简单的线性规划问题

10.2简单的线性规划问题2015—2024年高考全国卷考情一览表

考点2015~2019年2020年2021年2022年2023年2024年合计全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷全国卷地方卷116.平面区域问题01000000000001117.简单的线性规划问题9732111120101711118.非线性目标函数问题03000000000003119.求参数问题02000000000002120.线性规划的实际应用01000000000001命题分析与备考建议(1)命题热度:本专题是历年高考命题常考的内容,属于中低档题目,主要以选择题或填空题的形式进行考查,分值约为4~5分.(2)考查方向:一是考查平面区域问题,主要考查给出不等式确定平面区域的形状与面积等问题;二是考查简单的线性规划问题,即线性目标函数在线性可行域内的最值或范围问题;三是考查非线性目标函数问题,利用非线性目标函数的几何意义求解最值问题;四是考查求参数问题,即根据给出的最值分析,确定目标函数或不等式中的参数取值或范围问题;五是考查线性规划的实际应用,即根据实际情况建立数学模型,进而确定目标函数,最后根据此类问题的求解步骤,求解最值或范围.(3)明智备考:一是准确做出不等式组所对应的平面区域,这是解决此类问题的基础;二是要根据代数式的结构特征确定目标函数的几何意义,进而确定目标函数的位置;三是以运动变化的观点确定目标函数的值域问题.(4)主编提示:命题的兴趣点在于简单的线性规划问题,难点是最优解的确定,考查直观想象、数学运算的核心素养,高三备考,抓住目标函数的几何意义,即可迅速求解此类问题!!!考点117考点118考点119考点120平面区域问题

A.-3 B.1 C.

D.3考点116解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.考点117考点118考点119考点120考点116考点116考点117考点118考点119考点120简单的线性规划问题

考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120考点116考点117考点118考点119考点120解析

首先作出不等式组表示的平面区域,如图(阴影部分).zmin=2+2×1=4.所以z=2x+y的取值范围是[4,+∞).故选B.考点116考点117考点118考点119考点1207.(2019·天津,理2文2,5分,难度★★)设变量x,y满足约束条件A.2 B.3 C.5 D.6解析画出可行域如图,平移目标函数z=-4x+y可知过点A时取得最大值,则目标函数z=-4x+y的最大值为

(

C

)考点116考点117考点118考点119考点1208.(2019·浙江,3,4分,难度★★)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是(

C

)A.-1 B.1 C.10 D.12解析在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角形区域(包含边界),由图直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值zmax=3×2+2×2=10.考点116考点117考点118考点119考点1209.(2018·天津,理2文2,5分,难度★★)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为

(

C

)

A.6 B.19 C.21

D.45考点116考点117考点118考点119考点12010.(2017·全国2,理5文7,5分,难度★★)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是(

A

)A.-15 B.-9 C.1

D.9解析画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即zmin=-12-3=-15,故选A.考点116考点117考点118考点119考点12011.(2017·全国3,文5,5分,难度★★)设x,y满足约束条件

则z=x-y的取值范围是(

B

)A.[-3,0] B.[-3,2]C.[0,2] D.[0,3]解析画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A(0,3)处取得最小值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.考点116考点117考点118考点119考点12012.(2017·全国1,文7,5分,难度★★)设x,y满足约束条件

则z=x+y的最大值为(

D

)A.0 B.1 C.2 D.3解析根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A(3,0),故zmax=3+0=3.考点116考点117考点118考点119考点12013.(2016·北京,理2,5分,难度★★)若x,y满足

则2x+y的最大值为(

C

)A.0 B.3 C.4 D.5解析由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.考点116考点117考点118考点119考点12014.(2016·天津,理2,5分,难度★★)设变量x,y满足约束条件A.-4 B.6 C.10 D.17解析如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将考点116考点117考点118考点119考点12015.(2023·全国甲,理14文15,5分,难度★★)设x,y满足约束条件若z=3x+2y,则z的最大值为

.

答案

15考点116考点117考点118考点119考点12016.(2023·全国乙,理14文15,5分,难度★★)若x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为

.

答案

8考点116考点117考点118考点119考点12017.(2020·全国1,理13文13,5分,难度★★)若x,y满足约束条件

答案

1考点116考点117考点118考点119考点12018.(2020·全国3,理13文13,5分,难度★★)若x,y满足约束条件

答案

7考点116考点117考点118考点119考点12019.(2020·全国2,文15,5分,难度★★★)若x,y满足约束条件

答案

8解析

作出可行域如图所示(阴影部分).考点116考点117考点118考点119考点120答案

-1解析

首先画出可行域,和初始目标函数y=2x,当直线y=2x平移至经过点A(1,1)时,取得最大值,zmax=1-2×1=-1.故答案为-1.考点116考点117考点118考点119考点12021.(2019·全国2,文13,5分,难度★★)若变量x,y满足约束条件解析画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.考点116考点117考点118考点119考点12022.(2018·全国1,理13文14,5分,难度★★)若x,y满足约束条件解析作出可行域,如图阴影部分所示(包括边界).考点116考点117考点118考点119考点12023.(2018·全国2,理14文14,5分,难度★★)若x,y满足约束条件解析由题意,作出可行域如图.要使z=x+y取得最大值,当且仅当过点(5,4)时,zmax=9.考点116考点117考点118考点119考点12024.(2018·全国3,文15,5分,难度★★)若变量x,y满足约束条件

考点116考点117考点118考点119考点12025.(2018·北京,理12文13,5分,难度★★)若x,y满足x+1≤y≤2x,则2y-x的最小值是

3

.

作出不等式组对应的可行域,如下图阴影部分所示.考点116考点117考点118考点119考点12026.(2018·浙江,12,6分,难度★★)若x,y满足约束条件则z=x+3y的最小值是

-2

,最大值是

8

.

解析画出可行域,如图阴影部分所示.由题意可知,当目标函数的图象经过点B时,z取得最大值,当目标函数的图象经过点C时,z取得最小值.考点116考点117考点118考点119考点12027.(2017·全国3,理13,5分,难度★★)若x,y满足约束条件考点116考点117考点118考点119考点12028.(2017·全国1,理14,5分,难度★★)设x,y满足约束条件

考点116考点117考点118考点119考点1201.(2016·山东,理4文4,5分,难度★★★)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是(

C

)A.4 B.9

C.10

D.12解析如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.非线性目标函数问题

考点116考点118考点117考点119考点1202.(2016·浙江,理3,5分,难度★★★)在平面上,过点P作直线l的垂线所在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=(

C

)解析作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为矩形.又D(2,-2),C(-1,1),所以考点116考点118考点117考点119考点120解析作出可行域,如图阴影部分所示.∵两平行直线的斜率为1,∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直.∴两平行线间的最短距离是AB的长度.考点116考点118考点117考点119考点120求参数问题

若z=ax+y的最大值为4,则a=(

B

)A.3 B.2 C.-2 D.-3考点116考点119考点117考点118考点120解析由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.线性目标函数z=ax+y,即y=-ax+z.设直线l0:ax+y=0.当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,zmax=0+0=0,不合题意;当0≤-a<1,即-1<a≤0时,l0过B(1,1)时,z取得最大值,zmax=a+1=4,∴a=3(舍去);当-1<-a<0