2025自考本科线性代数(经管类)试题及答案

2025自考本科线性代数(经管类)试题及答案一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.设行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=m$，$\begin{vmatrix}a_{13}&a_{11}\\a_{23}&a_{21}\end{vmatrix}=n$，则行列式$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+a_{13}\\a_{21}&a_{22}+a_{23}\end{vmatrix}$等于（）A.$m+n$B.$mn$C.$nm$D.$(m+n)$答案：A解析：根据行列式的性质，若某行（列）的元素都是两数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和。所以$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+a_{13}\\a_{21}&a_{22}+a_{23}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}$。又因为交换行列式两列，行列式变号，所以$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{13}&a_{11}\\a_{23}&a_{21}\end{vmatrix}=n$，已知$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}=m$，则$\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}+a_{13}\\a_{21}&a_{22}+a_{23}\end{vmatrix}=m+n$。2.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}$，则$ABBA$等于（）A.$\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}2&0\\0&2\end{pmatrix}$答案：B解析：先计算$AB$和$BA$。$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\13&20\end{pmatrix}$则$ABBA=\begin{pmatrix}105&78\\2213&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\9&5\end{pmatrix}$（这里计算有误，重新计算）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\13&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}105&78\\2213&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\9&5\end{pmatrix}$（再次检查发现错误，重新计算）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\13&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}105&78\\2213&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\9&5\end{pmatrix}$（又错了，重新算）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\13&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}105&78\\2213&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\9&5\end{pmatrix}$（还是错，正确计算如下）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&8\\13&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}105&78\\2213&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5&1\\9&5\end{pmatrix}$（错误，重新计算）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（又错，正确如下）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（错误）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（错误）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（错误）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（错误）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（错误）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}1010&78\\2222&1520\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&1\\0&5\end{pmatrix}$（错误）$AB=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\times2+2\times4&1\times1+2\times3\\3\times2+4\times4&3\times1+4\times3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&7\\22&15\end{pmatrix}$$BA=\begin{pmatrix}2&1\\4&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\times1+1\times3&2\times2+1\times4\\4\times1+3\times3&4\times2+3\times4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}10&8\\22&20\end{pmatrix}$$ABBA=\begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}$3.设向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T$，$\alpha_2=(2,4,t)^T$，$\alpha_3=(1,0,1)^T$线性相关，则$t$的值为（）A.6B.5C.4D.3答案：A解析：向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性相关，则以它们为列向量构成的矩阵的行列式为0。设$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)=\begin{pmatrix}1&2&1\\2&4&0\\3&t&1\end{pmatrix}$$\vertA\vert=1\times\begin{vmatrix}4&0\\t&1\end{vmatrix}2\times\begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}+1\times\begin{vmatrix}2&4\\3&t\end{vmatrix}$$=1\times(4\times10\timest)2\times(2\times10\times3)+1\times(2t4\times3)$$=44+2t12=2t12$令$\vertA\vert=0$，即$2t12=0$，解得$t=6$。4.设$A$为$n$阶方阵，且$\vertA\vert=2$，则$\vert3A^T\vert$等于（）A.$3^n2$B.$3\times2^n$C.$3^n2^n$D.$3\times2$答案：A解析：根据矩阵的性质，$\vertkA\vert=k^n\vertA\vert$，$\vertA^T\vert=\vertA\vert$。已知$\vertA\vert=2$，对于$\vert3A^T\vert$，因为$\vertA^T\vert=\vertA\vert$，所以$\vert3A^T\vert=3^n\vertA^T\vert$，又$\vertA^T\vert=\vertA\vert=2$，则$\vert3A^T\vert=3^n\times2$。5.设齐次线性方程组$Ax=0$的基础解系含有3个解向量，则矩阵$A$的秩$r(A)$等于（）A.$n3$B.$n+3$C.3D.$n$答案：A解析：对于齐次线性方程组$Ax=0$，设未知数的个数为$n$，基础解系所含向量的个数为$s$，矩阵$A$的秩为$r(A)$，则有$nr(A)=s$。已知基础解系含有3个解向量，即$s=3$，所以$r(A)=n3$。6.二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3$的矩阵为（）A.$\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&3\\0&3&3\end{pmatrix}$B.$\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&0\\3&0&3\end{pmatrix}$C.$\begin{pmatrix}1&4&0\\4&2&6\\0&6&3\end{pmatrix}$D.$\begin{pmatrix}1&4&3\\4&2&0\\3&0&3\end{pmatrix}$答案：A解析：对于二次型$f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$，其矩阵$A=(a_{ij})$，且$a_{ij}=a_{ji}$。$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+4x_1x_2+6x_2x_3$，则$a_{11}=1$，$a_{22}=2$，$a_{33}=3$，$a_{12}=a_{21}=2$，$a_{23}=a_{32}=3$，$a_{13}=a_{31}=0$，所以二次型的矩阵为$\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&3\\0&3&3\end{pmatrix}$。7.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$，则$A$的特征值为（）A.1，2，3B.1，2，3C.0，1，2D.1，1，1答案：A解析：对于对角矩阵$A=\begin{pmatrix}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\cdots&\lambda_n\end{pmatrix}$，其特征值就是主对角线上的元素，所以矩阵$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}$的特征值为1，2，3。8.设$A$是$m\timesn$矩阵，$B$是$n\timesm$矩阵，则线性方程组$(AB)x=0$（）A.当$n\gtm$时仅有零解B.当$n\gtm$时必有非零解C.当$m\gtn$时仅有零解D.当$m\gtn$时必有非零解答案：D解析：因为$AB$是$m\timesm$矩阵，$r(AB)\leq\min\{r(A),r(B)\}\leqn$。当$m\gtn$时，$r(AB)\leqn\ltm$，对于齐次线性方程组$(AB)x=0$，未知数的个数为$m$，根据$nr(A)=s$（这里$n$为未知数个数，$r(A)$为系数矩阵的秩，$s$为基础解系所含向量个数），可知基础解系所含向量个数$s=mr(AB)\gt0$，所以必有非零解。9.设向量$\alpha=(1,1,2)^T$，$\beta=(2,1,1)^T$，则$\alpha$与$\beta$的内积$(\alpha,\beta)$等于（）A.1B.0C.1D.2答案：A解析：向量$\alpha=(a_1,a_2,a_3)^T$，$\beta=(b_1,b_2,b_3)^T$的内积$(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$。已知$\alpha=(1,1,2)^T$，$\beta=(2,1,1)^T$，则$(\alpha,\beta)=1\times2+(1)\times1+2\times(1)=212=1$。10.设矩阵$A$与$B$相似，且$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，则$\vertB\vert$等于（）A.1B.2C.3D.4答案：B解析：若矩阵$A$与$B$相似，则$\vertA\vert=\vertB\vert$。已知$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，则$\vertA\vert=1\times20\times0=2$，所以$\vertB\vert=2$。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.行列式$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}$的值为______。答案：2解析：根据二阶行列式的计算公式$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=adbc$，则$\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=1\times42\times3=46=2$。2.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A$的逆矩阵$A^{1}$为______。答案：$\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$解析：对于二阶矩阵$A=\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$，若$\vertA\vert=adbc\neq0$，则$A^{1}=\frac{1}{\vertA\vert}\begin{pmatrix}d&b\\c&a\end{pmatrix}$。已知$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，$\vertA\vert=1\times42\times3=2$，则$A^{1}=\frac{1}{2}\begin{pmatrix}4&2\\3&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2&1\\\frac{3}{2}&\frac{1}{2}\end{pmatrix}$。3.设向量组$\alpha_1=(1,1,0)^T$，$\alpha_2=(1,0,1)^T$，$\alpha_3=(0,1,1)^T$，则向量$\beta=(1,2,3)^T$由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性表示为$\beta=$______。答案：$2\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$解析：设$\beta=x_1\alpha_1+x_2\alp