（16区全套）2026年上海市16区高三二模数学试卷合集（含答案及解析）

2026年4月上海市2026届高三二模数学试卷合集(16区完整版)目录黄浦区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）徐汇区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）长宁区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）静安区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）普陀区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）虹口区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）杨浦区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）闵行区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）宝山区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）嘉定区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）浦东新区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）金山区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）松江区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）青浦区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）奉贤区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）崇明区2026届高三二模数学试卷（含答案及解析）宝山区2025学年第二学期期中高三年级数学学科教学质量监测试卷2026.04考生注意：1.本试卷共21题，满分150分，考试时间120分钟；2.本试卷包括试题卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；3.在本试题卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；4.可使用符合规定的计算器答题.一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分，要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分）.1.已知集合，则__________.2.已知，则__________．3.已知是虚数单位，且复数满足，则________．4.若是直线的一个法向量，则实数的值为__________.5.将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为__________．6.已知随机变量，且，那么__________.7.设，则的最小值为____________．8.若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______.9.若，则__________.10.如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________.11.已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.12.已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）·13.两个变量x与y之间的回归方程（）A.表示x与y之间的函数关系；B.表示x与y之间的不确定关系；C.反映x与y之间的真实关系；D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．14.在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件15.如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（）A.为定值，为定值B.为定值，不为定值C.不为定值，为定值D.不为定值，不为定值16.设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（）A.若是公差为2的等差数列，则是“数列”；B.若是“数列”，则可能为常数列：C.若是“数列”，则不存在正整数，满足；D.对任意，若，且满足，则是“数列”.三､解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）.17.如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.18.已知.（1）若，求的值；（2）当时恒成立，求的取值范围.19.为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表：（1）调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值；（2）当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人.①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率；②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值.男生女生合计了解不了解合计参考公式：，其中.参考数据：0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.87920.将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足.（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.21.已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）.（1）若满足，求实数的值；（2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由：（3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”.参考答案及其解析：1、【答案】【解析】【详解】因为集合，所以.2.已知，则__________．【答案】【解析】【详解】3.已知是虚数单位，且复数满足，则________．【答案】；【解析】【详解】解：由题意可知：，则.4.若是直线的一个法向量，则实数的值为__________.【答案】##【解析】【分析】利用直线一般式的法向量形式，结合已知法向量与该法向量平行的性质列比例式求解的值.【详解】已知直线的方程为

，根据直线一般式的法向量性质，的法向量可表示为,因为是的一个法向量，故与平行，由向量平行的坐标关系得：，解得.​【点睛】本题考查直线法向量的概念和向量平行的坐标运算，记住直线一般式的法向量为可快速解题.5.将边长为2的正方形绕其一边旋转一周，所得几何体的体积为__________．【答案】【解析】【详解】边长为2的正方形绕其一边旋转一周，得到的几何体为圆柱，则圆柱的体积为,故填.6.已知随机变量，且，那么__________.【答案】【解析】【详解】由可知，正态曲线关于直线对称.因为和关于对称，所以.已知，故.7.设，则的最小值为____________．【答案】4【解析】【分析】根据给定条件，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【详解】由，得，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值4.故答案为：48.若函数是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为______.【答案】1【解析】【分析】利用函数奇偶性分析求解即可.【详解】因为函数是定义在上的奇函数，所以且，当时，，所以，解得：，所以当时，，所以.9.若，则__________.【答案】【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式，得的展开式的通项为，令进行求解.【详解】因为的二项展开式的通项公式为，的二项展开式的通项公式为，则的展开式的通项为，令，则，或，所以.10.如图，平行四边形中，是的中点，是的三等分点，若，则__________.【答案】【解析】【分析】以、为基底将目标向量线性表示，通过向量数量积运算建立关于的方程，求解得到角度.【详解】，，所以，又，所以，解得，所以，所以.11.已知点分别是椭圆和圆上的两个动点，且点，则的最大值为__________.【答案】##【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义将所求最大值转化为求值的最大值，再结合圆的性质求解.【详解】因为为椭圆的右焦点，设其左焦点为，圆的圆心，半径，由椭圆的定义得，则，而，当且仅当点在直线上时取等号，所以当是线段延长线与椭圆的交点、是线段延长线与圆的交点时，取得最大值.12.已知集合，当且时，都有，若满足条件的集合至少有100个，则正整数的最小值是__________.【答案】12【解析】【分析】设表示集合中，满足要求的集合的个数，得到，从而求出答案.【详解】设，，当且时，都有，设表示集合中，满足要求的集合的个数，若中无，则有个集合满足要求，若中有，要想满足要求，则中无，，故有个集合满足要求，所以，当时，，故，即，当时，，故，即，当时，，故，即，故，，，，，，，，，故正整数的最小值为12.二､选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分，每题都给出四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分）·13.两个变量x与y之间的回归方程（）A.表示x与y之间的函数关系； B.表示x与y之间的不确定关系；C.反映x与y之间的真实关系； D.是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．【答案】D【解析】【分析】根据回归直线方程的定义，结合选项，即可求解.【详解】根据回归方程的定义，可得两个变量x与y之间的回归方程是反映x与y之间的真实关系的一种最佳拟合．故选：D.14.在中，均为锐角，设甲：；乙：是钝角三角形，则甲是乙的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】举反例否定充分性，利用正弦定理并结合题意证明必要性即可.【详解】对于充分性，设，，显然满足甲，此时，不是钝角三角形，故充分性不成立；对于必要性，若是钝角三角形，则，则，由正弦定理可知，则必要性成立，即甲是乙的必要不充分条件，故C正确.故选：C15.如图，正方体的棱长为1，任作平面与对角线垂直，使平面与正方体的六条棱都有公共点.记截面的面积为，截面周长为，则有（）A.为定值，为定值B.为定值，不为定值C.不为定值，为定值D.不为定值，不为定值【答案】C【解析】【分析】判断周长和面积是否为定值，先判断截面各边之间的数量关系和位置关系，将立体问题平面化求解即可.【详解】如图所示，连接，，，易知平面与对角线垂直，又平面与对角线垂直，所以平面平面；同理连接，，，易知平面与对角线垂直，又平面与对角线垂直，所以平面平面；又平面平面，平面平面从而可得，同理可得，又，所以，同理可得，，将截面各边展开如图：由平行关系知，的周长等于为定值；由平行关系知，的形状为六边形，各边夹角为，且相邻两边之和为，设，则，则的面积，从而可知是关于的二次函数，不为定值.16.设正项数列的首项，前项和为，若对任意的正整数都有，其中，则称是“数列”.下列结论中错误的是（）A.若是公差为2的等差数列，则是“数列”；B.若是“数列”，则可能为常数列：C.若是“数列”，则不存在正整数，满足；D.对任意，若，且满足，则是“数列”.【答案】D【解析】【分析】根据“数列”的定义可判断A；取常数数列，判断B即可；根据“数列”满足的条件可得出相应不等式，可推出，即可判断C；举出反例可判断D.【详解】对于A，若是首项为、公差为的等差数列，则，前项和，时等号成立，所以，即是“数列”，故A正确；对于B，当时，，成立，即是“数列”时，可能为常数列，故B正确；对于C，若是“数列”，则，且，所以，则，故，由题意知当，，结合，得，因此不存在使，C正确；对于D，取，，满足，则，，而，所以不成立，因此“”不足以保证是“数列”，D错误.三､解答题（本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤）.17.如图，在四棱锥中，是边长为1的正方形，平面是的中点.（1）求证：平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求三棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面垂直判定定理，通过证明垂直于平面内的两条相交直线和，从而证得平面；（2）建立空间直角坐标系，求出直线方向向量与平面法向量，利用线面角的正弦值公式列方程，求解得到的长度，再由棱锥体积公式得解.【小问1详解】如图，连接交于点，可得点是的中点，因为四边形是边长为1的正方形，所以，又因为平面，平面，所以，由，平面，得平面；【小问2详解】设（），以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，可取，设直线与平面所成角为，则，整理可得，解得或（舍去），即，故.18.已知.（1）若，求的值；（2）当时恒成立，求的取值范围.【答案】（1）（2）当时无解;当时【解析】【分析】（1）由直接代入结合对数函数单调性解得.（2）通过对底数分类讨论，利用对数函数单调性转化不等式，分离参数后求函数最值，再结合真数范围确定的取值【小问1详解】已知，.由，代入得：.因为，所以，即，得，解得.【小问2详解】由得.当时,单调递增,不等式等价于,且真数.即,且对恒成立.由得.结合得.故且对恒成立.令,.令,由,得,且.于是.这是关于的二次函数,开口向下,对称轴为.对称轴在区间的左侧,因此函数在上单调递减。又在上单调递增,根据“同增异减”可得在上单调递减.所以,.故又对一切恒成立.则需大于在上最大值即.因为与不能同时成立.故时无解.当时,单调递减，不等式等价于,且真数.即,且对恒成立.由得或.结合,只需恒成立.故对恒成立.由上述分析知在上最大值为,所以.又需对恒成立,即,右边最大值为,所以,结合得.综上所述,的取值范围是.19.为调查大学数学专业的学生对中华优秀传统文化的了解情况，现对某大学的数学专业学生进行抽样调查.已知被调查的男､女生人数均为（为正整数），得到以下列联表：（1）调查结果显示有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，但没有的把握认为该校学生对中华优秀传统文化的了解与性别有关，求的值；（2）当时，采用分层抽样的方式在“了解中华优秀传统文化”的学生中抽取10人.①从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，在第二次调查中，已知至少有2名女生被抽到，求抽到男生的概率；②在“不了解中华优秀传统文化”的男生中再随机抽取人，然后从这人中随机抽取2人.用随机变量表示抽到“了解中华优秀传统文化”的女生人数，若随机变量的数学期望值不小于，求的最大值.男生女生合计了解不了解合计参考公式：，其中.参考数据：0.050.0250.0100.0053.8415.0246.6357.879【答案】（1）（2）①；②【解析】【分析】（1）完善列联表，根据的计算可得出关于的等式，即可解得正整数的值，结合临界值表可得出结论；（2）①分析可知，抽取的这10男生的人数为6女生的人数为4，利用条件概率公式可求得所求事件的概率；②随机变量的取值为：，求出期望再解不等式.【小问1详解】被调查的男女生人数均为，其中男生中不了解的有，则了解的有，其中女生中了解的有，则不了解的有，则可得列联表如下所示：

男生女生合计了解不了解合计因，由题意，可知，又，可得；【小问2详解】①当时，了解中华优秀传统文化的男生有人，女生有人，则采用分层抽样时，在男生中抽取人，女生中抽取人，再从这10人中随机抽取3人进行第二次调查，记“至少有2名女生被抽到”为事件A，“抽到男生”为事件B，则；②根据题意可知这人中有4人是了解中华优秀传统文化的女生，随机抽取2人，随机变量的取值为，，则，依题意，由，解得，所以的最大值为.20.将以坐标原点为顶点，以轴为对称轴，并经过点的抛物线记为.作两条直线分别与抛物线相交于点，设的斜率分别为，且满足.（1）求抛物线的标准方程；（2）证明：直线的斜率；（3）若直线在轴上的截距，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）待定系数法设出抛物线的表达式，代入点的坐标求解即可；（2）联立、与抛物线方程，求出、的坐标，利用斜率公式求解即可；（3）用含的式子表示弦长及点到直线的距离，进而表示面积，利用函数求最值即可.【小问1详解】由题意，设所求抛物线的方程为：，点代入抛物线的方程得：，所以抛物线的标准方程为：.【小问2详解】由题意直线的方程可设为，联立，代入化简得，由题意，从而，即，从而，即;同理可得，，，又，所以，所以.【小问3详解】由（2）可知，设直线的表达式为，即联立，代入化简整理得:,由故,从而，，点到直线的距离，，令，则，，设，则，令，解得（负值舍去）则当时，,单调递增；当时，,单调递减；从而，即面积的最大值为.21.已知和均为定义在上的可导函数，且函数满足：（是正整数）.（1）若满足，求实数的值；（2）设数列是无穷数列，若，且，是否存在实数，使得是常数列，请说明理由：（3）若是定义域上的增函数，函数是周期函数，且存在对任意实数，都有，求证：“恒成立”的充要条件是“是周期函数”.【答案】（1）或（2）存在，证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）先根据已知条件求出，再结合列方程组即可求出；（2）先求出，再根据得到与的关系，然后假设是常数列，即可求出实数；（3）先根据已知条件得到的性质，再分别证明充分性和必要性.【小问1详解】对求导，，，，则，解得或.【小问2详解】已知，则，故，若是常数列，则，则，即，令，则，即在上单调递增，又，且是连续函数，由零点存在性定理可得，存在唯一的，使得，即，故当时，是常数列，综上，存在实数使得是常数列.【小问3详解】证明充分性：若恒成立，则，故（为常数），则，则（为常数），是定义域上的增函数，是增函数，，又函数是周期函数，设其周期为，即，而，故，即是周期函数，周期也为.证明必要性：设，设的一个正周期为，的一个正周期为.由题意，存在对任意实数，都有，则有最大值，记.记集合，由为的一个正周期，则对任意的，均有.下面用反证法证明是常值函数.假设不是常值函数，则存在实数，不妨假设，又由已知是增函数，可得，又因为是上的增函数，所以，则；可在集合中取一个元素，满足，且，再取足够大的正整数，使得，则，则，由的的一个正周期，则，即，即①，由是上的增函数，则，若，又由，可得，这与①式矛盾，故，又由是上可导（必连续）的增函数，所以对任意，.由，则任意，；则，这与矛盾，故假设不成立，是常值函数，且.故，恒成立，必要性证毕.综上，“恒成立”的充要条件是“是周期函数”.崇明区2025学年第二学期高三数学考生注意： 2026.041．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2．本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1∼6题每题4分，7∼12题每题5分）1.集合，，则________.2.不等式的解为________．3.若复数满足（为虚数单位），则_____.4.已知向量，，若，则实数____________.5.若，，且，则的最小值为________．6.已知，则的值为__________.7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.8.在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．9.已知则_______.10.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．11.设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．12.已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）13.在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）A. B. C. D.14.下列函数中，在上为严格增函数的是（）A. B. C. D.15.已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（）A. B.C. D.16.已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（）A.①②都真 B.①真②假 C.①假②真D.①②都假三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．18.2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：每周活动总时长（单位：时）频率0.150.250.350.150.1同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：视力良好视力一般合计活动时间达标（不少于14小时）40活动时间未达标（低于14小时）30合计100（1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望；（2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.参考公式及数据：①，其中．②，，，．19.设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；20.已知椭圆．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标；（3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴．21.函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．（1）若，求实数a的取值范围；（2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；（3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．参考答案及解析：1、【答案】【解析】【分析】根据交集的概念运算.【详解】由题意得，.故答案为：2.不等式的解为________．【答案】【解析】【详解】解：，，解得，故不等式的解为．3.若复数满足（为虚数单位），则_____.【答案】【解析】【分析】利用复数的乘法运算化简求值．【详解】因为，所以，所以；故答案为：4.已知向量，，若，则实数____________.【答案】【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示，由可得即可得解.【详解】由得，，.故答案为：5.若，，且，则的最小值为________．【答案】【解析】【详解】由基本不等式可得，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.6.已知，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求得结果．【详解】由，则故答案为：7.从一副去掉大小王的52张扑克牌中随机抽取一张牌，事件A表示“取得的牌面是A”，事件B表示“取得的牌的花色是黑桃”，则为______.【答案】##0.25【解析】【分析】计算出，利用条件概率公式进行求解.【详解】，，故.故答案为：8.在中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c．若，，，则________．【答案】2【解析】【详解】由正弦定理得，解得.9.已知则_______.【答案】5【解析】【分析】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，利用二项式展开的通项公式，即可得解.【详解】由题意，为的系数，和的展开式中都包含项，故，故故答案为：10.如图，已知圆柱的一个截面边界是椭圆Γ，其中Γ的长轴为该圆柱轴截面的对角线，短轴长等于圆柱底面直径的长．将圆柱侧面沿母线展开，则椭圆在展开图中恰好为一个周期的三角函数图像．若该段曲线是函数的图像的一部分，则椭圆的离心率为_____．【答案】【解析】【分析】由正弦函数的最值和周期求得圆柱的高和底面半径，进而求得椭圆的长轴和短轴，即可得离心率.【详解】函数的值域为，最小正周期，依题意，圆柱的高，设圆柱的底面半径为，则，解得，椭圆短轴长，即，长轴长，即，所以椭圆的离心率.11.设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点，相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为；，令，则，故单调区间的分界点，相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为.两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和，所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是.12.已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得，再证明时，对任意的正整数m，n都有恒成立即可得.【详解】由题意可得，取，当时，有，当时，有，故；若，则当时，指数函数增速会大于一次函数，故不可能恒成立，故；综上可得；下证充分性：当时，不妨设，则，故需满足，即，令，则只需满足数列为非递减数列即可，，由，则，，则，故数列为非递减数列，即时符合题意.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13~14题每题4分，15~16题每题5分）13.在空间内，异面直线所成角的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由异面直线所成角的定义可得出答案.【详解】由异面直线所成角的定义可知,过空间一点分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成角,所以两条异面直线所成角的取值范围是,故选B.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成的角,需要学生熟知异面直线的定义以及性质,考查了转化思想,属于基础题.14.下列函数中，在上为严格增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【详解】对于A，是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故A不符合题意；对于B，是定义在上的偶函数，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故B不符合题意；对于C，是定义在上的周期函数，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故C不符合题意；对于D，在上为严格增函数，故D符合题意.15.已知，，，，其中，点P为平面内一点，记点到，的距离分别为，，则下列条件中能使点的轨迹为椭圆的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义可判断A的真假；求点的轨迹方程，判断BCD的真假.【详解】对于A，因为，所以点轨迹为线段，故A错误；对于B，设，则由，所以点轨迹为圆，故B错误；对于C，由，因为，方程可化为，所以点轨迹为椭圆，故C正确；对于D，由，①当且，即时，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；②当且，即且，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；③当且，即且，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；④当且，即且，去绝对值可得，即，此时结合约束条件可知点的轨迹为垂直于轴的线段；综上可知点轨迹为四条线段，故D错误.16.已知函数，．定义集合对任意的，都有.对于所有使得的函数，有以下两个命题：①存在函数在处取极小值；②存在函数图像是连续曲线．下列判断正确的是（）A.①②都真 B.①真②假 C.①假②真 D.①②都假【答案】A【解析】【详解】根据题意可知集合为函数的非严格单调递增区间，不妨令函数，易知,因此当时，，当或时，，可知在上单调递增，在和上单调递减，此时函数满足在上单调递减，满足题意，即存在函数在处取极小值，且是连续曲线，因此①②都真.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）17.如图，在直三棱柱中，，，且D，E分别是，的中点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可得四边形是平行四边形，则可得，再利用线面平行判定定理即可得证；（2）由为的中点，可得，再利用等体积法计算即可得解.【小问1详解】由直三棱柱性质可得，，由D，E分别是，的中点，则，，则四边形是平行四边形，故，又平面，平面，故平面；【小问2详解】由，，则，故为等腰直角三角形，则点到的距离为，则点到的距离为，由为的中点，则点与点到平面的距离相等，故.18.2025年11月，教育部等五部门联合印发《关于实施学生体质强健计划的意见》，明确要求“中小学生每天综合体育活动时间不少于2小时”．某学校为了解政策落实情况及其对学生视力的影响，随机抽取了100名学生进行每周累计体育活动时长的调查，得到如下频率分布表：每周活动总时长（单位：时）频率0.150.250.350.150.1同时，对这100名学生的视力进行了检查，将视力达到5．0及以上定为“视力良好”，低于5．0定为“视力一般”，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：视力良好视力一般合计活动时间达标（不少于14小时）40活动时间未达标（低于14小时）30合计100（1）从活动时长在和的学生中，按比例分层随机抽样抽取5人进行座谈.若从这5人中随机抽取2人，设为抽取的2人中活动时长在的人数，求的分布列和数学期望；（2）依据的独立性检验，判断是否有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.参考公式及数据：①，其中．②，，，．【答案】（1）012（2）有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.【解析】【分析】（1）通过按比例分层随机抽样确定5人各有几人来自和，再确定的可能取值，求得相应概率即可求解；（2）先补全列联表，求得相应，再对比数据即可求解.【小问1详解】由于和频率分别为，，则按比例分层随机抽样，抽取5人进行座谈，有3人来自，2人来自，由题意的可能取值为0，1，2，,,,所以的分布列是：012.【小问2详解】由题意活动时间达标人数为，活动时间未达标人数为，故列联表如下：

视力良好视力一般合计活动时间达标（不少于14小时）402060活动时间未达标（低于14小时）103040合计5050100零假设：“视力情况”与“体育活动时长是否达标”无关．根据列联表数据，计算，根据小概率值的独立性检验，判断不成立，所以有95%的把握认为“视力情况”与“体育活动时长是否达标”有关.19.设函数．（1）若，求的图象在处的切线方程；（2）若在上恒成立，求a的取值范围；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）对函数求导，求出切线斜率和切点坐标，进而求得切线方程.（2）对函数求导，判断单调性求出最小值，分两种情况讨论求解不等式恒成立时的范围.【小问1详解】时，，对函数求导得.所以.所以的图象在处的切线方程为，即.【小问2详解】由得.因为在上单调递增，所以.若，则在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，若，令得或，且.当时，，单调递减，所以，与在上恒成立矛盾，综上所述，的取值范围是.20.已知椭圆．（1）求椭圆C的离心率；（2）已知椭圆右顶点为A，设点M为y轴正半轴上一点，点P为椭圆C上的一点.若，求点M的坐标；（3）已知，过点的直线交椭圆C于D，E两点，直线DG交直线于点H，证明:轴．【答案】（1）；（2）；（3）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据离心率定义直接计算可得；（2）设利用向量关系表示出点坐标，代入椭圆方程即可得解；（3）利用韦达定理表示出点的纵坐标，利用向量共线表示出点的纵坐标，证明和的纵坐标相等即可得证.【小问1详解】记椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，则，所以离心率.【小问2详解】由题知，，设，，因为，，所以，得，代入椭圆方程得，解得（负根舍去）【小问3详解】易知，当直线斜率为0时，为长轴端点，与右焦点重合，满足题意；设直线的方程为，，联立得：，由得或，则，所以，则，设，因为三点共线，则，，所以，则，所以，所以轴.21.函数，是减函数，即对于任意的，，当时，均有．（1）若，求实数a的取值范围；（2）是否存在函数是偶函数，且满足对所有成立？若存在，请举出一个满足条件的函数，若不存在，请说明理由；（3）设，已知函数是周期函数，求证：为常值函数．【答案】（1）（2）不存在，理由见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数恒小于或等于即可得到取值范围；（2）结合单调性和奇偶性判断出为常值函数，进一步判断不恒成立；（3）根据周期函数性质构建出等式，根据的单调性得到应满足的性质，再结合正弦函数本身的性质进行推导，最后得到为常数【小问1详解】为减函数，则即恒成立，所以.【小问2详解】因为为减函数，取任意实数，设，则有，又为偶函数即有，可得，同时根据单调性由可得，所以即对任意实数成立，所以为常值函数，设，则，当时，不成立，所以不存在满足条件的函数.【小问3详解】设函数的正周期为即对任意都有，因为，根据为减函数可知，所以，那么有，因为，所以即，于是可得，从而，而为减函数，所以在上为常值函数，其中为任意实数，所以在上为常值函数.奉贤区2025学年第二学期高中数学练习卷 2026.04一、填空题（本题共12小题，1-6每小题4分，7-12每小题5分，共54分.）1.已知集合，，若，则实数________．2.不等式解集为________．3.在展开式中，的系数为___________．4.若直线与直线平行，则实数a的值为________．5.已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______．6.已知函数是奇函数，则________．7.某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）；参考数据：若，则，，．8.点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________．9.从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________．10.已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________．11.如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米）12.在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________．二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）13.已知，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.14.已知双曲线的方程为，则（）A.渐近线与无关 B.实轴长与无关 C.焦距与无关 D.焦点与无关15.音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）AB.C.D.16.已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（）A.函数的零点的个数一定是3个B.若集合解集是，则实数对有2对C.函数必存在极值D.函数在处的切线方程为，则三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数的表达式为，．（1），求的值；（2）若，，依次成等比数列，求的值．18.某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：月份产量（千件）单位成本（元/件）127323723471437354696568（1）计算产量与单位成本的相关系数（无需过程）；（2）建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：（3）若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？附：相关系数的计算公式：；回归系数计算公式：，19.在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G．（1）求证：异面直线与垂直；（2）当时，求与底面所成线面角大小．20.已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与相切，求当时，的长；（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标．21.设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．（1）若，，求；（2）求证：数列是严格递减数列；（3）若，比较与的大小，并说明理由．参考答案及解析：1、【答案】【解析】【详解】因为，所以或，解得，或，当时，，集合中的元素不满足互异性，舍去；当时，，满足题意，故2.不等式解集为________．【答案】【解析】【详解】或，解得或，所以不等式的解集为.3.在展开式中，的系数为___________．【答案】10【解析】【分析】由二项式定理写出展开式通项，求含的项即可知其系数.【详解】由题设，展开式通项公式为，当时，，∴的系数为10.故答案为：10.4.若直线与直线平行，则实数a的值为________．【答案】【解析】【详解】已知直线与直线平行，两直线斜率相等，即，解得，直线截距为1，直线的截距为0，不相等，．5.已知圆锥的高为8，底面半径为6，则该圆锥的侧面积为______．【答案】【解析】【分析】根据勾股定理求出母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.【详解】因为圆锥的高为8，底面半径为，所以圆锥的母线长为，则圆锥的侧面积.故答案为：.6.已知函数是奇函数，则________．【答案】【解析】【详解】解：设，，又函数是奇函数，，即，，，，解得．7.某食品厂生产一种零食，该种零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，记作．规定：这种零食的质量在62.8~69.4g之间的为合格品；则这种零食的合格率为________．（结果精确到0.001）；参考数据：若，则，，．【答案】【解析】【详解】因为零食每袋的质量X（单位：g）服从正态分布，所以.8.点为抛物线的焦点，为上一点，若的面积为（为坐标原点），则___________．【答案】【解析】【分析】首先得到焦点坐标与准线方程，根据的面积求出，从而求出，再由焦半径公式计算可得.【详解】抛物线的焦点为，准线方程为，则，所以，则，所以，所以.故答案为：9.从6名男生和4名女生中选出3人参加人工智能技能培训．设事件至少抽到一名女生，事件恰好抽到一名男生，则________．【答案】##【解析】【分析】利用古典概型的概率公式求出，，再由条件概率公式计算可得.【详解】依题意可得，，所以.10.已知复数，，i是虚数单位，则的取值范围是________．【答案】【解析】【详解】，，，设，则，当，，即，时，，此时取最大值，当，，即，时，，此时取最小值，．11.如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米）【答案】【解析】【详解】在中，，，；由正弦定理可得，整理可得.在中，，由正弦定理，整理可得.所以.12.在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________．【答案】【解析】【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解.【详解】，，，由题意得解得，，，当时，取最大值为，所以y的最大值是.二、选择题（本题共4小题，13-14每小题4分，15-16每小题5分，共18分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）13.已知，则下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据不等式的性质、差比较法等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由，可得，又，所以，故A错误；由，所以，故，故B错误；，因为，所以，则，故C错误；由，可得，又，所以，故D正确.故选：D14.已知双曲线的方程为，则（）A.渐近线与无关 B.实轴长与无关 C.焦距与无关 D.焦点与无关【答案】A【解析】【详解】已知双曲线的方程为，则，当时，，焦点在轴，，当时，，焦点在轴，，当时，渐近线方程为，实轴长为，焦距为，焦点为；当时，渐近线方程为，实轴长为，焦距为，焦点为；渐近线与无关，实轴长、焦距、焦点均与有关．15.音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由下图三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由图1求出、、的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数的解析式．【详解】解：由图1知，，，所以，所以；结合题意知，函数．故选：．16.已知函数的表达式为，，则下列命题正确的是（）A.函数的零点的个数一定是3个B.若集合的解集是，则实数对有2对C.函数必存在极值D.函数在处的切线方程为，则【答案】B【解析】【详解】A：当时，，若当或时，零点个数不为3，所以A错.B：若满足条件，则在处为零，且在时，由，得，即或，当时，，为满足条件，，当时，同理可得，当时不满足题意，所以实数对有对：和，B对.C：求导，，接着判断，把判别式看作关于的函数，则，，当时，，，所以有两个零点，有极值，当时，，此时当，，有两个零点，有极值，当，，恒成立，函数在定义域上单调递增，所以当取值时，，无极值，所以C错.D：在处的切线方程为，求导，得，得或，D错.三、解答题（本题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知函数的表达式为，．（1），求的值；（2）若，，依次成等比数列，求的值．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由，，得，则.【小问2详解】由，，，因成等比数列，故，即，得；若，，依次成等比数列，则；所以，，又，故，此时，，依次为，符合题意；综上，.18.某工厂生产的某种产品的月产量（单位：千件）与单位成本（单位：元/件）的数据如下：月份产量（千件）单位成本（元/件）127323723471437354696568（1）计算产量与单位成本相关系数（无需过程）；（2）建立产量与单位成本的回归方程（写出必要的过程）：（3）若该工厂计划7月份生产7千件该产品，则单位成本预计是多少？附：相关系数的计算公式：；回归系数计算公式：，【答案】（1）（2）（3）元/件【解析】【小问1详解】根据相关系数的公式，由表格数据可得，，，，，于是.【小问2详解】设回归直线方程为，根据公式可得，，故回归直线方程；【小问3详解】根据（2）可知，，当时，，所以预计成本是元/件.19.在四棱锥中，四边形是菱形，，，，点F为的中点，点E为上的点，，，平面与棱交于点G．（1）求证：异面直线与垂直；（2）当时，求与底面所成的线面角大小．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出，计算求出，从而证明结论；（2）求出，进而求出点，进而求出，利用向量夹角的余弦公式求出线面角的大小．【小问1详解】已知四边形是菱形，则，设，则是的中点，，，，，且平面，平面，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立下图所示空间直角坐标系，，，，，，F为的中点，，点E为上的点，，，，则，，，，故，异面直线与垂直．【小问2详解】当时，，，设为平面的法向量，则，令，则，，平面方程为：，即，，，直线参数方程为：，参数方程代入平面方程得，解得，，故，底面的法向量为，设与底面所成角为，则，与底面所成的线面角为．20.已知椭圆经过点，离心率为．过点，的动直线交椭圆于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l与相切，求当时，的长；（3）若以为直径的圆经过轴上方的定点，求点的坐标．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用离心率及所过点计算即可得；（2）设出直线后，利用圆的切线的性质计算可得，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用弦长公式计算即可得；（3）设，，联立直线与曲线方程，消去可得与横坐标相关韦达定理，再利用圆上的点的性质，借助向量有，计算后可得与、、、有关等式，再利用定点性质计算即可得解.【小问1详解】由题意可得，解得，故椭圆的方程为；【小问2详解】由，则，可设，、，则由直线与相切，可得，化简得，联立，消去可得，，则，，则；【小问3详解】设，、，，联立，消去可得，，即，，，由点在以为直径的圆上，则，由，，则，即故，则有，由，故，则有，即或，由，故，即当且仅当时，以为直径的圆经过轴上方的定点，且点坐标为.21.设定义域为的函数的表达式为，我们可以证明函数存在唯一的零点，设该零点为r．如图，过点作函数的切线与轴的交点为，设横坐标为，若，则过点作函数的切线与x轴的交点为，设横坐标为；若，则停止作切线．…依次类推，得到数列，记，．（1）若，，求；（2）求证：数列是严格递减数列；（3）若，比较与的大小，并说明理由．【答案】（1）（2）证明见解析（3）对于，当，；当，；当，【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义建立切线方程，直接代入即可.（2）根据切线方程构造递推公式作差，再通过零点与交点横坐标的关系化简即可证明.（3）先将条件作差，再将递推公式代入化简，构造函数，通过求导分析函数单调性，最后确定零点，可判断大小.【小问1详解】已知，，当，，设切线斜率为，则，直线为，令，.【小问2详解】设，，，，所以，，则直线为.令，则.，因为，且，所以，所以数列是严格递减数列.【小问3详解】当时，，，令，则，令.所以.构造函数，令，，求导，构造函数，，所以单调递增，且，所以，所以函数在上单调递增，当，，根据零点存在定理，存在唯一的使得，所以结合数列的单调递减性，当，，此时；当，，此时；当，，此时.2026年上海市虹口区高三二模高三数学2026.4考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2．本考试分设试卷和答题纸.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上的相应位置，在试卷上作答一律不得分.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设全集为，集合，则________．2.已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________．3.已知离散型随机变量服从二项分布，则____________.4.设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________．5.某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空）6.在中，，，，则________．7.将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则________．8.在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________．9.已知复数满足是实数，则的最小值为________．10.已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________．11.某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度）12.在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑>13.双曲线的渐近线是（）．A. B. C.D.14.已知和分别表示事件和事件发生的概率，且

，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（）．A. B.C. D.15.一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（）．A.为严格增数列 B.为公差不为零的等差数列．C.为等比数列（其中，） D.为周期数列16.设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数．A.①和②都正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①和②都错误三、解答题17.如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，（1）求直线OB与平面PAC所成角的正弦值（2）设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直18.班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布.（1）小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示）参考数据:若，则.（2）小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值表1

第1周第2周第3周第4周第5周手机使用时长2018221614练习得分80887392m（3）受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效.19.设．（1）解不等式：；（2）设，若存在，使得，求实数a的取值范围．20.设椭圆的左顶点为A．（1）求的离心率；（2）设的左焦点为F，上顶点为B，若点P在上且位于y轴右侧．，求点P的横坐标；（3）设直线，l与交于不同的两点C和D，若点A在以CD为直径的圆外，求实数m的取值范围．21.若对于定义在R上的函数，设是R的一个子集，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则称函数在上具有“性质”（1）分别判断函数和是否在R上具有“性质”；（无需说明理由）（2）设，记，若函数在上具有“性质”，求实数的取值范围；（3）若函数在R上具有“性质”，其图像是连续曲线，且，求证：集合是无限集或单元素集．参考答案及解析：1、【答案】【解析】【分析】根据分式不等式的解法，可求得集合A，即可得答案.【详解】由，得，解得或，又，所以，则.2.已知一个直三棱柱的侧棱长为2，底面面积为2，则该三棱柱的体积为________．【答案】4【解析】【分析】根据三棱柱的体积公式计算求解.【详解】设一个直三棱柱的侧棱长为，底面面积为，则该三棱柱的体积为.3.已知离散型随机变量服从二项分布，则____________.【答案】【解析】【分析】利用二项分布的方差公式直接计算.【详解】因为随机变量X服从二项分布，所以.故答案为：.4.设，，若是的必要条件，则实数m的取值范围是________．【答案】【解析】【详解】由得，得，因为是的必要条件，所以，得，故实数m的取值范围是.5.某工厂为判断两种不同的操作方法是否对生产某种零件的合格个数有影响，收集了相关数据，绘制了列联表，设原假设：两种不同的操作方法对生产该种零件的合格个数没有影响，计算出统计量，已知，则在显著性水平下，推断的结论为________．（用“拒绝”或“接受”填空）【答案】拒绝【解析】【详解】在独立性检验中，当计算出的统计量大于给定显著性水平对应的临界值时，样本数据出现的概率小于，属于小概率事件，根据小概率原理，我们拒绝原假设，认为两个变量之间存在显著关联，本题中，所以拒绝，即认为两种操作方法对合格个数有影响.6.在中，，，，则________．【答案】##【解析】【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案.【详解】设，由题意，所以，又，得，所以.7.将二项展开式中的各项等可能地随机重新排列，观察排列中是否存在系数为负数的项相邻，若存在，则记随机变量，否则记，则________．【答案】##【解析】【详解】二项式的通项公式为，显然该二项式展开共有项，当时，即第项系数为负数，因为各项等可能地随机重新排列，所以排列数为，系数为负数的项相邻的排列数为，所以，因此.8.在正四棱台中，，，异面直线与所成角为，设二面角的大小为，则________．【答案】【解析】【分析】法一在正四棱台中，由异面直线所成角可得，再根据面面角定义计算求解即可，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，进而利用二面角的向量求法并结合同角三角函数的基本关系求解即可.【详解】法一：在正四棱台中，，因为，，所以为异面直线与所成的角，即，过点作平面的垂线，垂足为，作直线的垂线，垂足为，连接，如图所示：由正四棱台性质可知，点在线段上，，所以，，，由二面角定义可知即为二面角的平面角，而，故.法二：如图，作出符合题意的图形，作下底面中心，上底面中心，以为原点，建立空间直角坐标系，设正四棱台的高为，由题意得，，则，，，，则，，因为异面直线与所成角为，所以，解得，由题意得面的法向量为，则，，，设面的法向量为，则，令，解得，，得到，由图可知，是锐角，则，由已知得，由同角三角函数的基本关系得，故.9.已知复数满足是实数，则的最小值为________．【答案】##【解析】【分析】设，代入中化简，由是实数，得或，利用复数模的几何意义求的最小值【详解】设，则，因为是实数，所以，所以或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示轴上的点（除原点）和的距离，此时，当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，由图可知，的最小值为.因为，所以的最小值为.10.已知焦点为F的抛物线上有两点A和B，且，E为A和B的中点，过点E作C的准线的垂线，垂足为H，则的最小值为________．【答案】【解析】【分析】设，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，在中，由余弦定理以及基本不等式可得，即可求得的最小值．【详解】设，，作垂直抛物线的准线于点，垂直抛物线的准线于点.由抛物线的定义，知，，根据中位线定理以及抛物线定义可得，由余弦定理得，又，∴，当且仅当时，等号成立，∴，∴，即的最小值为.11.某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度）【答案】【解析】【分析】先由题意得出，，且．再设，则，利用正弦定理表示出的长度，最后在中由余弦定理列方程求得的值．【详解】由题意可得B，D，E，C四点共线，，，，且点A为点E绕点D旋转后的位置，所以．因此设，则，所以在中，由正弦定理可得所以在中，由余弦定理可得将，，代入，得两边同除以，得化简可得令，则解得，或，或．因为，所以，故．于是故此时.12.在以O为原点的空间直角坐标系中，设，，A和B是两个点集，设，对任意的，总存在，使得．若，且，则的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示公式，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.【详解】设，因为，所以，且，即，且，显然，设，因为，所以，因为，所以，因为，所以，因为，所以，代入中，得，，因此直线与圆有两个不同的交点，因为，所以直线的斜率的取值范围为，如下图所示：由直线与圆的交点坐标为，又因为直线、直线斜率互为相反数，且过同一点，与圆都是关于纵轴对称，所以当时，因为，所以的取值范围是.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置上，将所选答案的代号涂黑>13.双曲线的渐近线是（）．A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】双曲线的标准形式为，显然该双曲线焦点在轴上，其中，，即，，因为焦点在轴上的双曲线的渐近线公式是，且，所以双曲线的渐近线是．14.已知和分别表示事件和事件发生的概率，且

，则在下列各项中，“和独立”的充分条件是（）．A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】事件和独立的定义是，根据每个选项的条件，结合条件概率公式以及概率的基本性质，判断是否能推出.【详解】选项A，，则，并不能推出，所以事件和不一定独立，A错误.选项B，，，.，..，即和独立，B选项正确.选项C，，又，，和不一定独立，C错误.选项D，，，.又，，可得，也不能推出和独立，D错误.15.一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（）．A.为严格增数列 B.为公差不为零的等差数列．C.为等比数列（其中，） D.为周期数列【答案】C【解析】【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列.【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列，但，且是周期函数，在一个周期内有增有减，对无穷等差数列，当，则，所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误，在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（），则，所以，由于是关于的周期变化的函数，所以不是常数，即不是公差不为零的等差数列，B错误，在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（），则，若为等比数列，则，，，，，当，时，则，该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为，此时数列，当为奇数时，为奇数，，当为偶数时，为偶数，，故为数列，是公比为的等比数列，所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确，在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列，所以，即，所以会趋近于，而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项，所以不可能是周期数列，D错误.16.设和是两个不同的函数，且定义域和值域均为，设，则对于以下两个结论，说法正确的是（）结论①：若当，恒有，则函数一定是偶函数；结论②：若当，恒有，则函数可以不是偶函数．A.①和②都正确 B.①正确，②错误 C.①错误，②正确 D.①和②都错误【答案】B【解析】【分析】对于结论①，利用反证法假设存在，找到满足，引出矛盾即可证明正确；对于结论②，采用类似的分析找到满足，利用推出，再利用推出，引出矛盾即可证明错误.【详解】对于结论①，若函数不是偶函数，则存在，不妨设（否则用取代），因为和值域均为，则存在使得，此时有，根据，依题意有，这与矛盾，故函数一定是偶函数，结论①正确；对于结论②，若函数不是偶函数，则存在，不妨设（否则用取代），因为和值域均为，则存在使得，此时，依题意，由有，即，所以，而可推出即，与矛盾，故函数一定是偶函数，结论②错误.【点睛】本题采用了反证法证明奇偶性，通过灵活利用已知条件得到矛盾的结果，并利用了两个实数之间总能找到一个实数这一结论.三、解答题17.如图，在底面半径为2，侧面积为的圆锥中，A、B、C为底面圆周上不同的三个点，（1）求直线OB与平面PAC所成角的正弦值（2）设点D为线段PB上的动点（不含端点P和B），求证直线OA与CD不垂直【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用侧面积求解出圆锥的高，再利用建系的方法，求出直线OB与平面PAC所成角的正弦值.（2）利用向量的方法，将点在线段上刻画为接着证明直线与的数量积不为零.【小问1详解】所以可以建立如右图所示的空间直角坐标系，所以设则母线长为则侧面积为解得：所以设面的法向量为所以不妨令则所以设直线OB与平面PAC所成角为所以【小问2详解】因为D为线段PB上的动点，所以设由（1）知所以直线OA与CD不垂直.18.班主任小明查阅了某大学发表的一项本市高三学生手机使用情况的研究报告.报告指出，高三学生每周手机使用时长（单位:小时）总体上服从正态分布.（1）小明老师将自己所带班级（共50名学生）视为从本市高三学生总体中随机抽取的一个样本，能以此正态分布模型估算出全班每周平均手机使用时长超过16小时的人数，在此估算基础上若在全班任选3位同学，则至少有2位同学的每周手机使用时长超过16小时的概率是多少?（结果用最简分数表示）参考数据:若，则.（2）小明老师发现小虹同学每周手机使用时长超过16小时，对其进行疏导劝解，并跟进统计出之后5周小虹每周手机使用时长与该周数学练习得分（每周练习的难度相同且满分均为150分），制成表1.以这5组数据建立回归方程.请求出实数的值表1

第1周第2周第3周第4周第5周手机使用时长2018221614练习得分80887392m（3）受到鼓励的小虹制定了寒假复习计划表递交给小明老师，严格控制手机使用时长.小明老师统计发现该计划表中若第n天能复习时长超过5小时（记为“高效复习”），则第天也能“高效复习”的概率为;若第天不能“高效复习”，则第天还能“高效复习”的概率为.设（，为正整数）表示第天能“高效复习”的概率，，若表示复习计划表第天有效.求证:数列是等比数列，并说明小虹的该复习计划表是否在寒假每一天均有效.【答案】（1）（2）100（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据正态分布的性质和概率相关知识计算即可.（2）先求出的平均值，然后代入回归方程即可求出结果.（3）先根据题意列出递推式，然后证明数列是以为公比的等比数列，进而可根据等比数列的通项公式求出，并根据的范