（3/4÷1/8=3/4×8=6，再乘4得24；或利用a÷b×c=a×c÷b？3/4×4÷1/8=3÷1/8=24）

   通过辨析和优化，让学生不仅“会算”，而且“善算”，理解算理背后的运算律支撑，提升运算的灵活性与简洁性。

  3.综合应用层（解决问题）

   回归问题解决本源，设计层次分明的实际问题。

   （1）一步转向两步的问题：

    一瓶3/2升的果汁，正好可以倒满6杯。平均每杯装多少升？如果每杯饮料倒入的容量是原来的2/3，现在每杯有多少升？（第一个问题直接除法，第二个问题需要先求原每杯量，再乘分率）

   （2）稍复杂的分数乘除混合实际问题：

    ①一块长方形菜地，宽是长的5/6。已知宽是10米，这块菜地的面积是多少平方米？（需先求长：10÷5/6，再求面积：长×宽）

    ②一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行驶60千米，4/5小时行了全程的2/7。甲、乙两地相距多少千米？（先求4/5小时行的路程：60×4/5，这个路程是全程的2/7，求全程用除法）

   （3）开放探究题：

    根据算式“3/4×2/3÷1/2”编一道生活中实际问题。学生自主编题，小组内分享并解答。此活动极具挑战性，能深度检验学生对算式意义的理解以及数学建模能力。

   在解决实际问题时，教师引导学生坚持“阅读与理解——分析与解答——回顾与反思”的解题步骤，特别强调分析数量关系，用线段图等辅助工具，并讨论不同解法的联系（如算术方法与方程思想的初步渗透）。

  （四）第四阶段：总结反思，拓展延伸——结构升华，展望未来

  1.活动一：自主构建知识网络。

   教师引导学生以思维导图或知识树的形式，对本节课内容进行梳理。核心问题引导：

   （1）今天我们学习了什么运算？它的运算顺序是怎样的？

   （2）我们是如何推导出它的计算方法的？关键的一步是什么？（转化）

   （3）分数连除、乘除混合运算与整数、小数的相应运算有什么相同点和不同点？（运算顺序相同，计算方法上分数需要“变除为乘”）

   （4）在计算中，我们运用了哪些数学思想方法？（转化、数形结合、类比、归纳）

   学生先在小组内交流，然后选派代表在全班分享，教师适时补充和完善，形成完整的板书结构。

  2.活动二：反思学习过程与策略。

   引导学生反思：在今天的探究和练习中，你遇到了什么困难？是如何克服的？你认为计算这类题目最容易出错的地方在哪里？有什么好的建议提醒大家？你对自己的表现满意吗？哪里做得好，哪里可以改进？

  3.活动三：拓展延伸，铺垫后续。

   （1）挑战题：计算1/1×2+1/2×3+1/3×4+…+1/99×100。（看似是加法，但每一项都是分数乘法形式，涉及巧算，与分数乘法的意义和运算律相关，供学有余力学生思考）。

   （2）预告：今天我们学习了不含括号的分数乘除混合运算，如果算式中含有括号，或者同时含有加减乘除，运算顺序又该怎样规定？计算时要注意什么？这将是我们下一节课要学习的内容——分数四则混合运算。

   （3）生活链接：鼓励学生在生活中寻找可以用分数乘除混合运算解决的实际问题（如烘焙中的配方调整、购物折扣中的复合计算等），并记录下来，在班级数学角分享。

  七、板书设计（纲要式，随教学过程动态生成）

   分数连除和乘除混合运算

   核心：转化思想

   运算顺序：从左往右依次计算（与整数、小数同）

   计算法则：

    1.看（顺序）

    2.变（除为乘，除数变倒数）

    3.化（为连乘算式）

    4.算（先约分，后计算）

   简便关键：灵活运用运算律（乘法交换律、结合律）

   算理支撑：a÷b÷c=a÷(b×c)等

   解决问题：审题→分析数量关系→列式（转化）→计算