湖南2026年高中学业水平合格性考试数学模拟试卷（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年普通高中学业水平合格性考试信息卷（模拟三）数学时量：90分钟，满分：100分本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页.注意事项：1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；4.请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁.一、单选题：本大题共18小题，每小题3分，共54分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数的定义域是（

）A． B． C． D．2．下列图形中，可以表示函数的是（

）A． B．C． D．3．设，且，则的最小值为（

）A．5 B．4 C．3 D．24．设为实数，，若，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．45．命题“”的否定为（

）A． B．C． D．6．已知集合，，，则M的子集共有（

）A．2个 B．4个 C．8个 D．16个7．已知数据的平均数为10，方差为10，则的平均数和方差分别为（

）A．30，91 B．31，91 C．30，90 D．31，908．使得函数为减函数，且值为负数的区间为（

）A． B． C． D．9．直线与函数的图象的交点个数是（

）A． B． C． D．无数个10．设，则（

）A． B． C． D．11．为了得到，的图象，只需把正弦曲线上所有点的（

）A．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的，横坐标不变12．（

）A． B． C． D．13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，，则（

）A． B． C． D．14．函数是幂函数，则实数的值是（

）A． B． C．或 D．且15．设，则的值为A．0 B．1 C．2 D．-116．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为A． B． C． D．17．下列函数中，在区间上为增函数的是.A． B． C． D．18．已知函数，若当时，的值域也是，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.19．计算_____________20．请写出一个满足以下两个条件的函数______.①是偶函数；②在上单调递增.21．若一次函数的图象经过点，则______．22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______．三、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.23．某商场随机抽取了100名员工的月销售额（单位：千元），将的所有取值分成，，，，五组，并绘制得到如图所示的频率分布直方图，其中.

(1)求a，b的值；(2)求这100名员工月销售额的第70百分位数；(3)若月销售额在这一组中男女职工人数为，现从中随机抽取2人，求所抽取的2人中至少有一名女职工的概率.24．已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值及单调增区间.25．如图，四棱柱中，底面是菱形，底面，点为的中点.求证：(1)直线平面；(2)平面平面.答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．D【详解】由.所以函数的定义域为.2．B【分析】由函数的定义即可得解.【详解】通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意.故选：B.3．B【分析】由基本不等式的乘“1”法即可求解.【详解】，等号成立当且仅当，所以的最小值为4.故选：B.4．A【分析】根据集合相等得到，解得即可.【详解】因为，若，所以，解得.故选：A5．B【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解.【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以所求的否定是.故选：B6．C【分析】根据给定条件，求出集合，进而求出其子集个数.【详解】由集合，，得，所以集合的子集个数为.故选：C7．D【分析】根据平均数、方差的性质计算可得．【详解】因为，，，，的平均数是10，方差是10，所以的平均数是，方差是．故选：D．8．C【分析】利用正弦函数的图象与性质判定选项即可.【详解】由的图象与性质可知时，函数单调递减，且函数值为负数.故选：C9．A【分析】利用余弦函数的有界性可得结论.【详解】因为，故直线与函数的图象没有公共点，故选：A.10．D【分析】结合完全平方公式及三角函数平方关系求解即可.【详解】因为，，所以.故选：D.11．B【分析】根据正弦函数图象的伸缩变换即可得结果.【详解】，因此只需把正弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变．故选：.12．D【分析】由差角公式计算即可.【详解】.故选：D13．B【分析】由正弦定理可求得，进而由同角的平方关系可求.【详解】在中，由正弦定理可得，即，解得，且不等于0，当为锐角时，，当为钝角时，.综上所述：.故选：B.14．C【分析】根据幂函数的定义列方程求解即可.【详解】由幂函数的定义知，即，解得或．故选：C15．B【分析】选取解析式代入可得结论．【详解】由题意．故选：B．【点睛】本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算．16．C【解析】样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案.【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为,故选：C.【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题.17．B【详解】试题分析：根据初等函数的图象，可得函数在区间（0，1）上的单调性，从而可得结论．解：由题意，A的底数大于0小于1、C是图象在一、三象限的单调减函数、D是余弦函数，在（0，+∞）上不单调，B的底数大于1，在（0，+∞）上单调增,故选B考点：函数的单调性点评：本题考查函数的单调性，掌握初等函数的图象与性质是关键．18．D【分析】利用函数的单调性建立方程，再利用对勾函数单调性求解.【详解】函数在上单调递增，依题意，，而，因此在上有两个不等的实根，即有两个不等的正根，函数在上单调递减，函数值集合为；在上单调递增，函数值集合为，由方程有两个不等的正根，得直线与函数在上的图象有两个交点，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D19．【分析】借助对数运算法则计算即可得.【详解】.故答案为：.20．（答案不唯一）【分析】根据偶函数和增函数的定义结合基本函数求解即可.【详解】因为是偶函数，且在上单调递增，所以函数可以是（答案不唯一），故答案为：（答案不唯一）21．3【分析】根据一次函数图象经过的点求出解析式，进而可求函数值.【详解】因为一次函数的图象经过点，所以，解得，所以，所以，故答案为:3.22．1【分析】根据余弦定理计算即可.【详解】,故答案为：1.23．(1)，(2)(3)【分析】（1）根据频率分布直方图中各小长方形面积和为1，并结合即可求解；（2）根据百分位数的概念求解；（3）根据古典概型列出基本事件计算得解.【详解】（1）由已知得，所以，又因为，所以，.（2）由于样本在的频率为，在的频率为，所以这100名员工月销售额的第70百分位数为.（3）月销售额在这一组的人数为.其中男职工3人，记为A，B，C，女职工2人，记为a，b，从中随机抽取2人，基本事件有AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，其中，事件“至少有一名女职工”包含的基本事件有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，所以，所抽取的2人中至少有一名女职工的概率为.24．(1)(2)最大值为，单调增区间为，【分析】（1）借助降幂公式与辅助角公式将化为正弦型函数后即可得；（2）运用正弦型函数的性质计算即可得.【详解】（1），则；（2）由，故，即函数的最大值为，，