华北理工杨梅材料力学课件10压杆稳定

第十章压杆稳定10.1压杆稳定的基本概念10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力10.5压杆稳定安全校核10.4临界应力与柔度三类不同的压杆10.3支承对临界力的影响常见支承条件下压杆临界力的通用公式10.6稳定性计算的重要意义提高压杆承载能力的措施第十章

考察图10.1中所示之中心受压的理想直杆。实例分析P§10.1压杆稳定的基本概念

当压力P小于某个数值时，在任意小的扰动下，压杆偏离原来的直线平衡位置（例如产生微弯）。当扰动除去后，压杆又能回复到原来的直线平衡位置。图10.1

临界点：稳定的和不稳定的直线平衡形式之间的分界点称为“临界点”。

临界载荷：与临界点相对应的载荷，称为“临界载荷”，用Pcr表示。Pcr是稳定直线平衡状态的最高载荷。§10.1压杆稳定的基本概念直线平衡位置稳定不稳定

当外加压缩载荷P小于一定数值时，压杆只能在直线这唯一的位置保持平衡。当扰动去除后，压杆不能再回到原来的直线平衡位置，而在某一弯曲状态下达到新平衡。§10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力确定压杆临界载荷的方法比较多，现以两端铰支的等截面直杆为例，说明确定压杆临界载荷的“静力方法”。考察图10·2中所示之承受轴向压缩的等截面直杆，两端均为球铰链约束。PPOxy

当轴向载荷为何值时，产生微弯的扰动去除后，压杆能保持在微弯的平衡位置，即压杆既不能回到原来的直线平衡位置，也不能再偏离微弯的平衡位置而产生更大的弯曲变形？思考？§10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力试考虑压杆在微弯状态下任意一段（图10·2中所示），得：方程的通解：：§10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力PPOxy边界条件为：

（10.1）

即：§10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力（10·1）式便是计算两端铰支、等截面压杆临界载荷的表达式。对于不同的n值，压杆有不同的微弯波形，临界载荷因此而异。工程上有意义的是这些临界载荷中的最小者，即n=1时的Pcr值。这时的临界载荷称为“第一临界力”，又称“欧拉临界力”：

Pcr=

（10.2）

§10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力

这一表达式又称为“欧拉公式”。此式表明，欧拉临界力（Pcr）与抗弯刚度成正比；与杆长的平方（L2）成反比。应用上式时，注意以下两点：1.欧拉公式只适用于弹性范围，即适用于弹性稳定性问题。2.公式中的I是压杆失稳发生弯曲时，截面对其中性轴的惯性矩。§10.2压杆临界载荷的确定欧拉临界应力注意§10.3支承对临界力的影响常见支承条件下压杆临界力的通用公式

为简化，将各种不同支承条件下的压杆在临界状态时的微弯变形曲线，与两端铰支压杆的临界微弯变形曲线相比较，确定这些压杆微弯时与一个正弦半波相当部分的长度，并用μL表示，用μL代替（10.2）式中的L，便得到计算各种支撑压杆第一临界力的通用公式:Pcr

=（10.3）

其中μ称为“长度折算系数”，它反映不同支承对压杆临界力的影响，μL称为“相当长度”。

表10.1中对几种常见支承压杆的微弯曲线做了比较，给出了相应的μ值。§10.3支承对临界力的影响常见支承条件下压杆临界力的通用公式杆端约束情况两端铰支一端固定一端自由一端固定一端铰支两端固定绕曲线形状长度系数1.02.00.70.5表10.1压杆的长度系数表μL=LPμL=2LPμL=0.7LPμL=0.5LP§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆欧拉公式只有在线弹性范围内才是适用的，这要求压杆在直线平衡位置时，横截面上的正应力不大于材料的比例极限，即:σcr

=≤σP

（10.4）

其中A为杆横截面积，σcr

称为“临界应力”。

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆10.4.1

柔度由欧拉公式（10.3）代入临界应力表达式（10.4），得到:

σcr=（10.5）式中

λ=（10.6）

称为”柔度”,其中

i=（10.7）

为截面对弯曲中性轴的惯性半径，其单位为m或mm。

10.4.2三类不同压杆及相应的临界应力表达式

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆大柔度杆

根据（10.4）和（10.5）式，在弹性范围内有≤σp

（10.8）

令=λp

（10.9）

这是发生弹性屈曲时，压杆柔度最小值。凡柔度大于或等于这一数值的压杆，称为“大柔度杆”或“细长杆”，它们都将会发生弹性屈曲，因而都可以用欧拉公式计算其临界载荷，即Pcr=σcr·A

，其中：

σcr=

（10.5）

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆中柔度杆

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆柔度满足下列条件的杆，称为“中柔度杆”或“中长杆”：λy≤λ﹤λp

（10.10）

这类压杆也会发生屈曲，但屈曲时，启横截面上应力已超过比例极限，故为“弹—塑性屈曲”。这类压杆的临界力需根据弹-塑性稳定理论确定。目前的设计中多采用经验公式。较简单的公式为直线公式：σcr=a-bλ

(10.11)

其中a、b为与材料性能有关的常数。表10.2中列出了几种常用材料的a、b值。

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆材料aMPabMPaλpλδA3钢，10、25钢3101.141006035钢4692.621806045、50钢5893.8210060铸铁338.71.48380木材29.30.19411040§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆中柔度杆的柔度下限值λs，是当压杆中的临界应力等于屈服强度时的柔度值，即λ=λs时，σcr=σs。于是，由（10.11）得到：

λs=

（10.12）例如，对于A3钢，σs=235MPa，a=304MPa，b=1.12MPa，代入上式后解得A3钢之λs=61.6。

小柔度杆

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆当压杆柔度小于值时λy值时，这类压杆称为“小柔度杆”或“粗短杆”。这类压杆一般不发生屈曲，而可能发生屈服（塑性材料）或破裂（脆性材料）。于是，其临界应力的表达式为：

σcr=σs（塑性材料）

σb（脆性材料）

（10.13）

10.4.3临界应力总图§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆

根据三类不同压杆的临界应力表达式（10.5）、(10.11)和（10.13），在σcr—λ坐标中可以画出σcr=f（x）曲线，称为“临界应力总图”，如图10·4所示

:

cr

p

s

s

p例1：用Q235A钢制成的三根压杆,E=200GPa,s=60,p=100,两端均为铰支,截面直径d=50mm,长度分别为L1=2m,L2=1m,L3=0.5m,试求这三根压杆的临界应力。

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆解：1.计算柔度，确定压杆的临界应力公式：

三根压杆的截面直径相同，其惯性半径相同，即：

1>p，杆1是细长杆，用欧拉公式计算；

s<2<p,杆2是中长杆，用经验公式计算；

3

s,杆3是粗短杆,用屈服强度。

§10.4临界应力与柔度三类不同的压杆2.计算临界应力：

§10.5压杆稳定安全校核

10.5.1稳定安全准则一般工程中，大都希望压杆的直线平衡位置是稳定的。为此，必须使压杆所承受的工作载荷不大于临界值。为了保证一定的安全裕度，压杆所承受的工作载荷P应满足下述条件：

P≤

P≤

（10.14）

或者写成

§10.5压杆稳定安全校核

σ

≤

[σ]st

(10.15)上式二式均称为“稳定安全准则”，其中σ=P/A，为压杆在直线平衡位置时横截面上的正应力，称为“工作应力”；[σ]st称为“稳定许用应力”：

[σ]st=（10.16）

式中nst称为“稳定安全系数”。

由于压杆失稳大多是突发性的，且危害比较大，故通常规定的稳定安全系数都要大于强度安全系数。对于钢，取nst=1.8—3.0,；对于铸铁，取nst=5.0—5.5；对于木材，取nst=2.8—3.2。因此，为了保证充分的安全裕度，对柔度较大的杆，稳定安全系数取较大值。

§10.5压杆稳定安全校核

10.5.2安全系数法

§10.5压杆稳定安全校核

基于稳定安全准则，令

nω=

或

nω

=（10.17）

称为“工作安全系数”。上式中σcr和Pcr分别为临界应力和临界载荷，对于三类不同压杆，分别采用不同的表达式计算，σ和P分别为工作应力和工作载荷。

nω

≥nst

（10.18）

其中nst为规定的稳定安全系数。。例1：图示螺旋千斤顶,螺杆旋出的最大长度L=400mm,螺纹小径d=40mm,最大起重量F=80kN,螺杆材料为45钢,E=200GPa,s=60,p=100,规定稳定的安全系数[nw]=4,试校核螺杆的稳定性。

§10.5压杆稳定安全校核

解：1.计算柔度：

螺杆可简化为上端自由、下端固定的压杆。2.计算临界应力§10.5压杆稳定安全校核

因

s<

<

p，螺杆为中长杆，查表10.2得：a=578,b=3.744。应用经验公式计算其临界应力得：

3.稳定性计算螺杆的工作应力为：工作应力安全系数为：

结论：螺杆的稳定性足够。

压杆的稳定性与截面形状和尺寸，杆长，支座约束，材料有关，提高压杆稳定性，从以下几方面考虑：

对于一定杆长、支承、截面面积的压杆，应尽可能使截面远离形心，以加大惯性矩减小柔度，采用空心截面比实心截面更为合理。圆框形矩形圆环1.选择合理的截面形状：§10.6稳定性计算的重要意义提高压杆承载能力的措施

尽量减小压杆的长度，还可以利用增加中间支承来提高压杆的